第2章线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems
第2章 线性时不变系统 Linear Time-Invariant Systems
本章主要内容： ·信号的时域分解用（表示离散时间信号； 用（表示连续时间信号。 ·LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。 ·LTI系统的微分方程及差分方程表示。 LTI系统的框图结构表示。 奇异函数
• LTI系统的框图结构表示。 本章主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号； 用 表示连续时间信号。 • LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。 • LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • 奇异函数。 ( )t ( ) n
20引言( Introduction) 由于LT系统满足齐次性和可加性,并且具有 时不变性的特点,因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。 基本思想:如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合,那么只要得到了LT系统对基本信号 的响应,就可以利用系统的线性特性,将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
2.0 引言 ( Introduction ) 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有 时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础
问题的实质: 1.研究信号的分解:即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元,如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号; 2.如何得到LT琢系统对基本单元信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下要求: 1.本身尽可能简单,并且用它的线性组合能够表示 (构成)尽可能广泛的其它信号; 2.LT系统对这种信号的响应易于求得
问题的实质： 1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。 作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
如果解决了信号分解的问题,即:若有 x()=∑ax(1)x(4)→>y(t) 则y()=∑any() 分析方法: 将信号分解可以在时域进行,也可以在频城或变换 城进行,相应地就产生了对LT系统的时域分析法、 频城分析法和变换城分析法
如果解决了信号分解的问题，即：若有 ( ) ( ) i i i x t a x t = ( ) ( ) i i x t y t → 则 ( ) ( ) i i i y t a y t = 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法。 分析方法：
2离散时间LT系统:卷积和 ( Discrete-Time LTI Systems: The Convolution Sum) 用单位脉冲表示离散时间信号 离散时间信号中最简单的是δ(河以由它的线性组 合构成,l即7 l(n)=∑(k)=∑O(n-k) k=0 对任何离散时间信号x(果每次从其中取出一个 点,就可以将信号拆开来,每次取出的一个点都可以 表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组 合构成 ，即： 2.1 离散时间LTI系统：卷积和 ( ) n u n( ) 0 ( ) ( ) ( ) n k k u n k n k =− = = = − 一. 用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以 表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 x n( ) （Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
x回 x28n+2 3-201 3-2-10 x-11n+1 43-2102 x[2]8(n-21 x(11bn-1 432-1 4-3-2-1012
于是有:x(n)=∑x(k)6(m-k) k=-∞ 表明:任何信号x(葪可以被分解成移位加权的单 位脉冲信号的线性组合。 二.卷积和( Convolution sum) 如果一个线性系统对6(m.响应是kh(n) 由线性特性就有系统对任何输入x(的响应为 y(n)=∑x)h(n) 若系统具有时不变性,即: 若δ(n)→>h(n),则6(n-k)→>h(n-k)
二. 卷积和（Convolution sum） 于是有： ( ) ( ) ( ) k x n x k n k =− = − 表明：任何信号 都可以被分解成移位加权的单 位脉冲信号的线性组合。 x n( ) 如果一个线性系统对 的响应是 ， 由线性特性就有系统对任何输入 的响应为： ( ) n k − ( ) h n k x n( ) ( ) ( ) ( ) k k y n x k h n =− = 若系统具有时不变性，即： 若 ( ) ( ) n h n → ，则 ( ) ( ) n k h n k − → −
因此,只要得到了LT系统对d(的响应h(n) 单位脉冲响应( impulse response), 就可以得到LT系统对任何辅入信号x(响应: ● y(n)=>x(k)h(n-k)=x(n)*h(n) 这表明:一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和( TThe convolution sum)
因此，只要得到了LTI系统对 ( ) 的响应 n h n( ) 单位脉冲响应( impulse response )， 就可以得到LTI系统对任何输入信号 x n( ) 的响应： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k y n x k h n k x n h n =− = − = 这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和（The convolution sum）
卷积和的计算 计算方法: 有图解法、列表法、解析法(包括数值解法)。 运算过程: 将一个信号x动,另一个信号经反转后成 为h(-k),再随参变量移位。在每个的情况 下,将x(k)与h(n-k)对应点相乘,再把乘积的 各点值累加,即得到n时刻的y(n)。 例1:x(n)=a"l(n)0<a<1h(m)=l(m)
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 不动，另一个信号经反转后成 为 ,再随参变量 移位。在每个 值的情况 下，将 与 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 时刻的 。 x k( ) h k ( ) − n n x k( ) h n k ( ) − n y n( ) 例1： ( ) ( ) n x n u n = 0 1 h n u n ( ) ( ) =