第三章低维系统的数值解 很多凝聚态系统即使在低维和单粒子近似下也无法得到精确的解析解，本章将介绍各种 低维量子阱系统的数值求解方法。 §3.1投射法 任意势下的薛定谔方程为， 2m在e)+re)-Ewe=0 h'd2 (3.1.) 利用有限元展开， 方2「+)-2ye)+e- +Ve)-E]w(e)=0 2m (&)2 (3.1.2) 或者写成， e+-[e-+2e-e- (3.1.3) 因此，只要知道了(：)和(：-正)，即可求得下一位置的Ψ（仁+正），这种方法称之为投 射法。 (山)对称势场如果势阱是对称性的，相应的波函数也是对称性的。 对于奇函数的w(),应有w(0)=0,因此可以选取： w(0)=0,(c)=1 最后再对其归一化。 实际上，W中还包含未知数E,它可由边界条件给出，即， 当：→时有(,→0和(，)→0（定态） 对于偶波函数的(e),则可选”(0)=1，并且有w(+正)尸(-正)，将其代入方程(3.13) 得到
62 第三章 低维系统的数值解 很多凝聚态系统即使在低维和单粒子近似下也无法得到精确的解析解，本章将介绍各种 低维量子阱系统的数值求解方法。 §3.1 投射法 任意势下的薛定谔方程为， ( ) [ ( ) ] ( ) 0 2 2 2 2 z + V z − E z = dz d m － (3.1.1) 利用有限元展开， [ ( ) ] ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 + − = + − + − V z E z z z z z z z m － (3.1.2) 或者写成， ( ) ( ( ) ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 z V z E z z z m z z − − + = − + (3.1.3) 因此，只要知道了 (z) 和 (z − z) ，即可求得下一位置的 (z + z) ，这种方法称之为投 射法。 (1) 对称势场 如果势阱是对称性的，相应的波函数也是对称性的。 对于奇函数的 (z) ，应有 （0）＝0 ，因此可以选取： (0)＝0， (z)＝1 最后再对其归一化。 实际上， 中还包含未知数 E ，它可由边界条件给出，即， 当 z → 时，有 (z, E) → 0 和 ( , ) → 0 z E z （定态） 对于偶波函数的 (z) ，则可选 （0）＝1 ，并且有 (+z)＝ (−z) ，将其代入方程(3.1.3) 得到
)-ro-E+2] (3.1.4) 很多波函数的迷取可以参照具体的势形式。如单势阱情况，波函数在垒内应是衰减的， 因此可令，w(:-正)=1，那么， we+)=we)cp-dt其中a=2mW-互 h (2)非对称势场一般来说，V()不一定具有对称性，此时通常选取， w(:-)=0,w(e)= 因为波函数乘以一个因子后并不影响本征值E,因此如果选取波函数第一点W(:一亡)很 小，但有限，比如说6w,那么第二点可以很大，比如为N6w,那么，第三点的值则为， ue+-[票ere-+2oy- (3.1.5 §3.2投射法应用举例 $3.2.1单量子阱解 数值计算15 nmGaosAlo2As10 nmGaAs/15 nmGao.sAlo2As对称势阱中的基态波函数，结 构如图3.2.1所示。真实解为2943mV。能量偏离后会出现w在右端的不收敛。 10 0:m0 40 图321波函数的数值解（虚线）与真实解（实线）
63 = ( ) ( (0) − ) + 2 2 2 1 ( ) 2 2 z V E m z (3.1.4) 很多波函数的选取可以参照具体的势形式。如单势阱情况，波函数在垒内应是衰减的， 因此可令， (z − z)＝1 ，那么， (z +z) =(z)exp(− z) 其中 2 2 ( ) m V − E ＝ (2)非对称势场 一般来说， V (z) 不一定具有对称性，此时通常选取， (z −z)＝0 ， (z)＝1 因为波函数乘以一个因子后并不影响本征值 E ，因此如果选取波函数第一点 (z − z) 很 小，但有限，比如说 ，那么第二点可以很大，比如为 N ，那么，第三点的值则为， − + = z V z − E + N m z z ( ) ( ( ) ) 2 2 ( ) 2 2 (3.1.5) §3.2 投射法应用举例 §3.2.1 单量子阱解 数值计算 15nmGa0.8Al0.2As/10nmGaAs/15nmGa0.8Al0.2As 对称势阱中的基态波函数，结 构如图 3.2.1 所示。真实解为 29.43meV。能量偏离后会出现 在右端的不收敛。 图 3.2.1 波函数的数值解（虚线）与真实解（实线）
§3.2.2测不准原理 测不准原理为， pA≥h/2 (3.2.1) 其中(2=2-e2,(p)2=p2）-(p)2。各量的计算为 =jwew(ed,）=S v()'vald =ae2et,）-eget (P)和(p)可用下式简单计算， (-mv(-:- 2 (p）-了v阳E+)-2)+wE-t (G)2 取垒高100meV,质量为常数，单量子阱的测不准原理计算结果如图3.22所示。在1，=10m 时出现极小。 0.60 0.55 +0.50 0 5 20 图322测不准关系随阱宽的变化
64 §3.2.2 测不准原理 测不准原理为， pz / 2 (3.2.1) 其中 2 2 2 (z) ＝ z － z ， 2 2 2 (p) ＝ p － p 。各量的计算为， z (z)z (z)dz * + − = ， z (z)z (z)dz 2 * 2 + − = z dz z p i (z) ( ) * = − + − ， z dz z p (z) ( ) 2 2 2 2 * = − + − p 和 2 p 可用下式简单计算， dz z z z z z p i z 2 ( ) ( ) ( ) * + − − = − + − dz z z z z z z p z 2 2 2 * ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) + − + − = − + − 取垒高 100meV，质量为常数，单量子阱的测不准原理计算结果如图 3.2.2 所示。在 lw ＝10nm 时出现极小。 图 3.2.2 测不准关系随阱宽的变化
$3.3各种势结构下的投射法 $3.3.1异质结势 Z-8Z 2+6z 图33.1异质结 设：点在阱内， e-[a+0- (3.3.) &→0时，有y(e+)=2w()-w(e-&) 或者，(e+正)一(e)=w(e)-(2-) 即波函数微分的连续性（常数质量m的情况） 3.3.2抛物线势阱 抛物线势阱是验证数值求解结果的很好例子 v()- (3.3.2) 其中=Vc/m
65 §3.3 各种势结构下的投射法 §3.3.1 异质结势 图 3.3.1 异质结 设 z 点在阱内， ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 * z E z z z m z z − − + = − + (3.3.1) z →0 时，有 (z + z) = 2 (z) − (z −z) 或者， (z + z)－ (z) = (z) − (z −z) 即波函数微分的连续性（常数质量 * m 的情况） §3.3.2 抛物线势阱 抛物线势阱是验证数值求解结果的很好例子。 2 2 1 V (z) = cz (3.3.2) 其中 ＝ c / m
v(z) E2 0 图33.2抛物线势阱 薛定谔方程， )+v(:)-Ev(-) 2d2 (3.3.3) 在Ga1AlAs中，搀杂浓度x可能与量子阱位置：有关，设为， xe)=x+-6-a/2j=-x (3.3.4 (a/2) 其中a为阱‘究'，b为垒‘宽'。xmm,xm分别为搀杂浓度的最大值和最小值。 取a=t10nm,m=0.067m。,xmn-0,xm=l0得到的禁闭能级如下： V(z) 13> 2 11> a- 10 20 30 z(mm) 图3.3.3Ga,AL,As/GaAs/Gar.AlAs抛物线势阱结构及其最低三个能级电子态示意图 表3.3.1抛物势下的本征能级数值解与精确解比较 序号n E(meV) E/2E 1 435.938 0.500 2 1307.809 1.500
66 图 3.3.2 抛物线势阱 薛定谔方程， ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 z cz z E z dz d m + = － (3.3.3) 在 Ga1-xAlxAs 中，搀杂浓度 x 可能与量子阱位置 z 有关，设为， 2 max min 2 min ( / 2) [ ( / 2)] ( ) ( ) a z b a x x x z x − − − = + (3.3.4) 其中 a 为阱‘宽’，b 为垒‘宽’。 min max x ，x 分别为搀杂浓度的最大值和最小值。 取 a=b=10nm， m 067me 0. * = ， xmin ＝0，xmax ＝10 得到的禁闭能级如下： 图 3.3.3 Ga1-xAlxAs/ GaAs/Ga1-xAlxAs 抛物线势阱结构及其最低三个能级电子态示意图 表 3.3.1 抛物势下的本征能级数值解与精确解比较 序号 n En (meV) En/2E1 1 435.938 0.500 2 1307.809 1.500
3 2179.671 2.500 4 3051.522 3.500 5 3923.341 4.500 6 4794.990 5.500 5665.755 6.498 8 6532.518 7.492 数值计算的高能值有所偏离En=(n+1/2)h@。 $3.3.3 Poschl-Teller 一个更适合模拟半导体量子阱的势模型为POschI-.Teller势： a云。 cosh?c (3.3.5) 其中a为宽度参数，1为深度参数：(1)01给出 势阱。 P6schl-Teer势的优点是其薛定方程存在解析解 2m(-m (33.6 100 300 -10 10 图3.3.4 Pischl-Teller势
67 3 2179.671 2.500 4 3051.522 3.500 5 3923.341 4.500 6 4794.990 5.500 7 5665.755 6.498 8 6532.518 7.492 数值计算的高能值有所偏离 En = (n +1/ 2) 。 §3.3.3 Pöschl-Teller 势 一个更适合模拟半导体量子阱的势模型为 Pöschl-Teller 势： m z V z 2 2 * 2 cosh ( 1) 2 ( ) － = − (3.3.5) 其中 为宽度参数， 为深度参数：(1) 0 1 给出势垒，(2) ＝1 平台，(3) 1 给出 势阱。 Pöschl-Teller 势的优点是其薛定谔方程存在解析解， 2 * 2 2 ( 1 ) 2 n m En －－ = − (3.3.6) 图 3.3.4 Pöschl-Teller 势
$3.3.4收敛测试 调节步长N=l/&,可以验证投射方法在P6schl-Teller势下的收敛性。 §3.4有效质量变化的情况 薛定谔方程为， 218 2正m白a+ewe)=Ewe (3.4.1) 或 mme是e+dr-e-e 1a2 如果m()不是连续的，如在异质结中，按照前面的有限元展开就存在问题。一种方法是展 开3.4.1)式左边的微分， 1 av(=) m(+) tme-应)正 : =是e)-EweG4) 利用，1.-f+-,有， 「+2)-包 1v-v-2-20()-EM m+22厂m(e-2x 也即， 1 1 m+正)me-正) 作变换2正→正，最后得 品-gpg-月品 1 w(:-正) (3.4.4) —质量变化的投射方程，可根据边界条件求解。 下表给出了单量子阱Ga25Al,75As/GaAs/Ga2sAl75As不同有效质量的基态与第一激
68 §3.3.4 收敛测试 调节步长 N =1/z ，可以验证投射方法在 Pöschl-Teller 势下的收敛性。 §3.4 有效质量变化的情况 薛定谔方程为， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 * 2 z V z z E z z m z z + = － (3.4.1) 或， [ ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 z V z E z m z z z z m z m z z = − + － (3.4.2) 如果 m(z) 不是连续的，如在异质结中，按照前面的有限元展开就存在问题。一种方法是展 开(3.4.1)式左边的微分， [ ( ) ] ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 * * V z E z z z z z m z z z m z z z z z z = − − − + + − (3.4.3) 利用， z f z z f z z z f z 2 ( + ) − ( − ) = ， 有， [ ( ) ] ( ) 2(2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) 1 2 ( 2 ) ( ) ( ) 1 * * 2 V z E z z z z z z z m z z z z z m z z = − − − − − + − + 也即， ( ) ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ] 2(2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 * * 2 * * z m z z m z z V z E z m z z z z m z z z z − + + = − + − − + + + 作变换 2z →z ，最后得， ( / 2) ( ) ( ) ( / 2) 1 ( / 2) 1 [ ( ) ] 2( ) ( / 2) ( ) 2 * * * 2 * m z z z z z m z z m z z V z E z m z z z z − − − − + + = − + + + (3.4.4) ——质量变化的投射方程，可根据边界条件求解。 下表给出了单量子阱 Ga0.25Al0.75As/GaAs/Ga0.25Al0.75As 不同有效质量的基态与第一激
发态的解析解与投射方法的比较。 表34.1单量子阱Gao2sAk,5 As/GaAs/Ga,5 Al7sAs基态与第一漫发态的解析解与投射方法的比较 (鱼内有效质量m。=,阱内有效质量m。=0.067m) 解析解 数值解 阱宽(nm) Ei(me∽ Ex(meV) Er(meV Ex(mev) 126.227914 126.204335 80.111376 80.087722 6 53.276432 166.522007 53.260451 167.766634 37.619825 137.330295 37.609351 137.308742 10 27.884814 106.557890 27.877769 106.535858 12 21.463972 83.606781 21.459068 83.589149 16 13.820474 54.647134 13.817861 54.636614 18 9.929394 38.282383 9.627854 38.275914 随者阱宽的增加，数值计算的精确性越来越高，&越小，数值计算越精确。 §3.5多量子阱 S3.5.1双量子阱
69 发态的解析解与投射方法的比较。 表 3.4.1 单量子阱 Ga0.25Al0.75As/GaAs/Ga0.25Al0.75As 基态与第一激发态的解析解与投射方法的比较 (垒内有效质量 = * mb ，阱内有效质量 ma 067me 0. * = ) 阱宽(nm) 解析解 E1(meV) E2(meV) 数值解 E1(meV) E2(meV) 2 126.227914 - 126.204335 - 4 80.111376 - 80.087722 - 6 53.276432 166.522007 53.260451 167.766634 8 37.619825 137.330295 37.609351 137.308742 10 27.884814 106.557890 27.877769 106.535858 12 21.463972 83.606781 21.459068 83.589149 16 13.820474 54.647134 13.817861 54.636614 18 9.929394 38.282383 9.627854 38.275914 随着阱宽的增加，数值计算的精确性越来越高， z 越小，数值计算越精确。 §3.5 多量子阱 §3.5.1 双量子阱
图351双量子阱示意图 计算得到的基态与第一激发态能级随垒宽的变化如图3.52所示，可以看出，随中间垒 宽度的减小，两条能级简并消除，形成分离的基态与第一激发态。这种情况类似于两个氢原 子的基态轨道，当它们接近形成氢分子时，由于相互作用，两个原子的基态轨道将劈裂， 条能级能量(E2)将高于另一条(E),而低能态的轨道（键态）是两个分离原子轨道之和，高 能态的轨道（反健态）是其差， E(mev) 100 E2 50 /E1 05101520 l6(m) 图352双量子阱中的基态与第一微发态能级随垒宽的变化 平广5A+, Ψ一方价- 两个电子都将进入键态平，自旋相反，双量子阱的情况是完全类似的。其系统电子态如 图3.53所示。)是对称的，具有较低能量：2)是反对称的，具有较高能量
70 图 3.5.1 双量子阱示意图 计算得到的基态与第一激发态能级随垒宽的变化如图 3.5.2 所示，可以看出，随中间垒 宽度的减小，两条能级简并消除，形成分离的基态与第一激发态。这种情况类似于两个氢原 子的基态轨道，当它们接近形成氢分子时，由于相互作用，两个原子的基态轨道将劈裂，一 条能级能量(E2)将高于另一条(E1)，而低能态的轨道（键态）是两个分离原子轨道之和，高 能态的轨道（反键态）是其差， 图 3.5.2 双量子阱中的基态与第一激发态能级随垒宽的变化 ( ) 2 1 bond ＝ 1 +2 ， ( ) 2 1 anti−bond ＝ 1 −2 两个电子都将进入键态 bond ，自旋相反，双量子阱的情况是完全类似的。其系统电子态如 图 3.5.3 所示。 1 是对称的，具有较低能量； 2 是反对称的，具有较高能量
2 图35.3双量子阱的健态与分键态 $3.5.2多量子阱和有限超晶格 实际材料中可以有多层结构，因而形成多层量子阱，其数目总是有限的。采用 Kronig-Peny模型可以给出多量子阱中心区域的能量和色散关系，基态能E,与阱数目N的 关系如图3.5.4所示。当10时，与N→o的Kronig-Penny模型误差约为lmeV. 4nmGaAs/4nmGa0.8 Al0.2As 80 边主宽20nm E1(mev) 75 70 K-P 65 2 46N 810 图3.54基态能级与阱数目的关系。虚线为N→的Kronig~Penny模型结果 超品格与多量子阱的区别在于电子态的延展性与定域性： 超晶格：波函数在垒内也不会为零，因此电子可以传播过去 量子阱：波函数在垒内有零区域，电子不能传播过去。 对于有限层，电子包络仍是在系统中心区域最大，向两边衰诚，各阱内的电子几率是不一样 的（包络线类似于单阱内的波函数）
71 图 3.5.3 双量子阱的键态与分键态 §3.5.2 多量子阱和有限超晶格 实际材料中可以有多层结构，因而形成多层量子阱，其数目总是有限的。采用 Kronig-Penny 模型可以给出多量子阱中心区域的能量和色散关系，基态能 E1 与阱数目 N 的 关系如图 3.5.4 所示。当 N=10 时，与 N → 的 Kronig-Penny 模型误差约为 1meV。 图 3.5.4 基态能级与阱数目的关系。虚线为 N → 的 Kronig-Penny 模型结果 超晶格与多量子阱的区别在于电子态的延展性与定域性： 超晶格：波函数在垒内也不会为零，因此电子可以传播过去。 量子阱：波函数在垒内有零区域，电子不能传播过去。 对于有限层，电子包络仍是在系统中心区域最大，向两边衰减，各阱内的电子几率是不一样 的（包络线类似于单阱内的波函数）