AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU 986 第四章离散傅里叶变换[ 建立以时间为自变量的“信号”与以频率 为自变量的“频率函数(频谱)之间的某种变换 关系。所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。 ](本章下述全部内容都属重点) 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 第四章 离散傅里叶变换 [**] 建立以时间为自变量的“信号” 与以频率 为自变量的“ 频率函数(频谱)之间的某种变换 关系。所以“ 时间 ”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对 。 [**](本章下述全部内容都属重点)
R 986 INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU 口上面讨论的三种傅里叶变换对都不适用在计算机 上运算,因为至少在一个域(时域或频城)中, 函数是连续的。因为从数字计算角度我们感兴趣 的是时城及频城都是离散的情况这就是我们这里 要谈到的离散傅里叶变换 口周期性离散时间信号从上可以推断: (1)周期性时间信号可以产生频谱是离散的 (2)离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机 上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函数是连续的。因为从数字计算角度,我们 感兴趣 的是时域及频域都是离散的情况,这就是 我们这里 要谈到的离散傅里叶变换 周期性离散时间信号从上可以推断： （1）周期性时间信号可以产生频谱是离散的; （2）离散时间信号可以产生频谱是周期性的
R 986 INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XTU 时间函数频率函数 周期性口→离散化(在频域中形成非周期频谱) 离散周期序列令周期离散频谱 离散化周期性(形成周期延拓,时域的非周期对应于频域的连续函数) 离散周期时间信号的傅里叶变换 012345678 k(ek)或|X(k 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 离散周期时间信号的傅里叶变换 时间函数 频率函数 周期性 离散化(在频域中形成非周期频谱） 离散化 周期性（形成周期延拓，时域的非周期对应于频域的连续函数） 离散周期序列 周期离散频谱
AIR 986 INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 傅里叶变换的一般规律 时间函数 频率函数 连续、周期(To) 非周期、离散(9=2π/To) 连续、非周期 非周期、连续 离散(T)、非周期 周期(Ω=2π/T)、连续 离散(T)、周期(To) 周期(9、=2/T)、离散(Ω=2π/o) 对于时域和频域都是离散的傅里叶变化,应 该怎样形成时域和频城都是周期性的函数? 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 傅里叶变换的一般规律： 对于时域和频域都是离散的傅里叶变化，应 该怎样形成时域和频域都是周期性的函数？
R INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS. XJTU 86 4.1周期序列的离散傅里叶级数 1.离散序列的离散傅里叶级数 FT -21t 等间隔采样 非周期序列x(n) 时域的周期延拓 x(n) ■■L 业h O 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 1.离散序列的离散傅里叶级数 4.1 周期序列的离散傅里叶级数 非周期序列x(n) FT 等间隔采样 时域的周期延拓
R 986 INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU (1)怎样得到X(k) >对x(m)的FT在每个周期内进行N点等间隔点采样: x(m)的傅里叶变换(DTF):X(em)=∑x(n)emn n=-00 2丌 离散化:X(e")24=X(e)=∑ x(n)e ∑ xln)e =X(e)=X(k) n=-00 imz」 >对x(n)的z变换X(z)在单位圆 的N个等间隔点上采样: Re[ z k X(k)=X()=2=(eN 单位圆 7(k=N-1) z平面 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 2 2 ( ) ( ) ( ) j k N j k N z e X k X z X e = = = X k( ) （1）怎样得到 x(n)的傅里叶变换（DTFT）： ( ) ( ) jw jwn n X e x n e − =− = 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j k N jw jk w k N X k X e X e X e = 离散化： = = = 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j kn jk jk n N n n X k X e x n e x n e − − =− =− = = = 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j k N jw jk w k N X k X e X e X e = = = = 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j kn jk jk n N n n X k X e x n e x n e − − =− =− = = = X k( ) = 0 2 N = ➢ 对x(n)的FT在每个周期内进行N点等间隔点采样： ➢ 对x(n)的z变换X(z)在单位圆 的N个等间隔点上采样：
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU 986 (2)对X(k)进行处理 X(k)=2x(n) X(k ∑xm)p∑xm N∑x(n+rN) k=0m=-∞ n=-00 ∑X(k)e=∑xn+rN)=x(n r=-00 结论:频域的离散化造成了时域信号的周期延拓,或频域 周期序列在时域上对应的就是周期序列。 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 结论：频域的离散化造成了时域信号的周期延拓，或频域 周期序列在时域上对应的就是周期序列。 1 1 2 2 2 0 0 ( ) ( ) N N j kn j km j kn N N N k k m X k e x m e e − − − = = =− = 1 2 ( ) 0 ( ) N j k m n N m k x m e − − − =− = = 1 2 0 ( ) ( ) N j kn N k r X k e N x n rN − = =− = + 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) N j kn N k r X k e x n rN X n N − = =− = + = X k( ) （2）对 进行处理 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j kn jk jk n N n n X k X e x n e x n e − − =− =− = = = X k( ) = ~ ( ) ( ) (3.1.7) N x n x n =
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU 986 (3)周期序列的几个概念 主值区间:周期序列x(m)中从n=0到N-1的第一个周期。 >主值序列:主值区间上的序列x(n) >则x(n)和x(n)之间的关系: x(n) 周期序列的方便表示形式: 01234567 x(n)=∑x(n+rN)=x(n)N 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 （3）周期序列的几个概念 ➢ 主值序列：主值区间上的序列x(n) x n( ) ➢ 主值区间：周期序列 中从 xn () n=0到N-1的第一个周期。 x n( ) ➢ 则x(n)和 之间的关系： 周期序列的方便表示形式： ~ ( ) ( ) (3.1.7) N x n x n = x((n))N 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) N j kn N k r X k e x n rN X n N − = =− = + =
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU 986 (4)余数运算表达式 如果n=n1+mN m为整数;则有:0≤m1≤N-1 此运算符表示n被N除,商为m,余数为n1。不管n再加上多 少倍的N,余数均等于n1,也就是周期性出现的值x(n)是相 等的。或称作取余数,或说作n对N取 例:设一周期序列x(m)的周期N=8。 求n=21和n=-3两数对N的余数。 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 （4）余数运算表达式 如果 ， m为整数；则有： 此运算符表示n被N除，商为m，余数为n1 。不管n1再加上多 少倍的N，余数均等于n1，也就是周期性出现的值x((n))N是相 等的。或称作取余数, 或说作n对N取 例： 设一周期序列 的周期N=8。 求 n=21 和n=-3两数对N的余数。 n = n1 + mN 0 1 n1 N − (( )) ( ) n N = n1 5 ( ) (( )) ~ 设 x n = x n
AIR INSTITUTE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND ROBOTICS, XJTU 986 (5)周期序列的离散傅里叶级数(DFS)表达式 周期序列可以用其 正变换:X(k)=DFSx(n ∑xnl=∑xm.0表示它的频谱 分布规律 丌 反变换:x)=DFSX(6)1∑X()=∑X(WW=eN k=0 意义:表明将周期序列分解成N次谐波,第k个谐波频率为 Uk=(2T/Nk,k=0,1,2….N-1,幅度为(1/N)X(k),基波分量 的频率是2m/N,幅度是(1/N)X(1) 数字信号处理简明教程
Institute of Artificial Intelligence and Robotics, XJTU 1986 数字信号处理简明教程 1 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) N N j kn N kn N n n X k DFS x n x n e x n W − − − = = = = = 1 1 2 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N N j kn N kn N k k x n IDFS X k X k e X k W N N − − − = = = = = 2 j N W e N − = （5）周期序列的离散傅里叶级数（DFS）表达式 正变换： 反变换： 周期序列可以用其 DFS表示它的频谱 分布规律。 ~ (1/ ) ( ) N X k 意义：表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为 ωk=(2π/N)k， k=0, 1, 2 … N-1，幅度为 ，基波分量 的频率是2π/N， 幅度是 ~ (1/ ) (1) N X