§64相对论理论的四维形式 1
1 §6.4 相对论理论的四维形式
在相对论中时间和空间不可分割， 当参考系改变时，时空坐标互相 变换，三维空间和一维时间构成 一个统一体 四维时空。 2
2 在相对论中时间和空间不可分割， 当参考系改变时，时空坐标互相 变换，三维空间和一维时间构成 一个统一体 ——四维时空
四维时空理论可用简洁的四 维形式表述出来。利用这种形式可以很 清楚地显示出一些物理量之间的内在联 系，并且可以把相对性原理用非常明显 的形式表达出来。 3
3 四维时空理论可用简洁的四 维形式表述出来。利用这种形式可以很 清楚地显示出一些物理量之间的内在联 系，并且可以把相对性原理用非常明显 的形式表达出来
1.三维空间的正交变换 先回顾一下三维空间的转动性质。 先看二维平面上的坐标系 转动。设坐标系Σ相对于 x=xcos0+ysin 0, 坐标系转了一个角0。设 =sin0+ycos0 平面上一点的坐标在Σ系为 x,y,在∑系x,y为。新旧 坐标之间有变换关系 0P2=2+2=x2+U2 =不变量 图6-8 4
4 先回顾一下三维空间的转动性质。 先看二维平面上的坐标系 转动。设坐标系´相对于 坐标系转了一个角 。设 平面上一点的坐标在系为 x,y; 在´系x´ ,y´为。新旧 坐标之间有变换关系 x´=xcos+ysin , y´=-xsin+ycos. OP2=x2+y2= x´ 2+ y´ 2 =不变量 1. 三维空间的正交变换
正交变换 0P2=2+2=x2+/2=不变量 满足此式的二维平面上的线性变换称为 正交变换。坐标系转动属于正交变换。 5
5 满足此式的二维平面上的线性变换称为 正交变换。坐标系转动属于正交变换。 OP2=x2+y2= x´ 2+ y´ 2=不变量 正交变换
任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式 设D为平面上任意矢量。在Σ系中的分量为UxDy起彼伏 在Σ系中的分量为Ux心'，。这些分量有变换关系， U'x=Uxcos0+vysine U'y=-vasin 0+vycosa 矢量长度平方为 |U|2=02m+U2y=U2x+U2 =不变量 6
6 设为平面上任意矢量。在系中的分量为x ,y ;起彼伏 在´系中的分量为´ x ,´ y 。这些分量有变换关系, 矢量长度平方为 ´ x =xcos+ ysin, ´ y= - xsin + ycos. | | 2= 2 x + 2 y = ´ 2 x +´ 2 y =不变量 任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式
现在讨论三维坐标转动。设Σ系的直 角坐标为心2心g),系的直角坐标 为(x1心'2心3)。三维坐标线性变换 一般具有形式 c1=1+2U2+13C3, x'2=021G+022U2+u2323, s=as 1+43242 +a333. 7
7 现在讨论三维坐标转动。设系的直 角坐标为(x1 ,x2,x3), ´系的直角坐标 为(x´ 1 ,x´ 2,x´ 3) 。三维坐标线性变换 一般具有形式 x´ 1=a11 x1+a12 x2 +a13 x3, x´ 2=a21 x1+a22 x2 +a23 x3, x´ 3=a31x1+a32 x2 +a33 x3
坐标系转动时距离保持不变，应有 x12+x'22+x82=m2+22+32 满足此式的线性变换称为正交变换。 空间转动属于正交变换，式中的系数 依赖于转动轴和转动角。 8
8 坐标系转动时距离保持不变,应有 x´ 1 2+ x´ 2 2+ x´ 3 2= x1 2 + x2 2 + x3 2 满足此式的线性变换称为正交变换。 空间转动属于正交变换, 式中的系数 aij依赖于转动轴和转动角
坐标变换式 3 xi=∑gx,i=12,3 i=1 在一般情形中，当公式中出现重复 下标时（如上式右边的），往往都要 对该指标求和。这是现代物理中通 用的约定。 9
9 坐标变换式 1 2 3 3 1 , , , ' = = = x a x i j j ij i 在一般情形中, 当公式中出现重复 下标时(如上式右边的j), 往往都要 对该指标求和。这是现代物理中通 用的约定
爱因斯坦约定：除特别声明外，凡有重 复下标时都意味着要对它求和。以后为 了书写方便，省略求和符号。 变换式可简写为 xi=几ixj 正交条件是 xixi=xx=C 10
10 爱因斯坦约定: 除特别声明外, 凡有重 复下标时都意味着要对它求和。以后为 了书写方便, 省略求和符号。 变换式可简写为 ij j x i = a x ' 正交条件是 x i x i = xi xi = C '