第三章晶格振动与晶体的热学性质 §3.1一维单原子链的振动 一、运动方程及其解 n-2 n-1 n+1 n+2 B:力常数 up2 Hn-1 μt1 un+2 只考虑最近邻原子间的相互作用： fn=-B(4n-4n+)-B(4n-4-i)=B(4n+1+4n-1-24n)
第三章 晶格振动与晶体的热学性质 §3.1 一维单原子链的振动 一、运动方程及其解 n-2 n-1 n n+1 n+2 n-2 n-1 n n+1 n+2 a a ( ) n n n 1 f = − − + 只考虑最近邻原子间的相互作用： ( ) − − n n−1 ( ) 1 1 2 = + − n n n + − ：力常数
第n个原子的运动方程： min=B(4n+1+4n-1-24n) 试解 L Aei(ot-nag) 格波方程 -mA)-BAe)Ae2ee-n) -mw2=B(ea+ea▣-2）=2B(cosaq-1) 解得 w-2n一 色散关系
第n个原子的运动方程： ( ) 1 1 2 m n n n n = + − + − ( ) n i t naq Ae − 试解 = —— 格波方程 ( ) ( ) 2 2 2 cos 1 iaq iaq m e e aq − − = + − = − 1 2 sin 2 aq m 解得 = —— 色散关系 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 i t naq i t naq i t naq i t n iaq iaq aq m Ae Ae Ae Ae − − − − − + − = + −
二、格波的简约性质、简约区 0-2 色散关系 a(q) -π<q≤ π 简约区 a a -2π-匹0匹2匹 a
二、格波的简约性质、简约区 q a a − —— 简约区 1 2 sin 2 aq m = —— 色散关系 a - a 0 2 a 2 a - q (q)
格波： Aei(o-nag) 连续介质弹性波：Aeor-) >对于确定的n:第n个原子的位移随时间作简谐振动 >对于确定时刻：不同的原子有不同的振动位相 q的物理意义：沿波的传播方向（即沿的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波
q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。 ➢ 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 ➢ 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 i t naq ( ) Ae − i t xq ( ) Ae − 格 波： 连续介质弹性波：
● q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 ·若9-g 2π.则q与q描述同一晶格振动状态 2ππ 人=4a 例： 2a 2π 2=a=4=元 4 π 5π 92-91= a 2a
例： 1 = 4a 2 4 5 = a 1 1 2 2 q a = = 2 2 2 5 2 q a = = 2 1 2 q q a − = ⚫ q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 ⚫ 若 2 q q a − = 则 q 与 q 描述同一晶格振动状态
三、周期性边界条件(Born一Karman边界条件) N+1 ●人●一● 12 n NN+2 N+n 八xm=l 0 N+1 Aelor-(N+n)ag]=Ae(o-nag) N+n●n 2●N+2 一-eag=1(e2h≡l) 2兀.h :.q=Na h=整数
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件） N+n = n 1 2 n N N+1 N+2 N+n i t N n aq ( ) i t naq ( ) Ae Ae − + − = h Na q = 2 h =整数 1 iNaq e − = ( ) 2 1 i h e
在轴上，每一个q的取值所占的空间为 2π Na Na L q的分布密度： p(g)= 2π 2π L=Na一晶体链的长度 简约区中波数q的取值总数=p(g) 2πNa2π 2πa =N=晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N1=晶体链的自由度数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 Na 2 q的分布密度： ( ) 2 2 Na L q = = L＝Na ——晶体链的长度 晶格振动格波的总数=N·1 简约区中波数q的取值总数 ( ) 2 2 2 Na q a a = = ＝N＝晶体链的原胞数 =晶体链的自由度数
四、格波的简谐性、声子概念 晶体链的动能： 晶体链的势能： U=2B∑(4，-hi)月 系统的总机械能： H=2∑mG+2P∑(4，-4)》 频率为ω的特解： L =Ae-nag) 方程的一般解： 4.=∑Ae-mg) m()e
四、格波的简谐性、声子概念 ( ) 1 , q inaq Q q t e Nm − = 1 2 2 n 晶体链的动能： T m = n ( ) 2 1 1 2 n 晶体链的势能： U = − n n+ ( ) 2 2 1 1 1 2 2 n n 系统的总机械能： H m = + − n n n+ ( ) n i t naq A e − = j j 频率为 j j j的特解： ( ) j n i t naq A e − = j j 方程的一般解： j
线性变换系数正交条件： ∑e”-8g 系统的总机械能化为： H-2∑[0(a.0(a.+o'a)e'(a.0a.] Q(4,t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原 子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的 坐标，称为简正坐标
线性变换系数正交条件： ( ) , 1 q q n ina q q e N − = 系统的总机械能化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * * 2 , , , , 2 q H Q q t Q q t q Q q t Q q t = + Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原 子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的 坐标，称为简正坐标
运动方程： g(q,t)+o2(q)2(9,)=0 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。 能量本征值： n=0,1,2,. 声子的概念： ,声子是晶格振动的能量量子h0, ·一种格波即一种振动模式称为一种声子，·：声子数。 。 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以h0,为 单元交换能量
运动方程： Q q t q Q q t ( , , 0 ) + = ( ) ( ) j j 2 j • 声子是晶格振动的能量量子 j 声子的概念： • 一种格波即一种振动模式称为一种声子，nj：声子数。 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。 j j j 1 2 E n = + 能量本征值： j n = 0,1,2, • 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为 单元交换能量。 j