基于改进差分进化算法的加热炉调度方法

提出一种以燃料消耗量最小为优化目标的加热炉生产调度新方法。首先基于热力学第一定律分析了流入及流出加热炉的各项能量，并对燃料消耗量的计算式进行了理论推导。进而根据加热炉区实际生产调度特点归纳各约束条件，以多台加热炉总燃料消耗量最小为优化目标，构建调度优化数学模型。采用自适应差分进化算法搭配禁忌搜索算法进行综合求解，并通过9组实际钢坯生产案例模拟验证了该算法的可行性和有效性。同时，为了探究加热炉燃料消耗量的影响因素，提出了分别衡量加热炉区缓冲等待、炉内加热两部分时间同理想生产时间匹配程度的评价参数μ1和μ2，并分析了燃料消耗量对二者的敏感性，结果表明：当连铸坯到达加热炉节奏与热轧工序出坯节奏之比由0.5增至2时，燃料消耗量对两评价参数的敏感性逐渐减弱。

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工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于改进差分进化算法的加热炉调度方法闫祺李文甲王稼晨马凌赵军 Reheat furnace production scheduling based on the improved differential evolution algorithm YAN Qi,LI Wen-jia,WANG Jia-chen.MA Ling.ZHAO Jun 引用本文：闫祺，李文甲，王稼晨，马凌，赵军.基于改进差分进化算法的加热炉调度方法.工程科学学报，2021,43(3)：422-432.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2020.02.19.004 YAN Qi,LI Wen-jia,WANG Jia-chen,MA Ling.ZHAO Jun.Reheat furnace production scheduling based on the improved differential evolution algorithm[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(3):422-432.doi:10.13374/j.issn2095- 9389.2020.02.19.004 在线阅读View online:https::/doi.org10.13374.issn2095-9389.2020.02.19.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 一种基于差分进化的正弦余弦算法 A sine cosine algorithm based on differential evolution 工程科学学报.2020,42(12：1674 https:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2020.07.26.002 基于“炉机对应”的炼钢连铸生产调度问题遗传优化模型 Genetic optimization model of steelmakingcontinuous casting production scheduling based on the "furnacecaster coordinating" strategy 工程科学学报.2020.42(5)：645 https:1doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2019.08.02.004 基于自适应双冗余的TTE调度方法及性能分析 TTE scheduling method based on adaptive dual redundancy and performance analysis 工程科学学报.2019,41(3)：393htps:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.03.013 炼钢连铸生产调度的研究进展 Progress of research on steelmakingcontinuous casting production scheduling 工程科学学报.2020,42(2：144htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.04.30.002 分布式一致性最优化的梯度算法与收敛分析 Distributed gradient-based consensus optimization algorithm and convergence analysis 工程科学学报.2020.42(4：434 https:doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.09.05.005 基于逐层演化的群体智能算法优化 Optimization for swarm intelligence based on layer-by-layer evolution 工程科学学报.2017,393：462htps:/doi.org10.13374j.issn2095-9389.2017.03.020

基于改进差分进化算法的加热炉调度方法闫祺李文甲王稼晨马凌赵军 Reheat furnace production scheduling based on the improved differential evolution algorithm YAN Qi, LI Wen-jia, WANG Jia-chen, MA Ling, ZHAO Jun 引用本文: 闫祺, 李文甲, 王稼晨, 马凌, 赵军. 基于改进差分进化算法的加热炉调度方法[J]. 工程科学学报, 2021, 43(3): 422-432. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.02.19.004 YAN Qi, LI Wen-jia, WANG Jia-chen, MA Ling, ZHAO Jun. Reheat furnace production scheduling based on the improved differential evolution algorithm[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(3): 422-432. doi: 10.13374/j.issn2095- 9389.2020.02.19.004 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.02.19.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 一种基于差分进化的正弦余弦算法 A sine cosine algorithm based on differential evolution 工程科学学报. 2020, 42(12): 1674 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.07.26.002 基于“炉机对应”的炼钢连铸生产调度问题遗传优化模型 Genetic optimization model of steelmakingcontinuous casting production scheduling based on the “furnacecaster coordinating” strategy 工程科学学报. 2020, 42(5): 645 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.08.02.004 基于自适应双冗余的TTE调度方法及性能分析 TTE scheduling method based on adaptive dual redundancy and performance analysis 工程科学学报. 2019, 41(3): 393 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.03.013 炼钢连铸生产调度的研究进展 Progress of research on steelmakingcontinuous casting production scheduling 工程科学学报. 2020, 42(2): 144 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.04.30.002 分布式一致性最优化的梯度算法与收敛分析 Distributed gradient-based consensus optimization algorithm and convergence analysis 工程科学学报. 2020, 42(4): 434 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.05.005 基于逐层演化的群体智能算法优化 Optimization for swarm intelligence based on layer-by-layer evolution 工程科学学报. 2017, 39(3): 462 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.03.020

工程科学学报.第43卷.第3期：422-432.2021年3月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.3:422-432,March 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.02.19.004;http://cje.ustb.edu.cn 基于改进差分进化算法的加热炉调度方法闫祺，李文甲，王稼晨，马凌，赵军四天津大学中低温热能高效利用教育部重点实验室，天津300350 ☒通信作者，E-mail:zhaojun@tju.edu.cn 摘要提出一种以燃料消耗量最小为优化目标的加热炉生产调度新方法.首先基于热力学第一定律分析了流入及流出加热炉的各项能量，并对燃料消耗量的计算式进行了理论推导.进而根据加热炉区实际生产调度特点归纳各约束条件，以多台加热炉总燃料消耗量最小为优化目标，构建调度优化数学模型.采用自适应差分进化算法搭配禁忌搜索算法进行综合求解，并通过9组实际钢坯生产案例模拟验证了该算法的可行性和有效性.同时，为了探究加热炉燃料消耗量的影响因素，提出了分别衡量加热炉区缓冲等待、炉内加热两部分时间同理想生产时间匹配程度的评价参数山和42，并分析了燃料消耗量对二者的敏感性，结果表明：当连铸坯到达加热炉节奏与热轧工序出坯节奏之比由0.5增至2时，燃料消耗量对两评价参数的敏感性逐渐减弱关键词加热炉：调度优化：燃料消耗量：差分进化算法：敏感性分析分类号TF087 Reheat furnace production scheduling based on the improved differential evolution algorithm YAN Qi.LI Wen-jia.WANG Jia-chen.MA Ling.ZHAO Jun Key Laboratory of Efficient Utilization of Low and Medium Grade Energy,Tianjin University,Tianjin 300350,China Corresponding author,E-mail:zhaojun@tju.edu.cn ABSTRACT The reheat furnace,located between the continuous caster and the hot rolling mill,plays the role of buffer coordination zone,and is one of the most important production equipment in the hot rolling process.As reheat furnaces were the largest energy- consumer group in the hot rolling process,their schedule optimization was of great importance to achieve high production efficiency and reduce energy consumption.In this paper,a new reheat furnace production scheduling method with the target of minimum fuel consumption was proposed.First,the energy inputs and outputs from the reheat furnace were analyzed based on the first law of thermodynamics,then the equation for calculating of the fuel consumption was derived.Second,various production constraints were summarized to consider the actual characteristics of the dispatching plan in reheat furnaces,and the mathematical model of scheduling optimization was constructed with the minimum fuel consumption set as the optimization objective.The adaptive differential evolution algorithm and the tabu search algorithm were applied to obtain the optimal solution.The differential evolution algorithm could dynamically adjust the scaling factor and the crossover rate according to the change of the fitness function value of each generation of individuals,and this adaptive strategy could balance the ability of development and exploration of the algorithm.After the model was validated with actual production data,the feasibility and effectiveness of the algorithm were verified by nine groups of actual billet production cases.Furthermore,to explore the influencing factors of energy consumption of reheat furnace,two evaluation parameters,u and 42,were defined to quantify the matching degree of time series of the buffer waits and the heating processes to ideal production in 收稿日期：2020-02-19 基金项目：国家重点研发计划资助项目(2018YFB0605901)

基于改进差分进化算法的加热炉调度方法闫祺，李文甲，王稼晨，马凌，赵军苣天津大学中低温热能高效利用教育部重点实验室，天津 300350 苣通信作者，E-mail：zhaojun@tju.edu.cn 摘要提出一种以燃料消耗量最小为优化目标的加热炉生产调度新方法. 首先基于热力学第一定律分析了流入及流出加热炉的各项能量，并对燃料消耗量的计算式进行了理论推导. 进而根据加热炉区实际生产调度特点归纳各约束条件，以多台加热炉总燃料消耗量最小为优化目标，构建调度优化数学模型. 采用自适应差分进化算法搭配禁忌搜索算法进行综合求解，并通过 9 组实际钢坯生产案例模拟验证了该算法的可行性和有效性. 同时，为了探究加热炉燃料消耗量的影响因素，提出了分别衡量加热炉区缓冲等待、炉内加热两部分时间同理想生产时间匹配程度的评价参数 μ1 和 μ2，并分析了燃料消耗量对二者的敏感性，结果表明：当连铸坯到达加热炉节奏与热轧工序出坯节奏之比由 0.5 增至 2 时，燃料消耗量对两评价参数的敏感性逐渐减弱. 关键词加热炉；调度优化；燃料消耗量；差分进化算法；敏感性分析分类号 TF087 Reheat furnace production scheduling based on the improved differential evolution algorithm YAN Qi，LI Wen-jia，WANG Jia-chen，MA Ling，ZHAO Jun苣 Key Laboratory of Efficient Utilization of Low and Medium Grade Energy, Tianjin University, Tianjin 300350, China 苣 Corresponding author, E-mail: zhaojun@tju.edu.cn ABSTRACT The reheat furnace, located between the continuous caster and the hot rolling mill, plays the role of buffer coordination zone, and is one of the most important production equipment in the hot rolling process. As reheat furnaces were the largest energyconsumer group in the hot rolling process, their schedule optimization was of great importance to achieve high production efficiency and reduce energy consumption. In this paper, a new reheat furnace production scheduling method with the target of minimum fuel consumption was proposed. First, the energy inputs and outputs from the reheat furnace were analyzed based on the first law of thermodynamics, then the equation for calculating of the fuel consumption was derived. Second, various production constraints were summarized to consider the actual characteristics of the dispatching plan in reheat furnaces, and the mathematical model of scheduling optimization was constructed with the minimum fuel consumption set as the optimization objective. The adaptive differential evolution algorithm and the tabu search algorithm were applied to obtain the optimal solution. The differential evolution algorithm could dynamically adjust the scaling factor and the crossover rate according to the change of the fitness function value of each generation of individuals, and this adaptive strategy could balance the ability of development and exploration of the algorithm. After the model was validated with actual production data, the feasibility and effectiveness of the algorithm were verified by nine groups of actual billet production cases. Furthermore, to explore the influencing factors of energy consumption of reheat furnace, two evaluation parameters, μ1 and μ2 , were defined to quantify the matching degree of time series of the buffer waits and the heating processes to ideal production in 收稿日期: 2020−02−19 基金项目: 国家重点研发计划资助项目（2018YFB0605901）工程科学学报，第 43 卷，第 3 期：422−432，2021 年 3 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 3: 422−432, March 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.02.19.004; http://cje.ustb.edu.cn

闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 423· reheat furnaces.According to the sensitivity analysis of the relationship between the fuel consumption and the two evaluation parameters,it was found that their sensitivity gradually decreased when the ratio of continuous casting billet arriving at the reheat furnace to hot rolling increased from 0.5 to 2. KEY WORDS reheat furnace;scheduling optimization;fuel consumption;differential evolution algorithms;sensitivity analysis 轧钢加热炉是钢铁热轧工序中的重要生产设彼此存在非线性耦合的特征.因此，等待时间总和备，也是钢铁行业中的耗能大户，其能耗约占钢铁最小或总完工时间最短这类目标难以完整反映加生产总能耗的10%~20%-降低加热炉能耗对热炉生产能耗特征，以此目标优化出的调度方案于钢铁企业具有重要意义.加热炉是钢坯热轧前也不一定是能耗最低的生产方案.若推导出对加的加热设备，为连铸-热轧环节起到缓冲作用.由热炉生产调度方案进行能耗评价的函数表达式，于连铸机、加热炉、热轧机之间生产能力，生产周并以此作为优化目标，则其优化出的生产方案在期存在不协调不匹配的情况，且一个轧制计划中能耗方面定会优于现有方法. 的钢坯规格、质量、入炉温度等参数往往存在差鉴于以上分析，本文通过热力学第一定律推异，如果调度计划制定的不合理，必然会影响上下导出加热炉调度方案的能耗评价函数，并以此作游工序的匹配衔接.因此优化加热炉生产调度计为优化目标汇同生产约束建立调度数学模型，通划对提高生产效率，降低成本具有重要作用过多个算例的计算分别测试算法和能耗目标的效近年来，针对加热炉优化调度问题，一些学者果.同时本文考虑到，钢坯入炉前的缓冲等待时间提出了行之有效的方法.Tang等)以最小化实际和炉内的保温等待时间是造成能耗高的主要原在炉时间同理想在炉时间的偏差为目标，采用分因，因此提出两个衡量这两类时间相对大小的评散搜索算法求解.杨业建等以极小化板坯温降价参数，并讨论二者对能耗的影响机制. 时间和同炉离散度为目标，采用改进型遗传算法 1问题描述进行求解.屠乃威等的以最小化加热炉内冷热板坯混装程度，板坯在炉时间为目标，采用改进蚁群轧钢加热炉的生产流程如图1所示，从连铸机算法求解.李铁克等以最大完工时间和炉内停至热轧机之间，有4种不同的连接方式：连铸坯直留时间为优化目标，采用3阶段启发式算法求解接轧制工艺(HDR),连铸坯直接热装工艺(DHCR), mer等忉提出一种考虑不同类型加热炉协同生产连铸坯热装工艺(HCR)和传统的冷装工艺(CCR) 的调度方法，以最小化钢坯出炉时间和轧机等待其中HDR对生产设备和管理水平要求较高，目前时间为目标求解.通过文献分析可以看出，目前对国内应用程度较低，其他3种都需要经过加热炉加热炉调度的优化目标大多为缩短某段时间差的加热最后送至热轧机.由于上游钢坯来源不同，实际上，加热炉的生产能耗与入炉钢坯的温度、在导致钢坯之间的温度差异性较大，给编排计划的炉时间和加热炉产量等诸多因素有关侧，且各因素制定带来很大的困难 HCR Heat prescrvation 1iA Reheat furnace 1 Continuous caster pit CCR 88888 88888 Slab yard Reheat furnace 2* Hot rolling DHCR HDR Reheat furnace 3 图1加热炉生产流程 Fig.1 Reheat furnace production process

reheat furnaces. According to the sensitivity analysis of the relationship between the fuel consumption and the two evaluation parameters, it was found that their sensitivity gradually decreased when the ratio of continuous casting billet arriving at the reheat furnace to hot rolling increased from 0.5 to 2. KEY WORDS reheat furnace；scheduling optimization；fuel consumption；differential evolution algorithms；sensitivity analysis 轧钢加热炉是钢铁热轧工序中的重要生产设备，也是钢铁行业中的耗能大户，其能耗约占钢铁生产总能耗的 10%～20% [1−2] . 降低加热炉能耗对于钢铁企业具有重要意义. 加热炉是钢坯热轧前的加热设备，为连铸‒热轧环节起到缓冲作用. 由于连铸机、加热炉、热轧机之间生产能力，生产周期存在不协调不匹配的情况，且一个轧制计划中的钢坯规格、质量、入炉温度等参数往往存在差异，如果调度计划制定的不合理，必然会影响上下游工序的匹配衔接. 因此优化加热炉生产调度计划对提高生产效率，降低成本具有重要作用. 近年来，针对加热炉优化调度问题，一些学者提出了行之有效的方法. Tang 等[3] 以最小化实际在炉时间同理想在炉时间的偏差为目标，采用分散搜索算法求解. 杨业建等[4] 以极小化板坯温降时间和同炉离散度为目标，采用改进型遗传算法进行求解. 屠乃威等[5] 以最小化加热炉内冷热板坯混装程度，板坯在炉时间为目标，采用改进蚁群算法求解. 李铁克等[6] 以最大完工时间和炉内停留时间为优化目标，采用 3 阶段启发式算法求解. Ilmer 等[7] 提出一种考虑不同类型加热炉协同生产的调度方法，以最小化钢坯出炉时间和轧机等待时间为目标求解. 通过文献分析可以看出，目前对加热炉调度的优化目标大多为缩短某段时间差. 实际上，加热炉的生产能耗与入炉钢坯的温度、在炉时间和加热炉产量等诸多因素有关[8] ，且各因素彼此存在非线性耦合的特征. 因此，等待时间总和最小或总完工时间最短这类目标难以完整反映加热炉生产能耗特征，以此目标优化出的调度方案也不一定是能耗最低的生产方案. 若推导出对加热炉生产调度方案进行能耗评价的函数表达式，并以此作为优化目标，则其优化出的生产方案在能耗方面定会优于现有方法. 鉴于以上分析，本文通过热力学第一定律推导出加热炉调度方案的能耗评价函数，并以此作为优化目标汇同生产约束建立调度数学模型，通过多个算例的计算分别测试算法和能耗目标的效果. 同时本文考虑到，钢坯入炉前的缓冲等待时间和炉内的保温等待时间是造成能耗高的主要原因，因此提出两个衡量这两类时间相对大小的评价参数，并讨论二者对能耗的影响机制. 1 问题描述轧钢加热炉的生产流程如图 1 所示，从连铸机至热轧机之间，有 4 种不同的连接方式：连铸坯直接轧制工艺（HDR），连铸坯直接热装工艺（DHCR），连铸坯热装工艺（HCR）和传统的冷装工艺（CCR）. 其中 HDR 对生产设备和管理水平要求较高，目前国内应用程度较低，其他 3 种都需要经过加热炉的加热最后送至热轧机. 由于上游钢坯来源不同，导致钢坯之间的温度差异性较大，给编排计划的制定带来很大的困难. HCR CCR Slab yard Reheat furnace 2# Reheat furnace 3# Hot rolling Reheat furnace 1# DHCR HDR Heat prescrvation pit Continuous caster 图 1 加热炉生产流程 Fig.1 Reheat furnace production process 闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 · 423 ·

424 工程科学学报，第43卷，第3期加热炉的调度通常是在轧制单元计划，连铸出钢铁企业通常根据生产数据的分析总结出不坯计划已定的条件下，确定待加热的板坯在多台加同种类、不同出炉温度、入炉温度的钢坯所需的热炉上的生产顺序，其决策的内容包括计划内所有加热时间，记为标准加热时间.每块钢坯在炉内的板坯的入炉号，入炉时间，出炉时间和入炉顺序.在加热时间应不小于标准加热时间：同时，钢坯的在实际生产中，加热炉区的调度计划编排应符合多种炉时间也不应过大，以避免迟滞生产节奏和加剧约束：钢坯的入炉时间不得早于到达时间：钢坯的钢坯表面的氧化烧损，因此钢坯总的加热时间应出炉顺序遵循轧制计划的顺序；同一加热炉内先轧低于最大住炉时间；钢坯在加热完成后在等待轧制的板坯先入炉；每台加热炉有炉容量的限制，任制的过程中需待在加热炉内保温；完整的加热炉何时间可同时加热的最大钢坯数量是一定的区钢坯调度计划应如图2所示 Drop-out time of slab 1 in reheat furnace Reheat 10 furnace 1* Reheat furnace 2 Reheat furnace 3* Hot rolling 1234 56 1011 Starting time of slab 1 on hot rolling line Time 图2加热炉区钢坯调度甘特图间 Fig.2 Billet scheduling Gantt chart in reheat fumace areals 加热炉生产调度问题属于组合优化难题，由 Flue 0. Q e.e 于决策变量维数高，目标函数和约束具有非线性特征，传统的运筹学方法难以快速解决此类问题門，因此本文选择智能优化算法求解此问题. Feed side Billet Discharge 2加热炉能耗模型 oo O side 图3加热炉能量流模型 2.1加热炉能量流分析 Fig.3 Energy flow model of reheat furnace 加热炉内部结构及各能量交换如图3所示，根 Q2=Bcrutfu (3) 据热力学第一定律，建立能量守恒方程式(1)0-川 23=BnoLocaitai (4) 其中，Q1到Q5为各项热收入，含义依次为燃料化 24=5652Ga (5) 学热、燃料物理热、空气物理热、钢坯氧化反应热 O5=GCmetme (6) 及钢坯带入物理热，g到Q:为各项热支出，含义依次为钢坯带出物理热、烟气带出物理热、化学不式中：B为单位燃料消耗量，m3h;Qe为燃料的低完全燃烧热损失、机械不完全燃烧热损失、炉壁位发热量，kJm3;cu为燃料平均体积热容，kJm3. 散热、炉门开启辐射热、炉门开启逸气热及冷却 ℃；tn为燃料的温度，℃；o为空气消耗系数；Lo 系统带出热为单位燃料理论所需空气量，m3;ca为空气平均体积热容，kJm3.℃；m为空气温度，℃；G为加热炉 o-u (1) 产量，kgh;a为烧损率；cme为入炉钢坯的比热容，kJkg.℃；me表示人炉钢坯的平均温度，℃. 图3中流入加热炉各项能量Q1到Q5由式(2)~ 图3中流出加热炉各的项能量Q到Q由式 (6)计算 (7)~(14)计算 Q1=BOne (2) Q1=Gcmetme (7)

加热炉的调度通常是在轧制单元计划，连铸出坯计划已定的条件下，确定待加热的板坯在多台加热炉上的生产顺序，其决策的内容包括计划内所有板坯的入炉号，入炉时间，出炉时间和入炉顺序. 在实际生产中，加热炉区的调度计划编排应符合多种约束：钢坯的入炉时间不得早于到达时间；钢坯的出炉顺序遵循轧制计划的顺序；同一加热炉内先轧制的板坯先入炉；每台加热炉有炉容量的限制，任何时间可同时加热的最大钢坯数量是一定的. 钢铁企业通常根据生产数据的分析总结出不同种类、不同出炉温度、入炉温度的钢坯所需的加热时间，记为标准加热时间. 每块钢坯在炉内的加热时间应不小于标准加热时间；同时，钢坯的在炉时间也不应过大，以避免迟滞生产节奏和加剧钢坯表面的氧化烧损，因此钢坯总的加热时间应低于最大住炉时间；钢坯在加热完成后在等待轧制的过程中需待在加热炉内保温；完整的加热炉区钢坯调度计划应如图 2 所示. Starting time of slab 1 on hot rolling line Reheat furnace 2# Reheat furnace 3# Hot rolling line Reheat furnace 1# Time Drop-out time of slab 1 in reheat furnace 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图 2 加热炉区钢坯调度甘特图[3] Fig.2 Billet scheduling Gantt chart in reheat furnace area[3] 加热炉生产调度问题属于组合优化难题，由于决策变量维数高，目标函数和约束具有非线性特征，传统的运筹学方法难以快速解决此类问题[9] ，因此本文选择智能优化算法求解此问题. 2 加热炉能耗模型 2.1 加热炉能量流分析 Q ′ 1 Q ′ 8 加热炉内部结构及各能量交换如图 3 所示，根据热力学第一定律，建立能量守恒方程式（1） [10−11] . 其中，Q1 到 Q5 为各项热收入，含义依次为燃料化学热、燃料物理热、空气物理热、钢坯氧化反应热及钢坯带入物理热，到为各项热支出，含义依次为钢坯带出物理热、烟气带出物理热、化学不完全燃烧热损失、机械不完全燃烧热损失、炉壁散热、炉门开启辐射热、炉门开启逸气热及冷却系统带出热. ∑ 5 i=1 Qi = ∑ 8 j=1 Q ′ j （1）图 3 中流入加热炉各项能量 Q1 到 Q5 由式（2）～（6）计算 Q1 = BQne （2） Q2 = Bcfutfu （3） Q3 = Bn0L0caitai （4） Q4 = 5652Ga （5） Q5 = Gcmetme （6）式中：B 为单位燃料消耗量，m 3 ·h−1 ；Qne 为燃料的低位发热量，kJ·m−3 ；cfu 为燃料平均体积热容，kJ·m−3· ℃−1 ；t fu 为燃料的温度，℃；n0 为空气消耗系数；L0 为单位燃料理论所需空气量，m 3 ；cai 为空气平均体积热容，kJ·m−3·℃−1 ；tai 为空气温度，℃；G 为加热炉产量， kg·h−1 ； a 为烧损率； cme 为入炉钢坯的比热容，kJ·kg−1·℃−1 ；tme 表示入炉钢坯的平均温度，℃. Q ′ 1 Q ′ 图 8 3 中流出加热炉各的项能量到由式（7）～（14）计算 Q ′ 1 = Gc′ met ′ me （7） Q2 ′ Q3 Q1 Q2 Q4 Q5 Billet Discharge side Feed side Flue Burner Q1 Q ′ 7 ′ Q3 ′ Q4 ′ Q8 ′ Q5 ′ Q6 ′ 图 3 加热炉能量流模型 Fig.3 Energy flow model of reheat furnace · 424 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期

闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 425 Input initial parameters,set 出炉烟气的温度，℃；(CO)为烟气中CO的体积分 iteration gen=0 数，%；K为机械不完全燃烧系数；1和2分别为炉 Perform crossover Create initial population process 内温度和周围环境温度，℃；A为炉壁的面积，m; Adaptive adjustment of Perform selection d,d2,…dn为炉壁各层材料厚度，m;,2,…n为 scaling factor process 各层材料的导热系数，kmhK;z为炉壁外表 Perform mutation process Perform tabu search 面与空间的热阻，kJ'mhK:p为综合角度系 Adaptive adjustment of gen=gen+1 数；A为炉门的面积，m2;y为炉门开启时间占总生 crossover rate 产时间的比例；Vo为炉门开启时的逸气量，m3h; No Stop criteria is satisfied cu为炉内气体的体积热容，km3:K;u为炉内气 Yes 体的温度，℃；Gs为冷却水流量，th,Gg为蒸汽流 End 量，th；c≤，c分别为冷却水进，出口比热容，图4差分进化算法框架 kkg℃；，"分别为进出口水温，℃；H为蒸汽 Fig.4 Differential evolutionary algorithm framework 的焓值，kJkg:y为水的汽化潜热，kJkg;o为蒸 22=BVncwatwa 汽的湿度，% (8) 由于钢坯在等候装炉时不断向环境散热，其 Q3=184.06BVn(C0) (9) 最终入炉温度通常小于其初始温度，因此通过式 =KBOne (10) (15)四计算钢坯的最终入炉温度 T,=(Ts0-T0)e-0.000280ro/V+T0 (15) (t1-1)A g+2++%+: (11) 式中：T0为初始时刻钢坯的平均温度，℃；0为钢 2 坯的表面积，m2;V为钢坯的体积，m3;o为钢坯在 %=157品4w 空气中的停留时间，S:T0为空气温度，℃ (12) 2.2加热炉生产能耗计算式 Voctutut (13) 选择总燃料消耗量C(m3)作为衡量加热炉能耗高低的指标.为便于叙述，下文简称为“燃耗” Qg=G(C6-c)+G(ag-ck-0.01yw）(14) 其计算式为(16)：式中：cme为钢坯的比热容，kJkg3.℃；me为出炉 Cr=B△T (16) 钢坯的平均温度，℃：V为单位燃料排出废气量，式中：△x为加热炉运行总时间，h.综合(1~16)各 m3:ca为出炉废气的体积热容，kJm3℃；4a为式得出加热炉燃耗的计算式(17) rGl化es-cmte-56s2a+ar57(广ar+han+are+C） 1+ Cu=- (17) (1-k)One+cfuffu +noLocaifai-Vncwatwa-184.06Vn(CO) 为便于计算和分析，考虑加热炉生产调度计划 3加热炉调度模型及求解方法制定的特点和决策对象的特征，化简(17)式可得： 3.1模型简化说明 Cu=ATAI[G(A2-Cmefme)+A3+A4](18) 假设在轧制计划已知的条件下，选择DHCR 式中，A1、A2、A3及A4为化简后的常数，其表达式和CC两种加热炉生产调度模式进行研究.考虑为(19)~(22) 到加热炉上游工序繁多，为便于计算，在保证模型 AI =[(1-k)One cfutfu noLocaitai-VnCwatwa- 的通用性前提下做出适当简化，说明如下： 184.06Vn(C0)1 (1)调度计划中各钢坯到达加热炉前缓冲区 (19) 的时刻，温度已知 A2 Cmelme-5652a (20) (2)每块钢坯的标准加热时间已知，该值由企 A=157品广n+. (21) 业根据以往生产数据总结而成，钢种，目标出炉温度等已知 A4=Q5+Q8 (22) (3)忽略加热炉故障导致的停产等突发情况

Q ′ 2 = BVncwatwa （8） Q ′ 3 = 184.06BVnφ(CO) （9） Q ′ 4 = KBQne （10） Q ′ 5 = (t1 −t2)A δ1 λ1 + δ2 λ2 +···+ δn λn +z （11） Q ′ 6 = 1.575( t1 100)4 φA ′ψ （12） Q ′ 7 = V0clutluψ （13） Q ′ 8 = Gs ( c ′′ s t ′′ s −c ′ s t ′ s ) +Gg ( Hq −c ′ s t ′ s −0.01γ ′ω ′ ) （14） c ′ me t ′ 式中：为钢坯的比热容，kJ·kg me −3·℃−1 ；为出炉钢坯的平均温度，℃；Vn 为单位燃料排出废气量， m 3 ；cwa 为出炉废气的体积热容，kJ·m−3·℃−1 ；twa 为 φ(CO) , ··· , ··· φ c ′ s c ′′ s t ′ s t ′′ s 出炉烟气的温度，℃；为烟气中 CO 的体积分数，%；K 为机械不完全燃烧系数；t1 和 t2 分别为炉内温度和周围环境温度，℃；A 为炉壁的面积，m 2 ； δ1，δ2 δn 为炉壁各层材料厚度，m；λ1，λ2 λn 为各层材料的导热系数，kJ·m−1·h−1·K−1 ；z 为炉壁外表面与空间的热阻， kJ·m−1·h−1·K−1 ；为综合角度系数；A′为炉门的面积，m 2 ；ψ 为炉门开启时间占总生产时间的比例；V0 为炉门开启时的逸气量，m 3 ·h−1 ； clu 为炉内气体的体积热容，kJ·m−3·K−1 ；t lu 为炉内气体的温度，℃；Gs 为冷却水流量，t·h−1; Gg 为蒸汽流量， t·h−1 ；，分别为冷却水进，出口比热容， kJ·kg−1·℃−1 ；，分别为进出口水温，℃；Hq 为蒸汽的焓值，kJ·kg−1 ；γ′为水的汽化潜热，kJ·kg−1 ；ω′为蒸汽的湿度，%. 由于钢坯在等候装炉时不断向环境散热，其最终入炉温度通常小于其初始温度，因此通过式（15） [12] 计算钢坯的最终入炉温度. Ts = (Ts0 −Ta0) e −0.000028θτ0/V +Ta0 （15）式中：Ts0 为初始时刻钢坯的平均温度，℃；θ 为钢坯的表面积，m 2 ；V 为钢坯的体积，m 3 ；τ0 为钢坯在空气中的停留时间，s；Ta0 为空气温度，℃. 2.2 加热炉生产能耗计算式选择总燃料消耗量 Ctf（m 3 ）作为衡量加热炉能耗高低的指标. 为便于叙述，下文简称为“燃耗”. 其计算式为（16）： Ctf = B∆τ （16）式中：Δτ 为加热炉运行总时间，h. 综合（1～16）各式得出加热炉燃耗的计算式（17） Ctf = ∆τG ( c ′ met ′ me −cmetme −5652a ) + ∆τ ( 1.575( t1 100)4 φA ′ +V0clutlu) ψ+ ∆τ ( Q ′ 5 + Q ′ 8 ) (1−k)Qne +cfutfu +n0L0caitai −Vncwatwa −184.06Vnϕ(CO) （17）为便于计算和分析，考虑加热炉生产调度计划制定的特点和决策对象的特征，化简（17）式可得： Ctf = ∆τA1 [ G ( A2 −cmetme ) + A3ψ+ A4 ] （18）式中，A1、A2、A3 及 A4 为化简后的常数，其表达式为（19）～（22）. A1 = [(1−k)Qne +cfutfu +n0L0caitai −Vncwatwa− 184.06Vnϕ(CO) ]−1 （19） A2 = c ′ met ′ me −5652a （20） A3 = 1.575( t1 100)4 φA ′ +V0clu tlu （21） A4 = Q ′ 5 + Q ′ 8 （22） 3 加热炉调度模型及求解方法 3.1 模型简化说明假设在轧制计划已知的条件下，选择 DHCR 和 CCR 两种加热炉生产调度模式进行研究. 考虑到加热炉上游工序繁多，为便于计算，在保证模型的通用性前提下做出适当简化，说明如下：（1）调度计划中各钢坯到达加热炉前缓冲区的时刻，温度已知. （2）每块钢坯的标准加热时间已知，该值由企业根据以往生产数据总结而成[13] ，钢种，目标出炉温度等已知. （3）忽略加热炉故障导致的停产等突发情况， Input initial parameters, set iteration gen=0 Create initial population Adaptive adjustment of scaling factor Perform crossover process Perform selection process Perform mutation process Perform tabu search gen=gen+1 Stop criteria is satisfied End Yes Adaptive adjustment of crossover rate No 图 4 差分进化算法框架 Fig.4 Differential evolutionary algorithm framework 闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 · 425 ·

426 工程科学学报，第43卷，第3期认为炉体始终保持稳定生产状态 Ok∈0,1，i,jeS,Yk∈L (31) (4)加热炉装钢，出钢操作时间为定值目标函数(23)表示多台加热炉总燃料消耗量 3.2数学模型构建最小.约束(24)表示每块钢坯只能分配给一台加为便于描述，定义以下符号和参数热炉加热.约束(25)表示每块钢坯在加热炉内的 (1)索引与集合.S为加热炉生产调度计划中加热时间应不低于标准加热时间且不高于最大住的钢坯集合，S={1,2,,i,,n以，其中n表示钢坯炉时间.约束(26)表示板坯在热轧机组空闲前需数.L表示加热炉集合，L={1,2,,k,,,其中一直在炉内停留且热轧机组停机等待板坯的时间 1表示加热炉数量不能过长.约束(27)表示在同一加热炉加热的钢 (2)问题参数.m,表示钢坯1的质量.ph表示坯按照轧制顺序出炉.约束(28)表示在同一加热钢坯i在加热炉中标准加热时间.Z表示钢坯i到炉加热的钢坯按轧制顺序入炉，约束(29)表示每达加热炉前缓冲区时刻.pd,表示钢坯i在加热炉台加热炉同时加热的钢坯数不得超过其炉容量中的最大住炉时间.pr,表示钢坯i在热轧机上的约束(30)和约束(31)表示决策变量和O脉的取轧制时间.T,表示钢坯i从等候区域输送至加热值范围炉的传输时间.T2,表示钢坯1从加热炉输送至热 3.3评价参数构建轧机的传输时间.P:表示第一块进人加热炉k的分析每块钢坯在加热炉区停留的时间可知，钢坯序号.9k表示最后一块离开加热炉k的钢坯由于加热炉的出钢顺序受轧制计划的约束，因此序号.b:表示钢坯i入炉时温度.1，表示在同一加每块钢坯从出炉至输送到热轧机上的时间间隔较热炉中，排在钢坯i后第C块(C为加热炉炉容)入固定；但另外两部分时间（入炉前等待时间，炉内炉加热的钢坯号.ε表示热轧机最大空转等待时加热时间)由于受到上游连铸出坯时间、加热炉炉间.6min表示同一加热炉加热的相邻钢坯的最小容量、轧制计划等制约，往往波动性较大.因此有入炉时间间隔.Y表示一个足够大正数.△o表示必要探究这两部分时间的变化同加热炉燃料消耗加热炉装钢，出钢的操作时间. 量的关系.殷瑞钰提出用“连续化程度”这一物 (3)决策变量.为二元变量，如果钢坯i在流指标来衡量各工序匹配程度，本文考虑加热炉加热炉k中加热该值记为1，其他情形为0.b:表示调度实际，引入加热匹配系数4和等待匹配系数钢坯i的入炉时间.d,表示钢坯i的出炉时间. 两个评价参数，分别衡量一个调度计划内所有 O狱为三元变量，如果钢坯j紧随钢坯1装入加热钢坯炉内加热时间和炉前等待时间同理想生产时炉k中加热该值为1，其他情形为0 间的差距，并分析二者对燃料消耗量的影响规律，基于上述参数，变量的定义，构建加热炉调度山1和2计算公式分别为式(32)和(32) 的整体数学模型： ∑d-b) miA-micme.bt++ ieS 1= (32) ∑ph A4∑∑Yu(dat-bp) (23) kel ies ∑b-Z) 2= (33) a=l,ies (24) ∑p kEL i ph≤d-b:≤pd,YieS (25) 3.4算法求解 0≤di+l-d-pr,≤s,i∈S (26) 差分进化算法(Differential evolution algorithm) 是一种随机的启发式搜索算法，凭借其编程简便， d-d:-T2+Y3-Y-yk-0x)≥0，i,jeS,k∈L (27) 收敛速度快，寻优能力强町等优势，已连续多年在进化计算大会(CEC)竞赛中跻身前3名6，并且在 bj-bi-T1+Y3-Yik-Yik-Oijk)6min.Vi.jES,VkEL 模式识别)、工业控制8-1y、函数优化20-2等诸多 (28) 领域获得广泛应用.特别是在钢铁生产领域，差分 bu,≥d,ieS (29) 进化算法已被成功用于解决企业订单重调度四 y∈{0，l,YieS,VkeL (30) 钢卷配载规划2)、加热炉操作优化P等实际问题

认为炉体始终保持稳定生产状态. （4）加热炉装钢，出钢操作时间为定值. 3.2 数学模型构建为便于描述，定义以下符号和参数 ,··· ,··· ,··· ,··· （1）索引与集合. S 为加热炉生产调度计划中的钢坯集合，S={1, 2 , i , n}，其中 n 表示钢坯数. L 表示加热炉集合，L={1, 2 , k , l}，其中 l 表示加热炉数量. （2）问题参数. mi 表示钢坯 i 的质量. phi 表示钢坯 i 在加热炉中标准加热时间. Zi 表示钢坯 i 到达加热炉前缓冲区时刻. pdi 表示钢坯 i 在加热炉中的最大住炉时间. pri 表示钢坯 i 在热轧机上的轧制时间. T1i 表示钢坯 i 从等候区域输送至加热炉的传输时间. T2i 表示钢坯 i 从加热炉输送至热轧机的传输时间. pk 表示第一块进入加热炉 k 的钢坯序号. qk 表示最后一块离开加热炉 k 的钢坯序号. tbi 表示钢坯 i 入炉时温度. Ii 表示在同一加热炉中，排在钢坯 i 后第 C 块（C 为加热炉炉容）入炉加热的钢坯号. ε 表示热轧机最大空转等待时间. δmin 表示同一加热炉加热的相邻钢坯的最小入炉时间间隔. Y 表示一个足够大正数. Δt0 表示加热炉装钢,出钢的操作时间. （3）决策变量. γik 为二元变量，如果钢坯 i 在加热炉 k 中加热该值记为 1，其他情形为 0. bi 表示钢坯 i 的入炉时间 . di 表示钢坯 i 的出炉时间 . Oijk 为三元变量，如果钢坯 j 紧随钢坯 i 装入加热炉 k 中加热该值为 1，其他情形为 0. 基于上述参数，变量的定义，构建加热炉调度的整体数学模型： MinA1   ∑ i∈S miA2 − ∑ i∈S micme,tbi ·tbi +2A3n∆t0+ A4 ∑ k∈L ∑ i∈S γik(dqk −bpk )   （23） ∑ k∈L γik = 1,∀i ∈ S （24） phi ⩽ di −bi ⩽ pdi ,∀i ∈ S （25） 0 ⩽ di+1 −di −pri ⩽ ε,∀i ∈ S （26） dj −di −T2 +Y ( 3−γik −γjk −Oi jk) ⩾ 0,∀i, j ∈ S,∀k ∈ L （27） bj −bi −T1 +Y ( 3−γik −γjk −Oi jk) ⩾δmin,∀i, j∈S,∀k∈L （28） bIi ⩾ di ,∀i ∈ S （29） γik ∈ {0,1},∀i ∈ S,∀k ∈ L （30） Oi jk ∈ {0,1},∀i, j ∈ S,∀k ∈ L （31）目标函数（23）表示多台加热炉总燃料消耗量最小. 约束（24）表示每块钢坯只能分配给一台加热炉加热. 约束（25）表示每块钢坯在加热炉内的加热时间应不低于标准加热时间且不高于最大住炉时间. 约束（26）表示板坯在热轧机组空闲前需一直在炉内停留且热轧机组停机等待板坯的时间不能过长. 约束（27）表示在同一加热炉加热的钢坯按照轧制顺序出炉. 约束（28）表示在同一加热炉加热的钢坯按轧制顺序入炉. 约束（29）表示每台加热炉同时加热的钢坯数不得超过其炉容量. 约束（30）和约束（31）表示决策变量 γik 和 Oijk 的取值范围. 3.3 评价参数构建分析每块钢坯在加热炉区停留的时间可知，由于加热炉的出钢顺序受轧制计划的约束，因此每块钢坯从出炉至输送到热轧机上的时间间隔较固定；但另外两部分时间（入炉前等待时间，炉内加热时间）由于受到上游连铸出坯时间、加热炉炉容量、轧制计划等制约，往往波动性较大. 因此有必要探究这两部分时间的变化同加热炉燃料消耗量的关系. 殷瑞钰[14] 提出用“连续化程度”这一物流指标来衡量各工序匹配程度，本文考虑加热炉调度实际，引入加热匹配系数 μ1 和等待匹配系数 μ2 两个评价参数，分别衡量一个调度计划内所有钢坯炉内加热时间和炉前等待时间同理想生产时间的差距，并分析二者对燃料消耗量的影响规律， μ1 和 μ2 计算公式分别为式（32）和（32）. µ1 = ∑ i∈S (di −bi) ∑ i∈S phi （32） µ2 = ∑ i∈S (bi −Zi) ∑ i∈S phi （33） 3.4 算法求解差分进化算法（Differential evolution algorithm）是一种随机的启发式搜索算法，凭借其编程简便，收敛速度快，寻优能力强[15] 等优势，已连续多年在进化计算大会（CEC）竞赛中跻身前 3 名[16] ，并且在模式识别[17]、工业控制[18−19]、函数优化[20−21] 等诸多领域获得广泛应用. 特别是在钢铁生产领域，差分进化算法已被成功用于解决企业订单重调度[22]、钢卷配载规划[23]、加热炉操作优化[24] 等实际问题. · 426 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期

闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 427 为避免差分进化算法的种群在迭代过程中易式中，CR为个体i所对应的交叉概率，其计算流出现的早熟现象，减轻算法参数调试的工作量，程如下： Ghosh等2在差分进化算法(DE)的基础上开发比较变异向量V,和原始向量X的适应度函了FiADE(Fitness-adaptive DE)算法，它可根据每代数值，如果V)<Xe),执行(40)式，否则执行种群个体的适应度函数值变化，对DE算法的缩放 (41)式因子、交叉概率动态调整，平衡算法的开发和探索 CRi=CRconst (40) 能力P阿本文以FiADE算法作为主体求解算法，同 CRmax-CRmin 时为提高算法寻优效率，对种群中表现较优的个 CRj=CRmin+1+lf(V)-f(Xbes)l (41) 体进一步执行禁忌搜索.算法整体流程如图4所示.其主要步骤如下：式中，CRconst,CRmins,CRmax为设定的参数 (4)选择操作. (1)初始化种群种群采用实数编码，随机产生Np个D维解向比较原始个体XE和经变异，交叉操作后所得量X={x,…xP,i=l,…,Np,D为决策变量个数，新个体UE的适应度函数值，以(42)式进行选择， Np为种群数.各决策变量分布在其上边界Xmm= 优者进入下一轮循环，弱者淘汰出局 {xa,…ax}和下边界Xma={ax…hax}构成的「Ui.Eiff(Ui.E）≤f(X.E) XiE+1= (42) 解空间中，计算公式如(34)所示： XiE otherwise min +rand(0.1)(max-min) (34) (5)禁忌搜索选择操作结束后，对新生成的子代个体，按照 rand(0,1)指[0,1]之间服从均匀分布的随机数，适应度函数值由小到大进行排序，并选择前10% xd中的0指此时种群处于初始代的优良个体执行禁忌搜索.具体步骤如下： (2)变异操作. 步骤1：设定算法运行的各输入参数，即候选对种群中的每个目标向量X,E(E表示算法运解个数、禁忌表长度、迭代次数、初始解等，初始行至第E代)执行差分变异操作(35)，生成的变异禁忌表为空，同时将初始解设为历史最优解向量记为'c呢c] 步骤2：对当前解进行局部搜索生成候选解， ViE=XAE+F:(X4E-XAE)+F:(XAE-XAE) 并计算每个候选解的适应度函数值 (35) 步骤3：判断每个候选解是否属于禁忌且选出式中，下标r,r2,r,r4,rs为随机抽取的位于[1，适应度函数值最优的候选解 Np]之间的不同于i的个体序号，F,为个体i所对应步骤4：比较最优候选解与历史最优解的适应的缩放因子，其计算流程如下值大小，若优于历史最优解则执行步骤5，否则执 Stepl:计算F,对于每个个体X, 行步骤6. F1=Fmax △fi (36) 步骤5：忽略最优候选解的禁忌状态，将其作 dcon+△f 为新的历史最优解和当前解，加入禁忌表中，并更式中，△X)-Xe儿，X,s为当前种群中适应度新禁忌表的状态，执行步骤7 最低的个体，on=0.l△+l04,Fmax为给定的参数. 步骤6：在候选解中选择非禁忌的最优适应度 Step2:计算F2,对于每个个体X 函数值的解，将其作为当前解并加入禁忌表中，更 F2=Fmax（1-eaf) (37) 新禁忌表的状态，执行步骤7. Step3:计算F; 步骤7：判断是否达到最大迭代次数，若达到执行步骤8，否则迭代次数加一并返回步骤2 Fi=max (F1,F2) (38) (3)交叉操作步骤8：输出历史最优解将目标向量X,E和其对应的变异向量VE执行 4算例验证及讨论交叉策略，新生成的个体记为U={uE,e鼎E, 4.1模型及算法参数设置个体i中第j个点计算公式为为验证本文所提方法在降低加热炉生产能耗 if rand(O,l)≤CR .G= (39) 方面的效果，以国内某热轧厂生产线实际数据建 otherwise 立数学模型，该模型包含3台并行布置且容量相

为避免差分进化算法的种群在迭代过程中易出现的早熟现象，减轻算法参数调试的工作量， Ghosh 等[25] 在差分进化算法（DE）的基础上开发了 FiADE（Fitness-adaptive DE）算法，它可根据每代种群个体的适应度函数值变化，对 DE 算法的缩放因子、交叉概率动态调整，平衡算法的开发和探索能力[26] . 本文以 FiADE 算法作为主体求解算法，同时为提高算法寻优效率，对种群中表现较优的个体进一步执行禁忌搜索. 算法整体流程如图 4 所示. 其主要步骤如下：（1）初始化种群. ,··· ,··· x 1 max,···x D max x 1 max,··· x D max 种群采用实数编码，随机产生 NP 个 D 维解向量 Xi={xi 1 xi D }，i = 1 ，NP，D 为决策变量个数， NP 为种群数. 各决策变量分布在其上边界 Xmin= { }和下边界 Xmax={ }构成的解空间中，计算公式如（34）所示： x j i,0 = x j min +rand(0,1)· ( x j max − x j min) （34） rand(0, 1) 指 [0, 1] 之间服从均匀分布的随机数， xi,0 j 中的 0 指此时种群处于初始代. （2）变异操作. v 1 i,G ,···v D i,G 对种群中的每个目标向量 Xi,E（E 表示算法运行至第 E 代）执行差分变异操作（35），生成的变异向量记为 Vi,E=[ ] Vi,E = Xr i 1 ,E + Fi · ( Xr i 2 ,E − Xr i 3 ,E ) + Fi · ( Xr i 4 ,E − Xr i 5 ,E ) （35）式中，下标 r1 i ，r2 i ，r3 i ，r4 i ，r5 i 为随机抽取的位于 [1, NP ] 之间的不同于 i 的个体序号，Fi 为个体 i 所对应的缩放因子，其计算流程如下 Step1：计算 F1，对于每个个体 Xi， F1 = Fmax · ( ∆fi λcon + ∆fi ) （36）式中，∆f i=|f(Xi )‒f(Xbest)|，Xbest 为当前种群中适应度最低的个体，λcon = 0.1·∆f i + 10−14 ，Fmax 为给定的参数. Step2：计算 F2 ,对于每个个体 Xi F2 = Fmax · ( 1−e −∆fi ) （37） Step3：计算 Fi Fi = max(F1,F2) （38）（3）交叉操作. u 1 i,E u 2 i,E ,··· u D i,E u j i,E 将目标向量 Xi,E 和其对应的变异向量 Vi,E 执行交叉策略，新生成的个体记为 Ui,E={ ， , }，个体 i 中第 j 个点计算公式为 u j i,G =    v j i,E if rand(0,1) ⩽ CRi x j i,E otherwise （39）式中，CRi 为个体 i 所对应的交叉概率，其计算流程如下：比较变异向量 Vi 和原始向量 Xbest 的适应度函数值，如果 f(Vi ) < f(Xbest)，执行（40）式，否则执行（41）式. CRi = CRconst （40） CRi = CRmin + CRmax −CRmin 1+| f (Vi)− f (Xbest)| （41）式中，CRconst，CRmin，CRmax 为设定的参数. （4）选择操作. 比较原始个体 Xi,E 和经变异，交叉操作后所得新个体 Ui,E 的适应度函数值，以（42）式进行选择，优者进入下一轮循环，弱者淘汰出局. Xi,E+1 = { Ui,E if f ( Ui,E ) ⩽ f ( Xi,E ) Xi,E otherwise （42）（5）禁忌搜索. 选择操作结束后，对新生成的子代个体，按照适应度函数值由小到大进行排序，并选择前 10% 的优良个体执行禁忌搜索. 具体步骤如下：步骤 1：设定算法运行的各输入参数，即候选解个数、禁忌表长度、迭代次数、初始解等，初始禁忌表为空，同时将初始解设为历史最优解. 步骤 2：对当前解进行局部搜索生成候选解，并计算每个候选解的适应度函数值. 步骤 3：判断每个候选解是否属于禁忌且选出适应度函数值最优的候选解. 步骤 4：比较最优候选解与历史最优解的适应值大小，若优于历史最优解则执行步骤 5，否则执行步骤 6. 步骤 5：忽略最优候选解的禁忌状态，将其作为新的历史最优解和当前解，加入禁忌表中，并更新禁忌表的状态,执行步骤 7. 步骤 6：在候选解中选择非禁忌的最优适应度函数值的解，将其作为当前解并加入禁忌表中，更新禁忌表的状态，执行步骤 7. 步骤 7：判断是否达到最大迭代次数，若达到执行步骤 8，否则迭代次数加一并返回步骤 2. 步骤 8：输出历史最优解. 4 算例验证及讨论 4.1 模型及算法参数设置为验证本文所提方法在降低加热炉生产能耗方面的效果，以国内某热轧厂生产线实际数据建立数学模型，该模型包含 3 台并行布置且容量相闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 · 427 ·

428 工程科学学报，第43卷，第3期同的加热炉，下游配置1台热轧机，上游钢坯来源算法的候选解长度50，禁忌列表长度20，迭代次为连铸机和板坯库.选取9组轧制作业计划中的数20. 钢坯数据作为计算案例，其中前5个算例采用 4.2算例验证 DHCR调度方式，后四个算例为DHCR与CCR耦选择LENOVO510S(Intel Core i5-7200UCPU@ 合的调度方式. 2.50GHZ,4 GB RAM)作为测试设备.为测试本文选取国内某加热炉热平衡测试时的数据，其改进DE算法的效果，选择DE/rand/l,DE/best/1, 燃料低位发热量为33812kJm3,理论空气需要量 DE/current-to-best/13种典型差分算法27作为对比 8.39m3,空气消耗系数为1.5，单位燃料废气量为算法，3种算法的种群数，迭代次数与本文算法一 11.03m3.机械不完全燃烧损失系数为0.01，烟气致，缩放因子F和交叉概率CR通过4水平全因子中C0体积分数为1%，烧损率为0.03，冷却水流量设计实验1获得，它们的参数分别设置为：DE/ 250th.为便于计算，各处温度取加热一批钢坯 rand/1:F=0.4、CR=0.7:DE/best/1:F-0.7、CR=0.4:DE/ 时间内的平均值，燃料温度307℃，空气温度355℃， current--to-best/1:F=0.6、CR=0.9.当算法运行停止出炉烟气温度833℃，炉门开启逸出炉气温度为返回出最终的调度方案后，依据式(16)计算各方 787℃. 案对应的加热炉燃耗.每种算法均运行10次取平算法参数设置方面，设本文差分进化算法的均值，计算结果见表1.由表1可以看出，在所有测种群个体数为100，迭代次数为200，Fma为0.8，试算例中，本文所提改进差分进化算法均获得最 CRconst为0.9，CRmin为0.l,CRmax为0.8；禁忌搜索低燃耗的生产方案，这验证了本算法的有效性表1本文算法与其他算法燃耗对比结果 Table 1 Fuel consumption comparison between the proposed algorithm and other algorithms DE/rand/1 fuel DE/best/1 fuel DE/current-to-best/1 fuel Proposed algorithm fuel Test Billet number consumption/(10*m) consumption/(10m) consumption/(10+m3) consumption/(10m') Test 1 82 3.4565 3.4599 3.4872 3.2736 Test 2 90 4.1849 4.2124 4.1667 3.8481 Test 3 98 5.0369 4.918 4.9426 4.7187 Test4 107 5.8606 5.7885 5.8102 5.1345 Test 5 118 6.1229 5.9144 6.0177 5.8095 Test 6 83 5.6468 5.6564 5.6975 5.0639 Test 7 9 7.1035 7.0469 7.0391 6.9521 Test 8 106 8.3189 8.1708 8.2364 7.8882 Test9 120 10.2438 10.3807 10.4696 10.1119 同时，考虑到优化目标对于调度模型的重要 Mim∑(d+1-d-pr) (45) iES 性，为验证文中所提燃耗目标的有效性，以总住炉等待时间)总完工时间o,总热轧机]等待时间由表2可以看出，在所有测试算例中，依据本作为对比目标，3种目标的数学表达式为式(43)~ 文所提目标求得的调度方案，其加热炉燃料消耗 (45),为便于表述，三种目标依次记为目标1，目量最低.根据所有算例测试结果的平均值表明，标2，目标3.采用本文提出的改进差分进化算法若依本文所提优化目标进行生产调度，则理论上作为求解算法，对每组算例用燃耗目标和3种对加热炉能耗将比调度目标1降低约20%，比目标比目标分别进行求解，每种调度目标计算时均按 2降低约17.6%，比目标3降低约8.7%，可见本文上文所设参数连续运行10次，取10次燃耗结果的提出的调度目标在降低加热炉能耗方面具有一最小值，计算结果见表2 定优势 Min >(di-bi-phi) (43) 4.3讨论 iES 现通过算例1中的钢坯数据，探究加热炉燃耗 Min >(di-bi) (44) 对工序匹配评价参数山和2的敏感性，由于山1 和2并非完全独立，故同时考虑二者对能耗的影

同的加热炉，下游配置 1 台热轧机，上游钢坯来源为连铸机和板坯库. 选取 9 组轧制作业计划中的钢坯数据作为计算案例，其中前 5 个算例采用 DHCR 调度方式，后四个算例为 DHCR 与 CCR 耦合的调度方式. 选取国内某加热炉热平衡测试时的数据，其燃料低位发热量为 33812 kJ·m−3，理论空气需要量 8.39 m3 ，空气消耗系数为 1.5，单位燃料废气量为 11.03 m3 ，机械不完全燃烧损失系数为 0.01，烟气中 CO 体积分数为 1%，烧损率为 0.03，冷却水流量 250 t·h−1 . 为便于计算，各处温度取加热一批钢坯时间内的平均值，燃料温度 307 ℃，空气温度 355 ℃，出炉烟气温度 833 ℃，炉门开启逸出炉气温度为 787 ℃. 算法参数设置方面，设本文差分进化算法的种群个体数为 100，迭代次数为 200， Fmax 为 0.8， CRconst 为 0.9，CRmin 为 0.1，CRmax 为 0.8；禁忌搜索算法的候选解长度 50，禁忌列表长度 20，迭代次数 20. 4.2 算例验证选择 LENOVO510S（Intel Core i5-7200U CPU@ 2.50GHZ，4 GB RAM）作为测试设备. 为测试本文改进 DE 算法的效果，选择 DE/rand/1， DE/best/1， DE/current-to-best/1 3 种典型差分算法[27] 作为对比算法，3 种算法的种群数，迭代次数与本文算法一致，缩放因子 F 和交叉概率 CR 通过 4 水平全因子设计实验[28] 获得，它们的参数分别设置为：DE/ rand/1：F=0.4、CR=0.7；DE/best/1：F=0.7、CR=0.4；DE/ current-to-best/1：F=0.6、CR=0.9. 当算法运行停止返回出最终的调度方案后，依据式（16）计算各方案对应的加热炉燃耗. 每种算法均运行 10 次取平均值，计算结果见表 1. 由表 1 可以看出，在所有测试算例中，本文所提改进差分进化算法均获得最低燃耗的生产方案，这验证了本算法的有效性. 表 1 本文算法与其他算法燃耗对比结果 Table 1 Fuel consumption comparison between the proposed algorithm and other algorithms Test Billet number DE/rand/1 fuel consumption/(104 m 3 ) DE/best/1 fuel consumption/(104 m 3 ) DE/current-to-best/1 fuel consumption/(104 m 3 ) Proposed algorithm fuel consumption/(104 m 3 ) Test 1 82 3.4565 3.4599 3.4872 3.2736 Test 2 90 4.1849 4.2124 4.1667 3.8481 Test 3 98 5.0369 4.918 4.9426 4.7187 Test 4 107 5.8606 5.7885 5.8102 5.1345 Test 5 118 6.1229 5.9144 6.0177 5.8095 Test 6 83 5.6468 5.6564 5.6975 5.0639 Test 7 94 7.1035 7.0469 7.0391 6.9521 Test 8 106 8.3189 8.1708 8.2364 7.8882 Test 9 120 10.2438 10.3807 10.4696 10.1119 同时，考虑到优化目标对于调度模型的重要性，为验证文中所提燃耗目标的有效性，以总住炉等待时间[29] ，总完工时间[30] ，总热轧机[3] 等待时间作为对比目标，3 种目标的数学表达式为式（43）～（45），为便于表述，三种目标依次记为目标 1，目标 2，目标 3. 采用本文提出的改进差分进化算法作为求解算法，对每组算例用燃耗目标和 3 种对比目标分别进行求解，每种调度目标计算时均按上文所设参数连续运行 10 次，取 10 次燃耗结果的最小值，计算结果见表 2. Min∑ i∈S ( di −bi −phi ) （43） Min∑ i∈S (di −bi) （44） Min∑ i∈S ( di+1 −di −pri ) （45）由表 2 可以看出，在所有测试算例中，依据本文所提目标求得的调度方案，其加热炉燃料消耗量最低. 根据所有算例测试结果的平均值表明，若依本文所提优化目标进行生产调度，则理论上加热炉能耗将比调度目标 1 降低约 20%，比目标 2 降低约 17.6%，比目标 3 降低约 8.7%，可见本文提出的调度目标在降低加热炉能耗方面具有一定优势. 4.3 讨论现通过算例 1 中的钢坯数据，探究加热炉燃耗对工序匹配评价参数 μ1 和 μ2 的敏感性，由于 μ1 和 μ2 并非完全独立，故同时考虑二者对能耗的影 · 428 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期

闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 429 表2本文目标与其他调度目标燃耗对比结果是通过算法寻优，使得调度计划对应的山和？不 Table 2 Fuel consumption comparison between the proposed objective 断下降，并观察对应的燃耗变化情况以分析两参 and other objectives 数同燃耗的敏感性；当C1大于C2时，最终两参数 Fuel consumption/(10+m3) 的优化程度通常为4>2，因此通过不同的C和 Test Billet number Proposed Objective 1 Objective 2 Objective 3 C2组合，获得山和2下降幅度不同的调度方案， objective 可进一步观察二者对燃耗的影响程度.算法参数 Test 1 82 32374 5.0664 4.3964 4.1741 保持上文中的设置不变 Test 2 90 3.8058 4.9567 5.36 4.3039 Min (Ciu+C2u) (46) Test 3 98 4.6216 5.3726 5.4319 4.9666 Test 4 107 5.0762 6.2396 6.0114 5.2608 由于加热炉区的生产调度会受到连铸工序的钢坯到达节奏和下游热轧机生产节奏的影响，因 Test5 118 5.7452 7.5245 7.0476 5.9771 3 此本文考虑划分连铸坯到达节奏大于，等于和小 Test 6 5.0078 7.2739 7.2176 5.6939 于热轧机出坯节奏3种情形讨论，将一块连铸坯 Test 7 94 6.8758 8.6738 8.7991 7.8711 经辊道运输至加热炉的平均时间定义为连铸坯到 Test 8 106 7.7563 9.0966 8.0922 8.3118 Test 9 达节奏B,min,设定热轧机出坯节奏记为B2 min, 120 9.9726 10.843 10.874 10.53 定义连铸坯到达节奏与轧制节奏之比BB2.将 Average 100 5.7887 7.2275 7.0256 6.3425 轧机节奏设为1min,改变B,以构建3种不同的响.设计新的优化目标(46)，其中C1和C2分别为情形，讨论当为05、1、2时加热炉燃耗对山和山1和2的惩罚因子，C1表示优化目标中41的重要 2的敏感性.其计算结果分别如图5~7所示.对程度，C2表示优化目标中2的重要程度.C,和比图5(a),图6(a),图7(a)可知，当从0.5逐渐增 C2取值区间均设为[0,1]，间隔为0.1，共考虑100种至2时，加热炉生产燃耗的波动区间呈逐渐减小不同的惩罚因子组合.设计优化目标(46)的目的的趋势，燃耗对和？的敏感性逐渐减弱 Fuel consumption/(10m3) 10 (a) 7.24 7.0 0.9 6.86 6.5 6.48 6.0 0.7 6.10 5.5 0.6 05 5.72 5.0 5.35 4.5 0.3 4.97 1.0 0.2 4.59 002040.60.8 0.8 421 Penalty factor.C. Penalty factor,C 0. 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 Penalty factor,C2 图5-0.5时不同惩罚因子组合下燃料消耗量变化.()三维图：(b)C1和C2平面投彩图 Fig.5 Fuel consumption under the different punishment factor combinations when=0.5:(a)three-dimensional figure;(b)C and C,plane projection 由图5(b)及图6(b)可知，当上游连铸坯到达连铸工序物质流通量低于下游热轧工序物质流通加热炉节奏快于或等于轧机的生产节奏时，往往量.此工况下钢坯在加热炉区的停留时间接近其当C2大于C时，对应燃耗更低.相反，当C2小于标准加热时间，加热炉充当“缓冲活套”的作用被 C,时，燃耗往往偏高.这表明，若仅考虑获得能耗削弱.从生产实际角度分析，当上游物质流通量低最低的生产调度方案，降低？比降低更重要，于下游物质流通量时，可能会造成轧机空转等待，即降低钢坯在入炉前的等待时间，提高入炉温度，影响热轧机的正常运行.为保证连铸至热轧区间相对于减少钢坯在炉内的加工时间“收益”更大. 的稳定生产，应避免出现这种工况由图7(b)可知，当2时，无论怎么改变C 通过敏感性分析可知，当≤1时，能耗对山1、和C,的搭配，能耗变化非常小.这主要是由于当 2的变化敏感.然而两参数对能耗的具体影响规心1时，连铸坯到达节奏慢于轧机生产节奏，使得律需进一步讨论，因此本文以算例1的钢坯信息

响. 设计新的优化目标（46），其中 C1 和 C2 分别为 μ1 和 μ2 的惩罚因子，C1 表示优化目标中 μ1 的重要程度，C2 表示优化目标中 μ2 的重要程度. C1 和 C2 取值区间均设为 [0,1]，间隔为 0.1，共考虑 100 种不同的惩罚因子组合. 设计优化目标（46）的目的是通过算法寻优，使得调度计划对应的 μ1 和 μ2 不断下降，并观察对应的燃耗变化情况以分析两参数同燃耗的敏感性；当 C1 大于 C2 时，最终两参数的优化程度通常为 μ1>μ2，因此通过不同的 C1 和 C2 组合，获得 μ1 和 μ2 下降幅度不同的调度方案，可进一步观察二者对燃耗的影响程度. 算法参数保持上文中的设置不变. Min(C1µ1 +C2µ2) （46）由于加热炉区的生产调度会受到连铸工序的钢坯到达节奏和下游热轧机生产节奏的影响，因此本文考虑划分连铸坯到达节奏大于，等于和小于热轧机出坯节奏 3 种情形讨论，将一块连铸坯经辊道运输至加热炉的平均时间定义为连铸坯到达节奏 β1 min，设定热轧机出坯节奏记为 β2 min[31] ，定义连铸坯到达节奏与轧制节奏之比 ζ=β1 /β2 . 将轧机节奏设为 1 min，改变 β1 以构建 3 种不同 ζ 的情形，讨论当 ζ 为 0.5、1、2 时加热炉燃耗对 μ1 和 μ2 的敏感性. 其计算结果分别如图 5～7 所示. 对比图 5（a），图 6（a），图 7（a）可知，当 ζ 从 0.5 逐渐增至 2 时，加热炉生产燃耗的波动区间呈逐渐减小的趋势，燃耗对 μ1 和 μ2 的敏感性逐渐减弱. (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Penalty factor, C1 Penalty factor, C2 4.21 4.59 4.97 5.35 5.72 6.10 6.48 6.86 7.24 Fuel consumption/(104 m3 ) (b) Fuel consumption/(104 m3 ) 7.0 0 6.5 0.2 6.0 0.4 5.5 0.6 5.0 0.8 4.5 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 图 5 ζ=0.5 时不同惩罚因子组合下燃料消耗量变化. （a）三维图；（b）C1 和 C2 平面投影图 Fig.5 Fuel consumption under the different punishment factor combinations when ζ = 0.5: (a) three-dimensional figure; (b) C1 and C2 plane projection 由图 5（b）及图 6（b）可知，当上游连铸坯到达加热炉节奏快于或等于轧机的生产节奏时，往往当 C2 大于 C1 时，对应燃耗更低. 相反，当 C2 小于 C1 时，燃耗往往偏高. 这表明，若仅考虑获得能耗最低的生产调度方案，降低 μ2 比降低 μ1 更重要，即降低钢坯在入炉前的等待时间，提高入炉温度，相对于减少钢坯在炉内的加工时间“收益”更大. 由图 7（ b）可知，当 ζ=2 时，无论怎么改变 C1 和 C2 的搭配，能耗变化非常小. 这主要是由于当 ζ>1 时，连铸坯到达节奏慢于轧机生产节奏，使得连铸工序物质流通量低于下游热轧工序物质流通量. 此工况下钢坯在加热炉区的停留时间接近其标准加热时间，加热炉充当“缓冲活套”的作用被削弱. 从生产实际角度分析，当上游物质流通量低于下游物质流通量时，可能会造成轧机空转等待，影响热轧机的正常运行. 为保证连铸至热轧区间的稳定生产，应避免出现这种工况. 通过敏感性分析可知，当 ζ ≤1 时，能耗对 μ1、 μ2 的变化敏感. 然而两参数对能耗的具体影响规律需进一步讨论，因此本文以算例 1 的钢坯信息表 2 本文目标与其他调度目标燃耗对比结果 Table 2 Fuel consumption comparison between the proposed objective and other objectives Test Billet number Fuel consumption/(104 m 3 ) Proposed objective Objective 1 Objective 2 Objective 3 Test 1 82 3.2374 5.0664 4.3964 4.1741 Test 2 90 3.8058 4.9567 5.36 4.3039 Test 3 98 4.6216 5.3726 5.4319 4.9666 Test 4 107 5.0762 6.2396 6.0114 5.2608 Test 5 118 5.7452 7.5245 7.0476 5.9771 Test 6 83 5.0078 7.2739 7.2176 5.6939 Test 7 94 6.8758 8.6738 8.7991 7.8711 Test 8 106 7.7563 9.0966 8.0922 8.3118 Test 9 120 9.9726 10.843 10.874 10.53 Average 100 5.7887 7.2275 7.0256 6.3425 闫祺等：基于改进差分进化算法的加热炉调度方法 · 429 ·

为例，并设定 ζ=1. 选择本文目标优化出的调度方案作为初始点（initial point），该方案对应燃料消耗量 32374 m 3 ，μ1 为 1.51，μ2 为 0.036. 依次以最大化 μ1（记为优化方向 1）和最小化 μ1（记为优化方向 2）为优化目标进行寻优计算，并保存算法每代最优解，算法迭代次数设为 2000. 之后计算每代最优解对应的 μ1、μ2，燃耗；汇总并绘制出燃耗随 μ1、μ2 变化的曲线如图 8 所示. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 µ1 for optimization direction 1 µ1 for optimization direction 2 Fuel consumption/(10 4 m3 ) Initial point (a) 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 μ2 for optimization direction 1 μ2 for optimization direction 2 Fuel consumption/(10 4 m3 ) μ2 Initial point (b) μ1 图 8 燃料消耗量随 μ1 （a）和 μ2 （b）变化关系 Fig.8 Relationship between fuel consumption and μ1 (a) and μ2 (b) 综合分析图 8 可以看出，当调度方案对应 μ10.036 时，加热炉燃耗随着 μ1 的减小而增大，随着 μ2 的减小而减小，这表明在此情形下，由工序间节奏不匹配引起的钢坯入炉前的等 3.61 3.84 4.08 4.31 4.55 4.78 5.02 5.25 5.49 (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Penalty factor, C1 Penalty factor, C2 Fuel consumption/(104 m3 ) (b) Fuel consumption/(104 m3 ) 5.4 5.2 0 5.0 0.2 4.8 4.6 0.4 4.4 0.6 4.2 0.8 4.0 3.8 3.6 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 图 6 ζ=1 时不同惩罚因子组合下燃料消耗量变化. （a）三维图；（b）C1 和 C2 平面投影图 Fig.6 Fuel consumption under the different punishment factor combinations when ζ = 1: (a) three-dimensional figure; (b) C1 and C2 plane projection (a) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Penalty factor, C1 Penalty factor, C2 Fuel consumption/(104 m3 ) Fuel consumption/(104 m3 ) 3.34 3.32 0 3.30 0.2 3.28 3.26 0.4 3.24 0.6 3.22 0.8 3.20 3.18 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 3.19 3.21 3.23 3.25 3.27 3.29 3.31 3.33 3.35 (b) 图 7 ζ=2 时不同惩罚因子组合下燃料消耗量变化. （a）三维图；（b）C1 和 C2 平面投影图 Fig.7 Fuel consumption under the different punishment factor combinations when ζ = 2: (a) three-dimensional figure; (b) C1 and C2 plane projection · 430 · 工程科学学报，第 43 卷，第 3 期

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