第一章晶体的结构 1.以堆积棋型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数 之比 [解答] 设原子的半径为尾体心立方品胞的空间对角线为4R品胞的边长为4R15,品 胞的体积为6，一个品胞包含两个原子，一个原子古的体积为1,12，单 位体积品体中的原子数为24：面心立方晶胞的边长为4R/反，品胞的体积 为4R1心，一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为4R114,单位体 积品体中的原子数为4水，.因此，同体积的体心和面心立方品体中的原子数之 =0.272. 2.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解 理面的原子层的间距大.因为面间距大的品面族的指数低，所以解理面是面指数低的 晶面. 3.基矢为4-，西=，4-号++风的品体为阿种结构柳若马 0+)0 42 ,又为何种结构？为什么？ [解答] 有已知条件，可计算出品体的原胞的体积 04小号 由原胞的体积推断，晶体结构为体心立方.按照本章习题14，我们可以构造新的
第一章 晶体的结构 1 . 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数 之比. [解答] 设原子的半径为 R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为 , 晶 胞的体积为 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 ,单 位体积晶体中的原子数为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 晶胞的体积 为 , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为 , 单位体 积晶体中的原子数为 . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之 比为 =0.272. 2 . 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解 理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的 晶面. 3 . 基矢为 , , 的晶体为何种结构? 若 + , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 . 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题 14, 我们可以构造新的
矢量 u=4-4=2(-++ v=2-2=21-+k) 0=41+,-画与-2+-k】 私对应体心立方结构.根据14题可以验证，私”满足选作基矢的充分条 件.可见矢为1-正，-，马-号+小月的品体为体心立方结的 若 4-0+月 则晶体的原胞的体积 2-a号 该品体仍为体心立方结构， 4.若R以与R物平行，R是否是R,4的整数倍？以体心立方和面心立方结 构证明之. [解答] 若R4与R平行，R一定是R的整数倍.对体心立方结构，由(L.2》式 可知 0=42+03,b=43+41,c=1+a2, R=ha+kb+1c=(k+0a1+(1+扮a2+(h+0s=pR=p(☑1+1,02+1,3)， 其中p是(+D、(I0和(h+)的公约（整）数. 对于面心立方结构，由(1.3)式可知
矢量 , , . 对应体心立方结构. 根据 14 题可以验证, 满足选作基矢的充分条 件.可见基矢为 , , 的晶体为体心立方结构. 若 + , 则晶体的原胞的体积 , 该晶体仍为体心立方结构. 4 . 若 与 平行, 是否是 的整数倍? 以体心立方和面心立方结 构证明之. [解答] 若 与 平行, 一定是 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式 可知 , , , =h +k +l =(k+l) (l+h) (h+k) =p =p(l1 +l2 +l3 ), 其中 p 是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数. 对于面心立方结构, 由(1.3)式可知
=-01+a+03,b-a1-a+03,c=1+a2-3 Ram=ha+kb+1c=(-h+k+l)a1+(h-k+D)a2+(h+k-1)a3=p=p'(1+h 2+1,a3）. 其中p'是(-h+0、(-k+h+)和(h-+)的公约（整）数. 5.晶面指数为(123)的晶面A是离原点0最近的晶面，O从、0B和CC分别与基 矢a1、2和a3重合，除0点外，0M、0B和C上是否有格点？若BC面的指数为(234)， 情况又如何？ [解答] 晶面族(123)截1、2和a分别为1、2、3等份，BC面是离原点0最近的晶 面，O4的长度等于a1的长度，0B的长度等于a2的长度的1/2，C的长度等于a3的长 度的1/3，所以只有A点是格点.若ABC面的指数为(234)的品面族，则小、B和C都不 是格点， 6.验证晶面(210)，(11)和(012)是否属于同一晶带.若是同一晶带，其 带轴方向的品列指数是什么？ [解答] 由习题12可知，若(210)，(i11)和(012)属于同一品带，则由它们构成的 行列式的值必定为0.可以验证 012o 说明(210)，(i11)和(012)属于同一晶带. 晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向。由习题13可知，带轴方 向品列[11幻的取值为 .用
, , , =h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +(h+k-l) =p’ = p’(l1 +l2 +l3 ), 其中 p’是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公约(整)数. 5. 晶面指数为（123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB 和 OC 分别与基 矢 、 和 重合，除 O 点外,OA、OB 和 OC 上是否有格点？ 若 ABC 面的指数为（234）， 情况又如何？ [解答] 晶面族（123）截 、 和 分别为 1、2、3 等份，ABC 面是离原点 O 最近的晶 面，OA 的长度等于 的长度，OB 的长度等于 的长度的 1/2，OC 的长度等于 的长 度的 1/3，所以只有 A 点是格点. 若 ABC 面的指数为(234)的晶面族, 则 A、B 和 C 都不 是格点. 6. 验证晶面（ ），（ ）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其 带轴方向的晶列指数是什么? [解答] 由习题 12 可知,若（ ），（ ）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的 行列式的值必定为 0.可以验证 =0, 说明( ），（ ）和（012）属于同一晶带. 晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题 13 可知, 带轴方 向晶列[l1l2l3]的取值为 l1= =1, l2= =2, l3= =1
7.带轴为[001]的品带各品面，其面指数有何特点？ [解答] 带轴为[001]的品带各品面平行于[001]方向，即各品面平行于品胞坐标系 的c轴或原胞坐标系的as轴，各晶面的面指数形为(hkO)或(h0),即第三个数字 一定为0. 8.与品列[1，h】垂直的倒格面的面指数是什么？ [解答] 正格子与倒格子互为倒格子.正格子品面(a)与倒格式K:=方办+ b2+h垂直，则倒格晶面(1,2)与正格矢R=11+2+a正交.即晶列 [h21】与倒格面(1k)垂直. 9.在结品学中，品胞是按品体的什么特性选取的？ [解答] 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑品体 的宏观对称性 10.六角密积属何种品系？一个品胞包含几个原子？ [解答] 六角密积属六角晶系，一个品胞（平行六面体）包含两个原子. 11.体心立方元素品体，[111]方向上的结品学周期为多大？实际周期为多大？ [解答] 结品学的品胞，其基矢为么五，c,只考虑由格矢R=ha+kb+1c构成的格 点.因此，体心立方元素品体[11]方向上的结品学周期为5a,但实际周期为a /2. 12.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在哪些晶面内？
7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？ [解答] 带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系 的 轴或原胞坐标系的 轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h1h20）, 即第三个数字 一定为 0. 8 . 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么? [解答] 正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式 h1 +h2 +h3 垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 l1 + l2 + l3 正交. 即晶列 [l1l2l3]与倒格面(l1l2l3) 垂直. 9 . 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? [解答] 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体 的宏观对称性. 10. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? [解答] 六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子. 11. 体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? [解答] 结晶学的晶胞,其基矢为 ,只考虑由格矢 h +k +l 构成的格 点. 因此, 体心立方元素晶体[111]方向上的结晶学周期为 , 但实际周期为 /2. 12. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?
[解答] 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内.若以密堆积模型，则原 子面密度最大的品面就是密排面。由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中 的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为√2a/2.根据同族晶面 族的性质，周期最小的品列处于{111}面内. 13.在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10-0米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅， 光波的波长应小于10-0米.但可见光的波长为7.64.0×10-米，是晶体中原子间距 的1000倍.因此，在晶体衍射中，不能用可见光 14,高指数的品面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光 弱？为什么？ [解答] 对于同级衍射，高指数的品面族衍射光弱，低指数的品面族衍射光强。低 指数的晶面族面间距大，品面上的原子密度大，这样的品面对射线的反射（衍射）作用 强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小，这样的晶面对射线的反 射（衍射）作用弱。另外，由布拉格反射公式 2dsusin0-na 可知，面间距大的晶面，对应一个小的光的擦射角9.面间距d小的晶面， 对应一个大的光的掠射角日.日越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。 15.温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？ [解答] 温度升高时，由于热膨胀，面间距w逐渐变大.由布拉格反射公式 2dwusin0-n 可知，对应同一级衍射，当X光波长不变时，面间距逐渐变大，衍射角8逐 渐变小.所以温度升高，衍射角变小
[解答] 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原 子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9 可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中 的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为 . 根据同族晶面 族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内. 13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为 米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅， 光波的波长应小于 米. 但可见光的波长为 7.6⎯4.0 米, 是晶体中原子间距 的 1000 倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光 弱? 为什么? [解答] 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低 指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用 强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反 射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 可知, 面间距 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角 . 面间距 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化? [解答] 温度升高时, 由于热膨胀, 面间距 逐渐变大. 由布拉格反射公式 可知, 对应同一级衍射, 当 X 光波长不变时, 面间距 逐渐变大, 衍射角 逐 渐变小.所以温度升高, 衍射角变小
当温度不变，X光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角9随之变大。 16.面心立方元素晶体，密勒指数(100)和(110)面，原胞坐标系中的一级衍射， 分别对应品胞坐标系中的几级衍射？ [解答] 对于面心立方元素品体，对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式 求得为(i),p=1.由1.3)式可知瓜2五w:由1.16)和1.18)两式可知， d站=d/2:再由(1.26)和(1.27)两式可知，n2m即对于面心立方元素晶体，对 应密勒指数(100)品面族的原胞坐标系中的一级衍射，对应品胞坐标系中的二级衍射 对于面心立方元素晶体，对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由 1.30式求得为00，p2由1.3)式可知，五-瓜w:由0.16)和(1.18)两式可 知，=：再由(1.26)和(1.27)两式可知，n=,即对于面心立方元素品体 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射，对应晶胞坐标系中的一级衍 17.由KC1的衍射强度与衍射面的关系，说明KC1的衍射条件与简立方元素品体的 衍射条件等效。 [解答] C1与K是原子序数相邻的两个元素，当C1原子俘获K原子最外层的一个电子结合 成典型的离子品体后，C1与K*的最外壳层都为满壳层，原子核外的电子数和壳 层数都相同，它们的离子散射因子都相同。因此，对X光衍射来说，可把C”与K+看 成同一种原子.KCl与NaCl结构相同，因此，对X光衍射来说，KCl的衍射条件与简立 方元素品体等效. 由KC1的衍射强度与衍射面的关系也能说明KC1的衍射条件与简立方元素品体的衍 射条件等效.一个KC1晶胞包含4个K+离子和4个C离子，它们的坐标 a,m0,m时)， 由(1.45)式可求得衍射强度Iw与衍射面(hk)的关系
当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大. 16. 面心立方元素晶体, 密勒指数(100)和(110)面, 原胞坐标系中的一级衍射, 分别对应晶胞坐标系中的几级衍射? [解答] 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式 求得为( ), p’=1. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)两式可知, ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=2n. 即对于面心立方元素晶体, 对 应密勒指数(100)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的二级衍射. 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)的原胞坐标系的面指数可由 (1.34)式求得为(001), p’=2. 由(1.33)式可知, ; 由(1.16)和(1.18)两式可 知, ; 再由(1.26)和(1.27)两式可知, n’=n, 即对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(110)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射, 对应晶胞坐标系中的一级衍 射. 17. 由KCl 的衍射强度与衍射面的关系, 说明KCl的衍射条件与简立方元素晶体的 衍射条件等效. [解答] Cl 与K 是原子序数相邻的两个元素, 当 Cl原子俘获K 原子最外层的一个电子结合 成典型的离子晶体后, 与 的最外壳层都为满壳层, 原子核外的电子数和壳 层数都相同, 它们的离子散射因子都相同. 因此, 对 X 光衍射来说, 可把 与 看 成同一种原子. KCl 与 NaCl 结构相同, 因此, 对 X 光衍射来说, KCl 的衍射条件与简立 方元素晶体等效. 由KCl 的衍射强度与衍射面的关系也能说明KCl 的衍射条件与简立方元素晶体的衍 射条件等效. 一个 KCl 晶胞包含 4 个 离子和 4 个 离子，它们的坐标 ：（000）（ ）（ ）（ ） ：（ ）（ ）（ ）（ ） 由（1.45）式可求得衍射强度 Ihkl与衍射面(hkl)的关系
ag+eomr0+ fer [cosnh+cosnk+cosnl+cosn(+k+)]) 由于+等于r,所以由上式可得出衍射面指数欧k全为偶数时，衍射强 度才极大衍射面指数的平方和(n的2+a2+(02:4.8,12,16,20,24.以上 诸式中的n由 aP+0n+如9-1 2 2,决完费公式光视射的角度把看成简立方元美品体，则其品格常数为二一 约+你+7如9-1 2 显然n=2m,衍射面指数平方和（)2+(2+()2：1,2,3,4,5,6.这 正是简立方元素晶体的衍射规律 18.金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同？ [解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式 会a 其中u,yg是任一个晶胞内，第j个原子的位置矢量在么b,c轴上投影的系数 金刚石和硅、储具有相同的结构，尽管它们的么血，c大小不相同，但第了个原子的位置 矢量在么血，c轴上投影的系数相同。如果认为晶胞内各个原子的散射因子力都一样， 则几何结构因子化为 银=∑e2+,+a, 在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同.。由于金刚石和硅，。 锗原子中的电子数和分布不同，几何结构因子中的原子散射因子了不会相同
Ihkl={ 1+cos 由于 等于 , 所以由上式可得出衍射面指数 全为偶数时, 衍射强 度才极大. 衍射面指数的平方和 : 4, 8, 12, 16, 20, 24. 以上 诸式中的 n 由 决定. 如果从 X 光衍射的角度把 KCl 看成简立方元素晶体, 则其晶格常数为 , 布拉格反射公式化为 显然 , 衍射面指数平方和 : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 这 正是简立方元素晶体的衍射规律. 18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同? [解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式 , 其中 uj,vj,wj是任一个晶胞内,第 j 个原子的位置矢量在 轴上投影的系数. 金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的 大小不相同, 但第 j 个原子的位置 矢量在 轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子 都一样, 则几何结构因子化为 . 在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、 锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子 不会相同
19.旋转单晶法中，将胶片卷成以转轴为轴的圆筒，胶片上的感光线是否等间距 [解答] 旋转单晶法中，将胶片卷成以转轴为轴的圆筒，衍射线构成了一个个圆锥 面.如果胶片上的感光线如图所示是等间距，则应有关系式 受 其中R是圆筒半径，d是假设等间距的感光线间距，”是各个圆锥面与垂直于转轴 的平面的夹角.由该关系式可得 md x- sin 即如：与整数m不成正比.但可以证明 P m:“aNR+2+7 即如网与整数m成正比（参见本章习题23.也就是说，旋转单晶法中，将胶 片卷成以转轴为轴的圆筒，胶片上的感光线不是等间距的
19. 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线是否等间距? [解答] 旋转单晶法中, 将胶片卷成以转轴为轴的圆筒, 衍射线构成了一个个圆锥 面. 如果胶片上的感光线如图所示是等间距, 则应有关系式 tg . 其中 R 是圆筒半径, d 是假设等间距的感光线间距, 是各个圆锥面与垂直于转轴 的平面的夹角. 由该关系式可得 sin , 即 与整数 m 不成正比. 但可以证明 . 即 与整数 m 成正比(参见本章习题 23). 也就是说, 旋转单晶法中, 将胶 片卷成以转轴为轴的圆筒, 胶片上的感光线不是等间距的
20.如图1.33所示，哪一个衍射环感光最重？为什么？ [解答] 最小衍射环感光最重。由布拉格反射公式 2dsusin0-nd 可知，对应掠射角8最小的晶面族具有最大的面间距.面间距最大的晶面上的原 子密度最大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用最强。最小衍射环对应最小的掠射 角，它的感光最重
20. 如图 1.33 所示, 哪一个衍射环感光最重? 为什么? [解答] 最小衍射环感光最重. 由布拉格反射公式 可知, 对应掠射角 最小的晶面族具有最大的面间距. 面间距最大的晶面上的原 子密度最大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用最强. 最小衍射环对应最小的掠射 角,它的感光最重