用问题归约法求解物体系统平衡问题) 许英姿2)李丽君 (山东理工大学交通与车辆工程学院山东淄博255012) 摘要运用逆向思维的思维方式，提出了用问题规约法求解理论力学课程中物体系统平衡 问题约束力的方法，并通过算例进行了验证。算例证明该方法是一种解决物体系统平衡问 题的最优化的方法。 关键词问题规约，逆向思维，系统平衡 中图分类号：O312文献标识码：Adio SOLVE OBJECT SYSTEM BALANCING PROBLEM USING PROBLEM REDUCTION METHOD') Abstract By using reversed thinking method,a technique for solving binding force of object system balancing problem in theoretical mechanics courses is raised and is verified by an example.Studies show that this method is an optimal method for solvi ng object system balance problems. Key words problem reduction method,reversed thinking,system balancing XU Yingzi2)LI Lijun (School of Transport and Vehicle Engineering,Shandong University of Technology Shandong Zi Bo 255012) 1问题的提出 解单个物体平衡问题时都有一定的物理基 规约法是人工智能所描述的知识表示 础，但绝大部分同学感到对于由三个以上构 件组成的物体系统的平衡问题求约束力时， 的方法之一四。所谓问题规约法就是已知一 个问题的描述，通过一系列的变换，将此问 存在着一定的难度。根据这一情况，我们根 题最终变为一系列子问题的综合，这些问题 据教育学的原理，将复杂问题简单化，提出 了用问题归约法求解物体系统平衡问题，将 的解可以直接得到，从而解决了初始问题 问题规约法的实质就是从目标（要解决的问 初始问题最终变为一系列子问题的组合，找 出解决物体系统平衡问题的最优化的方法。 题)出发，逆向推理，建立子问题，以及子 问题的子问题，直至最后将初始问题规约为 2应用 个本原问题的集合。 2.1总结 物体系统平衡问题，是理论力学课程中 要想灵活地应用平衡方程求解物体系统 静力学问题的重点内容2，主要是应用物 的平衡问题，最主要的是要理解若物体系统 体的平衡方程，求解在主动力作用下，物体 平衡则组成物体系统的每一个物体都处于 系统平衡时的约束力的问题。尽管学生在求 平衡状态，因此对于每一个受平面任意力系 2015x-Xx收到第1稿，2015xx-Xx收到修改稿 1)山东省精品课程建设经费资助（鲁高教字(2012）15) 2)许英姿，女，硕士，副教授。主要从事固体力学教学与研究.E-mail xuyz(@sdut.cdu.cn
2015xx-xx 收到第 1 稿，2015xx-xx 收到修改稿 1) 山东省精品课程建设经费资助（鲁高教字（2012）15） 2) 许英姿，女，硕士，副教授。主要从事固体力学教学与研究.E-mail xuyz@sdut.edu.cn 用问题归约法求解物体系统平衡问题 1） 许英姿 2） 李丽君 （山东理工大学交通与车辆工程学院 山东淄博 255012） 摘要 运用逆向思维的思维方式，提出了用问题规约法求解理论力学课程中物体系统平衡 问题约束力的方法，并通过算例进行了验证。算例证明该方法是一种解决物体系统平衡问 题的最优化的方法。 关键词 问题规约，逆向思维，系统平衡 中图分类号：O312 文献标识码：A dio SOLVE OBJECT SYSTEM BALANCING PROBLEM USING PROBLEM REDUCTION METHOD1） Abstract By using reversed thinking method, a technique for solving binding force of object system balancing problem in theoretical mechanics courses is raised and is verified by an example. Studiesshow that this method is an optimal method for solvi ng object system balance problems. Key words problem reduction method, reversed thinking, system balancing XU Yingzi2） LI Lijun (School of Transport and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology Shandong Zi Bo 255012) 1 问题的提出 规约法是人工智能所描述的知识表示 的方法之一[1]。所谓问题规约法就是已知一 个问题的描述，通过一系列的变换，将此问 题最终变为一系列子问题的综合，这些问题 的解可以直接得到，从而解决了初始问题。 问题规约法的实质就是从目标（要解决的问 题）出发，逆向推理，建立子问题，以及子 问题的子问题，直至最后将初始问题规约为 一个本原问题的集合。 物体系统平衡问题，是理论力学课程中 静力学问题的重点内容[2-4]，主要是应用物 体的平衡方程，求解在主动力作用下，物体 系统平衡时的约束力的问题。尽管学生在求 解单个物体平衡问题时都有一定的物理基 础，但绝大部分同学感到对于由三个以上构 件组成的物体系统的平衡问题求约束力时， 存在着一定的难度。根据这一情况，我们根 据教育学的原理，将复杂问题简单化，提出 了用问题归约法求解物体系统平衡问题，将 初始问题最终变为一系列子问题的组合，找 出解决物体系统平衡问题的最优化的方法。 2 应用 2.1 总结 要想灵活地应用平衡方程求解物体系统 的平衡问题，最主要的是要理解若物体系统 平衡则组成物体系统的每一个物体都处于 平衡状态，因此对于每一个受平面任意力系
作用的物体，均可以写出三个平衡方程，知 系统中有的物体受平面汇交力系或平面平 行力系作用时，则平衡方程数目相应减少 当系统中未知量数目等于独立的平衡方程 的数目时，则所有未知量都能由平衡方程求 出，这样的间题称为静定问题，当未知量的 EG杆的内力可以通过取BC杆与CD杆 数目超过平衡方程的数目，此时为超静定问 组合为研究对象求出，欲求FG采用力 题。用问间题规约法解决的是静定的物体系统 求解约束力的问题。 矩方程，对未知量的交点B点取矩，（选 2.2问题规约法应用 择其它的平衡方程形式以及对未知力的 交点C点取矩，都不是最优解)，但需 分析求解问题的关键是选择合适的研 究对象，研究对象的选取一般是从所计算的 求出D处水平和铅直方向的未知力F。 约束力出发，逆向推理，建立子问愿，以及 子问题的子问题，最后找到解决问题的思 和Fo(子问题) 当找到解决问题的思路时，坐标系的建 立和矩心的位置选取，对解决问题至关重 要，原则是平衡方程中尽量仅包含一个未知 由于F和Fo,包含在整体中，取整体 量。 为研究对象，采用力矩方程，对未知量 3算例 的交点A点取矩，欲求F,必先求F 下面通过一个例题说明如何应用问题 规约法求解物体系统平衡问题。 (子问题的子问题) 如图1所示杆系中，杆AB、CD水平。 BC杆竖直，几何尺寸为AB=BC=2CD= 均质杆AB、CD、BC均重为W,E、G分别 是杆AB、杆BC的中点，要求计算杆EG 由于Fo包含杆CD中，取杆CD为可 的内 分析：判断该问愿为静定问题，采用逆 究对象，采用力矩方程，对未知量的交 向思维法，由未知推向已为 找到解题思路 点C点取矩求F,(子问题的子问题的 后，反其道而行之，即可将初始问题解决。 子问题) 本题分析如下： 根据上术分析，就将一个复杂的初始而 ，规约为求CD杆D处的铅垂方向的约 束力的问题，这样就得到了该问题的思路 对照分析框图，按照由下向上的循序 初始问题：计算二力杆EG的内力 本题的解题过程如下： 先计算F
作用的物体，均可以写出三个平衡方程，如 系统中有的物体受平面汇交力系或平面平 行力系作用时，则平衡方程数目相应减少。 当系统中未知量数目等于独立的平衡方程 的数目时，则所有未知量都能由平衡方程求 出，这样的问题称为静定问题，当未知量的 数目超过平衡方程的数目，此时为超静定问 题。用问题规约法解决的是静定的物体系统 求解约束力的问题。 2.2 问题规约法应用 分析求解问题的关键是选择合适的研 究对象，研究对象的选取一般是从所计算的 约束力出发，逆向推理，建立子问题，以及 子问题的子问题，最后找到解决问题的思 路。 当找到解决问题的思路时，坐标系的建 立和矩心的位置选取，对解决问题至关重 要，原则是平衡方程中尽量仅包含一个未知 量。 3 算例 下面通过一个例题说明如何应用问题 规约法求解物体系统平衡问题。 如图 1 所示杆系中，杆 AB、CD 水平， BC 杆竖直，几何尺寸为 AB=BC=2CD=l， 均质杆 AB、CD、BC 均重为 W，E、G 分别 是杆 AB 、杆 BC 的中点，要求计算杆 EG 的内力。 分析：判断该问题为静定问题，采用逆 向思维法，由未知推向已知，找到解题思路 后，反其道而行之，即可将初始问题解决。 本题分析如下： 根据上述分析，就将一个复杂的初始问 题，规约为求 CD 杆 D 处的铅垂方向的约 束力的问题，这样就得到了该问题的思路。 对照分析框图，按照由下向上的循序 本题的解题过程如下： 先计算 FDy 初始问题：计算二力杆 EG 的内力 EG 杆的内力可以通过取 BC 杆与 CD 杆 组合为研究对象求出，欲求 FEG 采用力 矩方程，对未知量的交点 B 点取矩，（选 择其它的平衡方程形式以及对未知力的 交点 C 点取矩，都不是最优解），但需 求出 D 处水平和铅直方向的未知力 FDx 和 FDy （子问题） 由于 FDx 和 FDy 包含在整体中，取整体 为研究对象，采用力矩方程，对未知量 的交点 A 点取矩，欲求 FDx ，必先求 F Dy （子问题的子问题） 由于 FDy 包含杆 CD 中，取杆 CD 为研 究对象，采用力矩方程，对未知量的交 点 C 点取矩求 F Dy （子问题的子问题的 子问题）
取CD杆为研究对象，受力分析如图2 所示 由ΣMcF)=0: Fo-W.-0 (1) 由式（1)得F-r (2) 再计算F 取整体为研究对象，受力分析如图3所 由ΣM,F)=0: m+p++Fa1-F=0() 将式(2)代入式(3)，得F=-2(4 最后计算二力杆EG的内力F: 取BC杆与CD杆组合为研究对象， 受力分析如图4所示 ∑MF)=0 Fe+FoFog sin4s (5 将式(2)、(4)代入式(5)，)得到 FGE=42W (6) 即为所求。这样，初始问题通过取三次研究 对象，列三个平衡方程解决了。 运用问题规约法，本题还可以找到另外 的解题思路。 初始问题：计算二力杆EG的内力 EG杆的内力可以通过取AB杆为研究 对象求出，欲求FEG,采用力矩方程 (选择其它的平衡方程形式以及对未为 力的交点A点取矩，都不是最优解)对 未知量的交点B点取矩，但需求A处铅 直方向的未知力F,(子问题)
取 CD 杆为研究对象，受力分析如图 2 所示。 由 MC (F) = 0： 0 2 4 . − = L W l FDy (1) 由式（1）得 FDy W 2 1 = （2） 再计算 FDx 取整体为研究对象，受力分析如图 3 所 示。 由 M A (F) = 0 ： 0 4 2 3 2 + + + − = l W l W l F l F l W Dx Dy (3) 将式（2）代入式（3），得 FDx = −2W （4） 最后计算二力杆 EG 的内力 FGE 取 BC 杆与 CD 杆组合为研究对象， 受力分析如图 4 所示。 M B (F) = 0 0 2 sin 45 2 4 0 + − + = l F l F l W l FDy Dx GE （5） 将式（2）、（4）代入式（5），）得到 FGE = 4 2W （6） 即为所求。这样，初始问题通过取三次研究 对象，列三个平衡方程解决了。 运用问题规约法，本题还可以找到另外 的解题思路。 C E B G D W W W A 图 1 初始问题：计算二力杆 EG 的内力 EG 杆的内力可以通过取 AB 杆为研究 对象求出，欲求 FEG ，采用力矩方程， （选择其它的平衡方程形式以及对未知 力的交点 A 点取矩，都不是最优解）对 未知量的交点 B 点取矩，但需求 A 处铅 直方向的未知力 FAy （子问题） FDy FDx FGE FBy FBx C W B G D W 图 4 FCy W C FCx D FDy FDx 图 2 C D B A G E W W W FAx FAy FDx FDy 图 3
4结论 对于该问题，所取研究对象的数目以及 所列的平衡方程的数目都是最少的，故得到 的解决问题的方法也是该原问题的最优化 的方法。 由于F,包含在整体中，取整体为研究 运用问题规约法，采用逆向思维的方 对象，采用铅直方向的投影方程 式，计算物体系统平衡约束力问题，不失为 ∑F=0,欲求F,必先求D处铅 一个好的方法，该法不仅可以锻炼学生的逆 向思维，还拓宽了学生解决问题的思路，而 直方向的未知力F(子问题的子问题) 且学生在学习过程中也对优化方法有了一 定的了解。 参考文献 1蔡自兴等.人工智能及其应用M北 由于Fon包含杆CD中，取杆CD为研究 京：清华大学出版社，1996 对象，采用力矩方程，对未知量的交点 2哈尔滨工业大学理论力学教研组理 C点取矩求Fo,(子问题的子问题的子问 论力学I第七版M刈北京：高等教育出 版社，2009 题) 3西北工业大学理论力学教研室理论 力学M北京：人民教育出版社，2003 同样初始问题也通过取三次研究对象 4吉林工业大学理论力学教研室理论 列三个平衡方程得到解决。解题过程省略。 力学M].吉林：海潮出版社，2000
同样初始问题也通过取三次研究对象， 列三个平衡方程得到解决。解题过程省略。 4 结论 对于该问题，所取研究对象的数目以及 所列的平衡方程的数目都是最少的，故得到 的解决问题的方法也是该原问题的最优化 的方法。 运用问题规约法，采用逆向思维的方 式，计算物体系统平衡约束力问题，不失为 一个好的方法，该法不仅可以锻炼学生的逆 向思维，还拓宽了学生解决问题的思路，而 且学生在学习过程中也对优化方法有了一 定的了解。 参考文献 1 蔡自兴等.人工智能及其应用[M]北 京：清华大学出版社，1996 2 哈尔滨工业大学理论力学教研组.理 论力学 I 第七版[M].北京：高等教育出 版社，2009 3 西北工业大学理论力学教研室.理论 力学[M]北京：人民教育出版社，2003 4 吉林工业大学理论力学教研室.理论 力学[M.] . 吉林：海潮出版社，2000 由于 FAy 包含在整体中，取整体为研究 对象， 采 用 铅 直 方 向 的 投 影 方 程 Fy = 0，欲求 FAy ，必先求 D 处铅 直方向的未知力 FDy （子问题的子问题） 由于 FDy 包含杆 CD 中，取杆 CD 为研究 对象，采用力矩方程，对未知量的交点 C 点取矩求 FDy (子问题的子问题的子问 题）