第五章 晶体中电子的能带理论 实际上，受晶体的离子和电子产生的 晶体势场的影响
第五章 晶体中电子的能带理论 实际上,受晶体的离子和电子产生的 晶体势场的影响
5.1周期性势场和布洛赫电子 H=H。+H,+H。 e H,+ΣR-R H=∑.-R）
5.1 周期性势场和布洛赫电子 H = He + Hi + He−i ( ) − = − + k k k k k e k r r e i m H ` , 2 0 2 2 ` 8 1 2 ( ) ( ) = − + − j jj i j Vi Rj Rj i m H ` 2 1 2 2 2 = ( − ) − − k j e i e i k Rj H V r
严格说，要求解晶体中的电子 离子和电子 状态，必须写出晶体中存在着 的数密度 相互作用的所有离子和电子的 薛定谔方程 1029/m23 复杂的多体问题，进行三个近似
严格说，要求解晶体中的电子 状态，必须写出晶体中存在着 相互作用的所有离子和电子的 薛定谔方程 离子和电子 的数密度 29 3 10 m 复杂的多体问题，进行三个近似
绝热近似，玻恩-奥本海姆近似 多体问题转化为多电子问题 哈特里平均场 平均场近似 电子间的库仑相互作用 计及自旋和电子间交换互作用 哈特里-福克平均场 多电子转化为单电子问题 周期场近似 周期为晶格所具有的周期
绝热近似，玻恩-奥本海姆近似 多体问题转化为多电子问题 平均场近似 哈特里平均场 哈特里-福克平均场 电子间的库仑相互作用 计及自旋和电子间交换互作用 周期场近似 周期为晶格所具有的周期 多电子转化为单电子问题
绝热近似 m核>>me电子运动的典型速率是10 m/s,而原子核运动速率最高只有103m/s。 。认为原子核对电子的运动并无反应，而电子 对原子核的运动响应如此迅速，电子体系的能量 总是处于与任一瞬时原子核位置相对应的最低能 量。通常将此描述为电子绝热地响应原子核位 置的变化
一、绝热近似 ∵ m核 ＞＞ me 电子运动的典型速率是106 m/s，而原子核运动速率最高只有103 m/s。 ∴ 认为原子核对电子的运动并无反应，而电子 对原子核的运动响应如此迅速，电子体系的能量 总是处于与任一瞬时原子核位置相对应的最低能 量。通常将此描述为电子绝热地响应原子核位 置的变化
在讨论电子运动时，可认为所有的原子核 都固定在平衡位置。 原子核只相当于对电子提供了一个固定 的外势场。 多种粒子问题→多电子问题，得到多电 子薛定锷方程
在讨论电子运动时，可认为所有的原子核 都固定在平衡位置。 原子核只相当于对电子提供了一个固定 的外势场。 多种粒子问题 → 多电子问题，得到多电 子薛定锷方程
21m 复杂的多粒子体系简化为周期场中的单电子运动
( ) ( ) ( ) d (r) E (r) r r e r V r m k k k k k k i = − − + + 2 0 2 2 2 2 4 复杂的多粒子体系简化为周期场中的单电子运动
5.1.2布洛赫波 晶体电子在规则排列的正离子势场中运动， 势场具有晶格周期性. 周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波， 而是调幅平面波，其振幅不再是常数。 y(x)=e4(x) uk(x)=uk(x+na)） 此种形式的波函数称为布洛赫函数
5.1.2 布洛赫波 晶体电子在规则排列的正离子势场中运动， 势场具有晶格周期性． 周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波， 而是调幅平面波，其振幅不再是常数。 ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x na x e u x k k k ikx k = + = 此种形式的波函数称为布洛赫函数．
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数kx与一个具有 晶体结构周期性的函数4，(x)的乘积。 ◆它是按照晶格的周期a调幅的行波。 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。 ◆只有在山(x)等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。 ◆ 因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。 i k x e u (x) k 只有在 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。 u (x) k 因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点
·证明布洛赫定理： 平移算符： 7 Tf(x)=f(x+a) T f(x)=f(x+2a) T f(x)=f(x+na) f(x)~V(x),H(x),p(x):
• 证明布洛赫定理： 平移算符： ^ T ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ^ 2 ^ ^ T f x f x na T f x f x a T f x f x a n = + = + = + f (x) ~ V(x), H(x),(x)