第十三章： 达朗贝尔原理 达朗贝尔原理 则体惯性力系的简化
第十三章 达朗贝尔原理 • 达朗贝尔原理 • 刚体惯性力系的简化
引言 前面介绍的动力学善遍定理，为解决质点 象动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题，因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也容 易幸握，因此动静法在工程中被广泛使用
前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单, 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。 引言
13.1质点的达朗贝尔原理 设一质点质量为m,加速度为4，作用于质点的主 动力为F,约束反力为FN。由牛顿第二定律，有 ma=F+Ex 将上式改写成 F+Fy-ma=0 令 F=-ma F具有力的量纲，且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的火小等于质点的质量与加速度的乘 积，方向与质点如速度的方向相反
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN。由牛顿第二定律，有 将上式改写成 令 F a I = −m 13.1 质点的达朗贝尔原理 m = + N a F F 0 F F a + − = N m FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。 m F FN FI ma
13.1质点的达朗贝尔原理 则有 F+FN+F=0 即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、 约束反力和假想如在质点上的惯性力构成形式上的平 衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。 应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。 达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、 约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平 衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。 则有 0 F F F + + = N I 应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。 达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。 13.1 质点的达朗贝尔原理
例1球磨机的滚筒以匀角速度0绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的 物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而 击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为r,试求钢球的脱离角。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对像，受力如图。钢球未脱离筒 壁前，作圆周运动，其加速度为 a,=0 a=ro2 惯性力F的大小为F=mro2 假想地加上惯性力，由达朗贝尔原理 ∑Fn=0:F+mg cos-F=0 F@2 Fv =mg(-cose) 8 这就是钢球在任一位置日时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁 时，Fv=0,由此可求出其脱离角a为 a arccos
例1 球磨机的滚筒以匀角速度w 绕水平轴O转动, 内装钢球和需要粉碎的 物料, 钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线轨迹自由落下, 从而 击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径为r,试求钢球的脱离角a。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。钢球未脱离筒 壁前, 作圆周运动,其加速度为 = 0 a 2 an = rw 惯性力FI的大小为 假想地加上惯性力,由达朗贝尔原理 0: cos 0 = + − = F F mg F n N I O M r w a F FN mg FI 2 F mr I = w ( cos ) 2 w = − g r FN mg 这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁 时, FN＝0 , 由此可求出其脱离角a为 arccos( ) 2 g rw a =
13.2质点素的达朗贝尔原理 设质点象由n个质点组成，其中任一质点i的质 量为m,其如速度为把作用在此质点上的力分为 主动力的合力F、约束力的合力为F,对这个质点 上假想地加上它的惯性力Fi=m:,则由质点的达 朗贝尔原理，有 F+FN,+F=0(i=1,2,.,n) 即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理
设质点系由 n 个质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi , 其加速度为ai , 把作用在此质点上的力分为 主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点 上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达 朗贝尔原理,有 N I 0 ( 1, 2, , ) i i i F F F + + = = i n 13.2 质点系的达朗贝尔原理 即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理
13.2质点系的达朗贝尔原理 把作用在第个质点上的所有力分为外力的合力 为F,内力的合力为F0,则有 F°+F0+F,=0i=1,2,m) 质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性 力在形式上组成平衡力条。由静力学知，空间任意 力系平衡的充分必要条件是力条的主矢和对于任一 点的主矩等于零，即 ∑Fe+ΣF,0+∑F,=0 ΣMo(Fe)+ΣMo(F)+ΣM。(F)=0
把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力 为Fi (e) , 内力的合力为Fi (i) ，则有 (e) (i) I 0 ( 1, 2, , ) i i i F F F + + = = i n 13.2 质点系的达朗贝尔原理 质点系中第i个质点上作用的外力、内力和它的惯性 力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意 力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一 点的主矩等于零，即 (e) (i) Σ Σ Σ I 0 F F F i i i + + = (i) (e) Σ I O O ( ) Σ ( ) i O Σ ( ) 0 M F M F M F i i + + =
13.2质点素的达朗贝尔原理 因为质点系的内力总是成对出现，且等值、反向、共 线，因此有2F0=0和∑Mo(F=0,于是的有 ΣFe+2F,=0 ΣM.(F)+ΣM,(E)=0 即：作用在质点条上的所有外力与虚如在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力条。这是质点条达 朗贝尔原理的又一表述。 称F为惯性力系的主矢，∑Mo(F)为惯性力 象的主矩
因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共 线, 因此有ΣFi (i)= 0和ΣMO(Fi (i)) = 0, 于是的有 即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。 13.2 质点系的达朗贝尔原理 (e) Σ Σ I i 0 F F + =i (e) Σ I O i O ( ) Σ ( ) 0 M F M F + = i 称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi )为惯性力 系的主矩
例已知：m,R,Q。求： 轮缘横截面的张力。 解：取上半部分轮缘为研究对象 Rd0.Ro 2πR ΣF,=0∑F,sin0-2F=0 片2 Rni'sin X mRo2 2π
O x y FIi d F FT T w O R 例 已知：m ，R， w。求： 轮缘横截面的张力。 解： 取上半部分轮缘为研究对象 2 2 w Rd R R m Fi = = 0 sin − 2 = 0 Fy Fi FT w w 2 sin 2 2 1 2 2 0 mR R d m FT = =
13.3刚体愤性力素的简化 用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问 题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力条。下面用静力 学力系简化理论，求出惯性力条的主矢和主矩。 以FR表示惯性力条的主矢。由质心运动定理及质 点条的达朗贝尔原理 ΣFo+ΣF=0 得 F=ΣF=-∑Fe=-maC 此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心如速度的乘积，方向与质心如速 度的方向相反
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问 题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力 学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。 以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化 (e) Σ Σ I 0 F F i i + = 得 (e) F F F a I I R i i C = = − = − Σ Σ m 此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速 度的方向相反