第四章杂质与扩散 §4.1体材料内的施主和受主 纯净的半导体或异质结实际上没有太多用途，将杂质掺入晶格内是半导体作为电子材料 的重要技术，这种搀杂可以改变材料性质以满足不同功能需要。用施主和受主杂质掺入到同 一晶格系统的不同区域就会形成Pn结。 S4.1.1一个取代型施主杂质原子 电子围绕杂质原子运动，其束缚能量由类氢原子能量公式给出 En=-32π2h28260 (4.1.1) 玻尔半径=45,5方 me GaAs中，m=0.067m.,6,=13.18,给出En=-5.3meP,元=10.3m Cde中，m=0.096m.,8,=10.6,给出En=-11.7me,=5.8m -0 图4.11杂质原子基态电子轨道
79 第四章 杂质与扩散 §4.1 体材料内的施主和受主 纯净的半导体或异质结实际上没有太多用途，将杂质掺入晶格内是半导体作为电子材料 的重要技术，这种搀杂可以改变材料性质以满足不同功能需要。用施主和受主杂质掺入到同 一晶格系统的不同区域就会形成 p-n 结。 §4.1.1 一个取代型施主杂质原子 电子围绕杂质原子运动，其束缚能量由类氢原子能量公式给出， 0 2 2 2 * 4 32 0 r e D m e E = − (4.1.1) 玻尔半径 * 2 2 4 0 m ee r = GaAs 中， me 067me 0. * = ， r =13.18 ，给出 ED 5.3meV 0 = − ， =10.3nm CdTe 中， me 096me 0. * = ， r =10.6 ，给出 ED 11.7meV 0 = − ， = 5.8nm 图 4.1.1 杂质原子基态电子轨道
该半径远大于品格常数，因此这里取体材料的介电常数是合适的。上述结果与实验一致。当 入较小时，则必须考虑晶格势场的局域性质，不能简单地用ε，代替。 低温下，晶格振动不大，尽管E很小，电子仍能束缚在施主离子附近。但是随温度T 的增加，电子会脱离施主离子进入品体的导带。 §4.1.2一个取代型受主杂质原子 与施主情祝类似，GaAs中，m=0.62m.,6,=13.18,给出Ee=-49.0meP, 元=1.1m。但由于价带与导带有很大不同，空穴与电子也有很大不同，上述值与实验有出 入。 §4.1.3异质结中的束缚能 图4.1.2量子阱内的杂质态 哈密顿量为， 会mea e H=- (4.1.2) 其中r2=x2+y2+(仁-)》户，为杂质离子位置。 两种解法： ()将波函数展开成Gaussian函数的线性叠加 (2)变分原理近似
80 该半径远大于晶格常数，因此这里取体材料的介电常数是合适的。上述结果与实验一致。当 较小时，则必须考虑晶格势场的局域性质，不能简单地用 r 代替。 低温下，晶格振动不大，尽管 D0 E 很小，电子仍能束缚在施主离子附近。但是随温度 T 的增加，电子会脱离施主离子进入晶体的导带。 §4.1.2 一个取代型受主杂质原子 与施主情况类似，GaAs 中， me 62me 0. * = ， r =13.18 ，给出 E meV A 0 = −49.0 ， =1.1nm 。但由于价带与导带有很大不同，空穴与电子也有很大不同，上述值与实验有出 入。 §4.1.3 异质结中的束缚能 图 4.1.2 量子阱内的杂质态 哈密顿量为， 4 ' ( ) 2 2 2 * 2 r e V z m H = − + − (4.1.2) 其中 2 2 2 2 ' ( ) d r = x + y + z − r ， rd 为杂质离子位置。 两种解法： (1)将波函数展开成 Gaussian 函数的线性叠加 (2)变分原理近似
选择一平凡函数平=y(e)ea，元为变分参数，e指数为氢原子基态形式。通过(YH川Ψ) 最小，给出变分参数无。 推广变分原理，将平写成Ψ=((xy,:-),这里 X(:)为一维函数 (x,八，：-r)希望有一个类氢原子形式。则， v2Ψ=(：x)5+2VW.5+W25 (4.13) 因此薛定谔方程为， 六xek+2,aep6+eGex+exe5-5eax1 施主束缚能， Em=E-E 其中E,为D°不存在时的量子阱基态能量。 参照变分原理，可设， 5(x,水2-r)=eh P"="(x,y,:-)的选取有以下几种可能 (L)二维迹波函数(2 Dtrial wave function):r”=√x2+y (2)三维迹波函数(3 Dtrial wave function):r=√X2+y2+(e-r)2 (3)变分对称性迹波函数：”=Vx2+y2+(:-)2,其中a为第二个变分参数。 §4.2扩散 一般来说，物质趋向于从密度高的地方流向密度低的地方，这种现象称之为扩散，如 水、气体等。本章讨论固态中的扩散。异质结中的扩散是重要例子，如A在GaAs/Ga1AlAs 中的扩散。扩散将使清晰的界面变得模糊起来。 1855年，Fick首先对扩散给子了定量描述，推出两个定理 (I)流通(Fx):单位时间通过单位面积的扩散粒子数。它正比于密度梯度，但方 81
81 选择一平凡函数 '/ ( ) r z e − = ， 为变分参数，e 指数为氢原子基态形式。通过 H 最小，给出变分参数 。 推广变分原理，将 写成 ( ) ( , , ) d = z x y z − r ，这里 (z) 为一维函数 ( , , ) d x y z − r 希望有一个类氢原子形式。则， 2 2 2 = (z ) + 2z z + (4.1.3) 因此薛定谔方程为， ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ' ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 * 2 z V z z E z r e z z z m − z + z z + − + = (4.1.4) 施主束缚能， ED 0 = E − E1 其中 E1 为 0 D 不存在时的量子阱基态能量。 参照变分原理，可设， ''/ ( , , ) r d x y z r e − − = ， " "( , , ) d r = r x y z − r 的选取有以下几种可能： (1)二维迹波函数（2D trial wave function）: 2 2 r" = x + y (2)三维迹波函数（3D trial wave function）: 2 2 2 " ( ) d r = x + y + z − r (3)变分对称性迹波函数： 2 2 2 2 " ( ) d r = x + y + z − r ，其中 为第二个变分参数。 §4.2 扩散 一般来说，物质趋向于从密度高的地方流向密度低的地方，这种现象称之为扩散，如 水、气体等。本章讨论固态中的扩散。异质结中的扩散是重要例子，如 Al 在 GaAs/Ga1-xAlxAs 中的扩散。扩散将使清晰的界面变得模糊起来。 1855 年，Fick 首先对扩散给予了定量描述，推出两个定理： （1）流通（Flux）：单位时间通过单位面积的扩散粒子数。它正比于密度梯度，但方
向相反： Fh:=-DVc (4.2.1) (2)由于扩散造成的密度时间变化率为， -v.Fh-V-(DVe) (4.2.2) 一维情况下即为(D为常数下)， 陪是赠 (4.2.3) 初始界面 混合界面 图421界面扩散 4.2.1扩散理论 扩散分布x(:)和扩散系数D(x:,)满足扩散方程。 音2o赠-产+ (4.2.4 通常的已知条件包括： (1)初始条件x(:,t=0) (2)最后扩散x(2,) (3)Dx,) 知道其中的两个，可通过求解上述偏微分方程得到第三个。 扩散方程的微分元形式为
82 向相反： Flux = −Dc (4.2.1) （2）由于扩散造成的密度时间变化率为， Flux (D c) t c = − = (4.2.2) 一维情况下即为（D 为常数下）， 2 2 z c D z c D t z c = = (4.2.3) 图 4.2.1 界面扩散 §4.2.1 扩散理论 扩散分布 x(z) 和扩散系数 D(x,z,t) 满足扩散方程， 2 2 ( ) z x D z x z D z x D t z x + = = (4.2.4) 通常的已知条件包括： （1） 初始条件 x(z,t = 0) （2） 最后扩散 x(z,t) （3） D(x,z,t) 知道其中的两个，可通过求解上述偏微分方程得到第三个。 扩散方程的微分元形式为
xe1+)-e,0_「Dx,+正，0-Dx,-正，0]×e+在，0-xe-正] 2 (42.5) +0x:+小-2e+e- 可进行数值求解。 一些特殊情况： (1)D=D。简单的扩散问题。 (2)D=D(x)=D(x(=)》与时间无关，但与浓度x及位置：有关，为非线性扩散 问题。 (3)D=D)仅与位置有关。 (4)D=D()仅与时间有关。 S4.2.2边界条件 对于无限远处的源的扩散，可以设定浓度 x(=0,)=x(e=0,1=0) x(:→0)=x(:→0)（连续条件） 物理上，这等于认为异质结是一个封闭系统，扩散总是保持不变。本书以后的计算均采用这 一条件。 s4.2.3收敛性测试 采用封闭系统条件计算的Ga.sAo1 As/GaAs扩散浓度x随：的分布如图4.2.2所示。 初始时刻为一清晰界面(0)。由图可以看出，‘封闭'即整个系统的粒子数在扩散过程中保 持不变。当1→∞时（计算取10000s),粒子扩散达到整个系统各处一致。这种情况类似 于水的流动，最后达到均匀，势能最低
83 + − + − + − − + − − = + − 2 ( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z x z z t x z t x z z t D x z t z x z z t x z z t z D x z z t D x z z t t x z t t x z t ＋ (4.2.5) 可进行数值求解。 一些特殊情况： （1） D = D0 简单的扩散问题。 （2） D = D(x) = D(x(z)) 与时间无关，但与浓度 x 及位置 z 有关，为非线性扩散 问题。 （3） D = D(z) 仅与位置有关。 （4） D = D(t) 仅与时间有关。 §4.2.2 边界条件 对于无限远处的源的扩散，可以设定浓度： x(z = 0,t) = x(z = 0,t = 0) ( 0 ) ( 0 ) − → + x z → = x z （连续条件） 物理上，这等于认为异质结是一个封闭系统，扩散总是保持不变。本书以后的计算均采用这 一条件。 §4.2.3 收敛性测试 采用封闭系统条件计算的 Ga0.9Al0.1As/GaAs 扩散浓度 x 随 z 的分布如图 4.2.2 所示。 初始时刻为一清晰界面(t=0)。由图可以看出，‘封闭’即整个系统的粒子数在扩散过程中保 持不变。当 t → 时（计算取 t=10000s），粒子扩散达到整个系统各处一致。这种情况类似 于水的流动，最后达到均匀，势能最低
t=0 t=100 0.075 t=1000 0.05 t=10000 0.025 00 10 20zm)30 40 图4.221AsGaAs中的扩散(D=D=0.1m2s) 当D=D。时，扩散方程的解为完全误差函数，即， e）-号ert2D际 x为界面0处的浓度。 数值解中，正，0的选取是很关健的。对于通常的钠米半导体结构(~10-100m)和 宏观时间(~100-1000s),选取在=0.1m,&=0.01s是合适的。 $4.2.4常数扩散系数 上节给出的误差函数解指出扩散依赖于乘积D。1,这说明小的扩散系数在长时间内扩散 的结果与大扩散系数在短时间内的扩散结果是一致的。随着扩散的进行，系统势场发生变化， 相应电子能态跟若变化，基态电子能量随时间的变化如图4,2.3所示
84 图 4.2.2 Ga0.9Al0.1As/GaAs 中的扩散 （ 2 1 0 0.1 − D = D = nm s ） 当 D = D0 时，扩散方程的解为完全误差函数，即， D t x z x z 0 0 2 erfc 2 ( ) = 0 x 为界面 z=0 处的浓度。 数值解中， z,t 的选取是很关键的。对于通常的纳米半导体结构（～10－100nm）和 宏观时间（～100－1000s），选取 z = 0.1nm，t = 0.01s 是合适的。 §4.2.4 常数扩散系数 上节给出的误差函数解指出扩散依赖于乘积 D t 0 ，这说明小的扩散系数在长时间内扩散 的结果与大扩散系数在短时间内的扩散结果是一致的。随着扩散的进行，系统势场发生变化， 相应电子能态跟着变化，基态电子能量随时间的变化如图 4.2.3 所示
20 10 00204006008001000 t(8) 图423基态电子能量随时间的变化 §4.2.5扩散系数与浓度有关的情况 如Zn在GaAs中的扩散， D=kc”2Zn在GaAs中的扩散一般取n=2 扩散方程为， 此时，扩散曲线不再通过原来的清晰界面中点。c(0)=1,k=0.01m2s的结果如图4.2.4 所示。 t= t=5000 0.75 0.5 0.25 0 0 10 20 2(nm)30 图42.4Zn在GaAs中的扩散
85 图 4.2.3 基态电子能量随时间的变化 §4.2.5 扩散系数与浓度有关的情况 如 Zn 在 GaAs 中的扩散， n D = kc Zn 在 GaAs 中的扩散一般取 n = 2 扩散方程为， ( ) z c kc t z c n = 此时，扩散曲线不再通过原来的清晰界面中点。 (0) 1, 0.01nm /s 2 c = k = 的结果如图 4.2.4 所示。 图 4.2.4 Zn 在 GaAs 中的扩散
§4.2.6浓度相关的扩散系数 一种可能的扩散为 e-)27 D=De)=0.1e- m2s- 202 §4.2.7时间相关的扩散系数 在上节基础上， D=D(:)exp[-t/r] §4.36-搀杂量子阱 MBE和CBE(Molecular Beam Epitaxy and Chemical Beam Epitaxy)可以使在半导体内 生长很薄的一层，或很薄一层的杂质原子，如下图所示。 1厂→ 6-搀杂 扩的 图4.316一搀杂的扩散 §4.4高维搀杂 产-(9
86 §4.2.6 浓度相关的扩散系数 一种可能的扩散为， 2 1 2 2 0 nm 2 ( ) ( ) 0.1exp − − = = − s z z D D z §4.2.7 时间相关的扩散系数 在上节基础上， D = D(z)exp−t / §4.3 －搀杂量子阱 MBE 和 CBE（Molecular Beam Epitaxy and Chemical Beam Epitaxy）可以使在半导体内 生长很薄的一层，或很薄一层的杂质原子，如下图所示。 图 4.3.1 －搀杂的扩散 §4.4 高维搀杂 (D x) t x =