第七讲多因素试验资料的方差分析 MULTIFACTOR ANALYSIS OF VARIANCE 多因素试验是指同时研究n个因素对试验指标的作用,以及它们的共同作用。多因素试验的最大优点 首先在于除了一次试验可以同时明确多个因素的效应,还可以分析出因素间的相互作用(互作),便于选定 最优处理组合。其次,多因素试验可増加误差项的自由度,降低试验误差。因此比单因素试验精确度更高 最后,多因素实验所得的结论确切、具体、论据充足。如单独进行品种对比试验,结果只能粗略地明确品 种间的优劣,如果与饲料水平、饲喂方式结合进行三因素试验,可具体明确用一定的饲喂方式在特定的饲 料水平下,哪个品种优于哪个品种。论据、内容都比单因素试验结果丰富。田间试验中也常要考察哪个品 种在何时播种以及在何种密度下的产量表现,同时还可以采用区组设计来安排重复,以便控制系统误差, 提高试验的准确性。现以三因素试验的资料介绍其方差分析方法 第一节线性模型与期望均方 线性数学模型 设A、B、C三个因素各含a、b、c个水平,共abc个处理组合,每个处理组合重复数为r。则其任 观察值的线性数学模型为 yik=A+a;+B+yk+(ap) +(ay) k+(Bni+(aBr)ik+p,+euw 其中,a2,B1,yk,(B)、(ay)、(By)/k,(ay),P1,∈依次表示总体平均数、A、B、C主效应, A×B、AXB、BXC、 AXBXO互作效应,重复(区组)效应和随机误差。在样本资料中依次分别由 x, (x-x),(B-x),(c-x),(xB-X-xB+x),(xac-XA-xc+x), ( Bc-xB-xc+x) (RABC+xA+xB+xc-XAB-xC-XBC-x),(xR-x),(xk-xABc-xR+x)进行估计。x,xA,xB, xc,xAB,xC,BC,ABC,x分别表示全试验总平均数,A、B、C各水平均数、AB、AC、BC、ABC处 理组合均数和重复均数。 、期望均方 三个因素试验的效应按固定模型,随机模型和混合模型的不同其期望均方的组成列于表6-1。 如果试验不采用区组设计,可在表中去掉区组的效应及相应的方差组分
76 第七讲 多因素试验资料的方差分析 MULTIFACTOR ANALYSIS OF VARIANCE 多因素试验是指同时研究 n 个因素对试验指标的作用，以及它们的共同作用。多因素试验的最大优点 首先在于除了一次试验可以同时明确多个因素的效应，还可以分析出因素间的相互作用（互作），便于选定 最优处理组合。其次，多因素试验可增加误差项的自由度，降低试验误差。因此比单因素试验精确度更高。 最后，多因素实验所得的结论确切、具体、论据充足。如单独进行品种对比试验，结果只能粗略地明确品 种间的优劣，如果与饲料水平、饲喂方式结合进行三因素试验，可具体明确用一定的饲喂方式在特定的饲 料水平下，哪个品种优于哪个品种。论据、内容都比单因素试验结果丰富。田间试验中也常要考察哪个品 种在何时播种以及在何种密度下的产量表现，同时还可以采用区组设计来安排重复，以便控制系统误差， 提高试验的准确性。现以三因素试验的资料介绍其方差分析方法。 第一节 线性模型与期望均方 一、线性数学模型 设 A、B、C 三个因素各含 a、b、c 个水平，共 abc 个处理组合，每个处理组合重复数为 r。则其任一 观察值的线性数学模型为： i j kl i j k i j i k j k ijk l i jkl y = + + + + ( ) + ( ) + ( ) + () + + e 其中 i j k i j i k j k ijk l i jkl , , , ,( ) ,( ) ,( ) ,() , ,e 依次表示总体平均数、A、B、C 主效应， A×B、A×B、B×C、A×B×C 互作效应，重复(区组)效应和随机误差。在样本资料中依次分别由 x,(x x), A − (x x) B − ， (x x) C − ，(x x x x) AB − A − B + ，(x x x x) AC − A − C + ，(x x x x) BC − B − C + ， (x x x x x x x x) ABC + A + B + C − AB − AC − BC − ，(x x) R − ，(x x x x) ijkl − ABC − R + 进行估计。 A B x , x , x , ， C AB AC BC ABC R x , x , x , x , x , x 分别表示全试验总平均数，A、B、C 各水平均数、AB、AC、BC、ABC 处 理组合均数和重复均数。 二、期望均方 三个因素试验的效应按固定模型，随机模型和混合模型的不同其期望均方的组成列于表 6—1。 如果试验不采用区组设计，可在表中去掉区组的效应及相应的方差组分
表6-1三因素有重复试验的均方(MS)和期望均方(EMS) EMS 变异来源:MS:固定模型 随机模型 A、B固定,C随机 Msr 02+abcxr 02 +abcor a+abk或:+a MS 02+bcrxa 02 +roaBc+croaa+brac +bcro2 02+brac+bcrx2 o.+ack 22+roBc +crab taro Bc+acro 2 02+aro c+acra C :oe+abrkc oe +ro 4Bc +brodc +aro 4c +abrod oe +abro MSxB o 2+crx2B 02+ro2Bc+croaB Ge +ro ABc CrAB MS :o2+brac 02+ro ABc +br σ2+broc BxC + ark Bc ce +ro aBc taro BC ce taro Bo Ax BxC! MSAxBxc!ae+rxdBc ae+ g-+ro ABC 误差项:MS。 由平方和(SS)和自由度(df)所得的各项均方(MS),可依据歌变异来源项的期望均方(EMS),分 别选择合适的被比量均方(分母)来计算各项F值,并进行F检验。各项平方和与自由度的剖分以下例加 以说明 第二节三个因素试验结果的分析 2×2×3三个因素试验的方差分析 例1试验安排三个因素分别是:A因素为猪的饲喂方式限食(A1)与不限食(A2),a=2:B因素为 猪的性别公猪(B1)与母猪(B2),b-2;C因素为饲料组成,基础饲料(C1),基础饲料75%加麸25%(C2), 基础饲料和麸各占50%(C3);c=3。由体重55±3(kg)的公、母猪中随机取样48头大白猪(公、母各半) 每12头一组,随机分配在12个(2×2×3)处理组中,共4组,r=4。限饲日喂两次,以不剩料为限,体 重达100±3(kg)结束试验,试验结果如表6-2,原始数据减去500g,即ⅹ′=x-500。 表62各试验组结束时日增重x-500(g) 饲喂方式性别|饲料 组合合计 BI C 143152157162 1591 155169188141 653 B, 157170148140 615 C l19116127151 513 50198181 719 BI 157173176143 15717514 654 C 162162126164 614 B2c2149165136145595 121150 90121 Tr1728192417361876 T=7264
77 表 6—1 三因素有重复试验的均方（MS）和期望均方（EMS） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e e e e A B C e ABC e ABC e ABC B C e B C e ABC B C e B C A C e A C e ABC A C e A C A B e A B e ABC A B e ABC A B C e C e ABC A C A C A e C B e B e ABC A B B C B e B C B A e A e ABC A B A C A e A C A R e R e R e B e B MS A B C MS r r r B C MS a r r a r a r A C MS b r r b r b r A B MS cr r cr r cr C MS abr r b r a r abr abr B MS acr r cr a r acr a r acr A MS bcr r cr b r bcr b r bcr R MS abc abc abc abc MS A B C EMS 误差项 或 变异来源 固定模型 随机模型 、 固定， 随机 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 由平方和（SS）和自由度（df）所得的各项均方（MS），可依据歌变异来源项的期望均方（EMS），分 别选择合适的被比量均方（分母）来计算各项 F 值，并进行 F 检验。各项平方和与自由度的剖分以下例加 以说明。 第二节 三个因素试验结果的分析 一、2×2×3 三个因素试验的方差分析 例 1 试验安排三个因素分别是：A 因素为猪的饲喂方式限食（A1）与不限食（A2），a=2；B 因素为 猪的性别公猪（B1）与母猪（B2），b=2；C 因素为饲料组成，基础饲料（C1），基础饲料 75%加麸 25%（C2）， 基础饲料和麸各占 50%（C3）；c=3。由体重 55±3（kg）的公、母猪中随机取样 48 头大白猪（公、母各半）， 每 12 头一组，随机分配在 12 个（2×2×3）处理组中，共 4 组，r=4。限饲日喂两次，以不剩料为限，体 重达 100±3（kg）结束试验，试验结果如表 6—2，原始数据减去 500g，即 x ／ =x－500。 表 6—2 各试验组结束时日增重 x－500（g） 饲喂方式 A 性别 B 饲料 C 重 复 r 组合合计 TABC A1 B1 C1 C2 C3 99 148 169 180 143 152 157 162 159 146 94 161 596 614 560 B2 C1 C2 C3 155 169 188 141 157 170 148 140 119 116 127 151 653 615 513 A2 B1 C1 C2 C3 150 198 181 190 157 173 176 143 157 175 144 178 719 649 654 B2 C1 C2 C3 162 162 126 164 149 165 136 145 121 150 90 121 614 595 482 总 计 Tr 1728 1924 1736 1876 T=7264
方差分析步骤 (一)先制作四个辅助表: 1、把A、B当成一个因素与C因素构成的辅助表① 2、列出A与B两因素的二向表,辅助表② 3、列出A与C两因素的二向表,辅助表③ 4、列出B与C两因素的二向表,辅助表④ 辅助表① 辅助表② r=4 C1 C2 C3 TuL A1B15966145601770 cr=3×4B1B2T AB26536155131781 A4T 177017813551 A2B17196496542022 202216913713 A2B26145954821691 379234227264 T2582247322097264 辅助表③ 辅助表④ b=2×4GC2C「了,a=2×4CC2C3「 1249122910733551 1315126312143792 A2|1333124411363713 B2 126712109953474 2582247322097264 n|23273297264 (二)计算各平方和与自由度: C=T/aber=72642/(2×2×3×4)=10992853 总平方和:SSr=∑x2-C=992+1482+…+1212-C=26942.7 总处理平方和:S=2ma/-C=(52+642+…+482 C=11424.2 误差平方和:S=0ahC=(17282+19242+17362+1876 重复平方和:S=2T x3-C=24507 ABC 辅表②平方和:Ssn=2Ta C=(7702+17812+2022+1692) C=5l16.8 A因素平方和:s=x7=C=03+33 3×4-C=5468 B因素平方和:S5=2m/-C=(372+342) C=21334 ×3×4 A×B互作平方和:SSAB=SSAB-SS4-SSB=24366 辅表③平方和:SSE72 (12492+12292+…+1136 4-C=53012 C因素平方和:SS abr-C=(25822+24732+2209 4598.1
78 方差分析步骤 （一）先制作四个辅助表： 1、 把 A、B 当成一个因素与 C 因素构成的辅助表①； 2、 列出 A 与 B 两因素的二向表，辅助表②； 3、 列出 A 与 C 两因素的二向表，辅助表③； 4、 列出 B 与 C 两因素的二向表，辅助表④。 辅助表① 辅助表② 2582 2473 2209 7264 614 595 482 1691 719 649 654 2022 653 615 513 1781 596 614 560 1770 4 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 3 C AB T A B A B A B A B r = C C C T 3792 3422 7264 2022 1691 3713 1770 1781 3551 3 4 2 1 1 2 B A T A A cr = B B T 辅助表③ 辅助表④ 2582 2473 2209 7264 1333 1244 1136 3713 1249 1229 1073 3551 2 4 2 1 1 2 3 C A T A A b r = c C C T 2582 2473 2209 7264 1267 1210 995 3474 1315 1263 1214 3792 2 4 2 1 1 2 3 C B T B B a r = C C C T （二）计算各平方和与自由度： C=T/abcr=72642 /（2×2×3×4）=1099285.3 总平方和： 99 148 121 26942.7 2 2 2 2 SST = x −C = + ++ −C = 总处理平方和： 11424.2 4 (596 614 482 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C r T SS ABC ABC 重复平方和： 2450.7 2 2 3 (1728 1924 1736 1876 ) 2 2 2 2 2 − = + + + − = = C C abc T SS r r 误差平方和： SSe = SST − SS ABC − SSr =13067.8 辅表②平方和： 5116.8 3 4 (1770 1781 2022 1691 ) 2 2 2 2 2 − = + + + − = = C C cr T S S AB AB A 因素平方和： 546.8 2 3 4 (3551 3713 ) 2 2 2 − = + − = = C C bcr T SS A A B 因素平方和： 2133.4 2 3 4 (3792 3472 ) 2 2 2 − = + − = = C C acr T SS B B A×B 互作平方和： = − A − B = 2436.6 A B AB SS SS SS SS 辅表③平方和： 5301.2 2 4 (1249 1229 1136 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C br T SS AC AC C 因素平方和： 4598.1 2 2 4 (2582 2473 2209 ) 2 2 2 2 − = + + − = = C C abr T SS C C
A×C互作平方和: SS=SSAc-SS4-SSc=156.3 辅表④平方和:Ss=2 q--C(13152+12632+…+99 C=7915.2 A×C互作平方和: SS Bxc=SSBC-SB-Sc=11837 A×BXC互作平方和: ss= ss-S4-SB-SSC-SSB-SAC-SSBC=369,3 dfi=abcr-1=2×2×3×4-1=47 draba=abc-1=2×2×3-1=11 4-1=3 dfe=dfr-dfABc-dfr=33(=(abc-1)(r-1)I dfA=a-1=2-1=1 dfp=b-1=2-l=1 drab=(a-1)(b-1)=1 diAo=(a-1)(c-1)=2 dfBxc=(b-1)(c-1)=2 bxbx=(a-1)(b-1)(c-1)=2 (三)列方差分析表,做F检验: 表6-3三因素试验的方差分析表 变异来源矿SSMF 重复32450.7816.9206 总处理11114242 546.8546.81.3 B 21334213345.39 2459812299.15.81* AxB 2436.62436.66.15* AxC21563782<1 B×C21183.759191.49 Ax BxC236931847 误差331306783960 总变异47269427 查F值表:Fo0su3y=415;Fooa,3y=5.34,表明,饲料各水平间的增重效果存在极明显的差异,性别不 同对增重亦有影响,不同饲喂方式与性别间存在着明显的交互作用。不同饲喂方式(A)间及A×C、BXC、 A×B×C互作间差异不明显。有时为了提高F检验的灵敏度,还可以将差异较不显着的互作合并于误差项 中。如可将AXC、 AXBXO互作及误差项合并,合并误差MSe=(1563+369.3+130678)(2+2+33)=36742 可作为F检验的分母。但本例仍用表6-3中的误差项检验。 (四)作多重比较(SSR法) 性别(B)仅分二个水平,故无须作多重比较,仅对C及A×B间作多重比较 Sx=VabV2×2×4=497 396.0 =5.74 根据df=33,k=2、3、4查其SSRα值后,分别乘以标准误得LSRα如表6-4
79 A×C 互作平方和： SS AC = SS AC − SS A − SSC =156.3 辅表④平方和： 7915.2 2 4 (1315 1263 995 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C ar T SS BC BC A×C 互作平方和： SS BC = SS BC − SS B − SSC =1183.7 A×B×C 互作平方和： SS ABC = SS ABC − SS A − SS B − SSC − SS AB − SS AC − SS BC = 369.3 dfT=abcr－1=2×2×3×4－1=47 drABC=abc－1=2×2×3－1=11 dfr=r―1=4―1=3 dfe=dfT―dfABC―dfr=33[=（abc―1）（r―1）] dfA=a―1=2―1=1 dfB=b―1=2―1=1 dfA×B=（a―1）（b―1）=1 dfC=c―1=3―1=2 dfA×C=（a―1）（c―1）=2 dfB×C=（b―1）（c―1）=2 bfA×b×c=（a―1）（b―1）（c―1）=2 （三）列方差分析表，做 F 检验： 表 6-3 三因素试验的方差分析表 47 26942 .7 33 13067 .8 396.0 2 369.3 184.7 1 2 1183 .7 591.9 1.49 2 156.3 78.2 1 1 2436 .6 2436 .6 6.15 * 2 4598 .1 2299 .1 5.81** 1 2133 .4 2133 .4 5.39 * 1 546.8 546.8 1.38 11 11424 .2 3 2450 .7 816.9 2.06 总变异 误差 总处理 重复 变异来源 A B C B C A C A B C B A df SS MS F 查 F 值表：F0.05(1,33)=4.15；F0.01(2,33)=5.34，表明，饲料各水平间的增重效果存在极明显的差异，性别不 同对增重亦有影响，不同饲喂方式与性别间存在着明显的交互作用。不同饲喂方式(A) 间及 A×C、B×C、 A×B×C 互作间差异不明显。有时为了提高 F 检验的灵敏度，还可以将差异较不显着的互作合并于误差项 中。如可将 A×C、A×B×C 互作及误差项合并，合并误差 MSe=（156.3+369.3+13067.8）/（2+2+33）=367.42 可作为 F 检验的分母。但本例仍用表 6-3 中的误差项检验。 （四）作多重比较（SSR 法）： 性别（B）仅分二个水平，故无须作多重比较，仅对 C 及 A×B 间作多重比较。 5.74 3 4 396.0 4.97 2 2 4 396.0 = = = = = = cr M S S abr M S S e x e x A B C 根据 dfe=33，k=2、3、4 查其 SSRα值后，分别乘以标准误得 LSRα如表 6-4
表6-4C因素及A×B互作间多重比较所用LSR值 k SSro os SSRo o1 LSRo. os LSRo. o1 LSRo. os LSRo.o 22883.8 14.311923165322.21 3303404150620.08173923.19 43.124.14 179123.76 计算C因素及A×B互作的水平以及组合平均数时应作还原计算,再作均数差异比较表6-5,6-6。 C因素各因素平均数: x1=2582/(2×2×4)+500=66138(g) x2=2473/(2×2×4)+500=654056(g) x3=2209/(2×2×4)+500=63806(g) A*B组合平均数 x1=1770/(3×4)+500=647.5(g) x12=1781/(3×4)+500=6484(g) x21=2022/(3×4)+500=6685(g) x2=1691/(3×4)+500=640.92(g) 表6-5各饲料间均数差异的比较 表66A×B互作组合均数差异的比较 水平平均数x1-63806x-65461组合平均数-64092元一6755-64842 C1661.3823.32* 6.82 A2B1668527.58 20.08* C2654.56 A1B,64842 7.5 0.92 C2638.06 A1B164756.58 A2B2640.92 多重比较结果表明:三种饲料组成中,以基础饲料喂养猪,其增重效果好,它与第二、三种组合饲料 相比分别达到5%和1%的显着水准 在饲喂方式及性别的交互作用方面,公猪采用不限食喂养增重效果最好,均与其它组合搭配的增重有 其明显的效果。综合分析本试验的结果表明,公猪采用不限食饲喂基础饲料其增重效果最为明显 3×3×4三个因素随机区组试验的方差分析 例2为研究外源化学物质对光敏核不育水稻育性转换的影响,试验设3个播期(A)为A(4月2 日),A2(5月11日),A3(5月31日),a=3;4个不育系(B)为B1(W6154S),B2(W65),B3(7001S) B4(M105S),b=4:4种药剂(C)为C1(CCl2),C2(乙烯利),C3(B40),C1(901),c=4:各药剂浓度分别 为800pp、4000ppm、120ppm、240ppm。各供试材料按随机设计分为两个区组(R),r=2:每小区处理 株。各处理于育性转换敏感期内进行叶面喷雾,并设对照组(CK)以考察4个不育系的育性转换期。抽穗 时随机抽取10株主穗顶部5朵颖花镜检其平均花粉败育率(p,%)。花粉败育率经反正弦转换后的试验结 果列于表6—7,试作方差分析
80 表 6-4 C 因素及 A×B 互作间多重比较所用 LSR 值 4 3.12 4.14 17.91 23.76 3 3.03 4.04 15.06 20.08 17.39 23.19 2 2.88 3.87 14.31 19.23 16.53 22.21 SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 k 计算 C 因素及 A×B 互作的水平以及组合平均数时应作还原计算，再作均数差异比较表 6-5，6-6。 C 因素各因素平均数： 2209 (2 2 4) 500 638.06( ) 2473 (2 2 4) 500 654056( ) 2582 (2 2 4) 500 661.38( ) 3 2 1 x g x g x g = + = = + = = + = A*B 组合平均数: 1691 (3 4) 500 640.92( ) 2022 (3 4) 500 668.5( ) 1781 (3 4) 500 648.4( ) 1770 (3 4) 500 647.5( ) 22 21 12 11 x g x g x g x g = + = = + = = + = = + = 表 6-5 各饲料间均数差异的比较 表 6-6 A×B 互作组合均数差异的比较 638.06 654.56 16.5* 661.38 23.32 ** 6.82 638.06 654.56 3 2 1 c c c x x 水平 平均数 i − i − 640.92 647.5 6.58 648.42 7.5 0.92 668.5 27.58 ** 21.00 * 20.08 * 640.92 647.5 648.42 2 2 1 1 1 2 2 1 A B A B A B A B x x x 组合 平均数 i j − i j − i j − 多重比较结果表明：三种饲料组成中，以基础饲料喂养猪，其增重效果好，它与第二、三种组合饲料 相比分别达到 5%和 1%的显着水准。 在饲喂方式及性别的交互作用方面，公猪采用不限食喂养增重效果最好，均与其它组合搭配的增重有 其明显的效果。综合分析本试验的结果表明，公猪采用不限食饲喂基础饲料其增重效果最为明显。 二、3×3×4 三个因素随机区组试验的方差分析 例 2 为研究外源化学物质对光敏核不育水稻育性转换的影响，试验设 3 个播期（A）为 A1（4 月 21 日），A2（5 月 11 日），A3（5 月 31 日），a=3；4 个不育系（B）为 B1（W6154S），B2（W6111S），B3（7001S）， B4（M105S），b=4；4 种药剂（C）为 C1（COCl2），C2（乙烯利），C3（B40），C4（901），c=4；各药剂浓度分别 为 800ppm、4000ppm、120ppm、240ppm。各供试材料按随机设计分为两个区组（R），r=2；每小区处理 30 株。各处理于育性转换敏感期内进行叶面喷雾，并设对照组（CK）以考察 4 个不育系的育性转换期。抽穗 时随机抽取 10 株主穗顶部 5 朵颖花镜检其平均花粉败育率（p，%）。花粉败育率经反正弦转换后的试验结 果列于表 6—7，试作方差分析
表6—7播期、品种、药剂对花粉败育率(p,%)的试验结果 播期品种|C1(CC12) C2(乙烯利 C3(B40) C4(901) CK r BI 5.2660.8090.0090.0090.0079.0690.0088.1881.67 6365.8876.0671.8571.5672. 74.7775.4667.70 An B3 B;465.05|64.4575.5890.0082.21|76.5690.0073.7872.44 B145.2950.7159.0254.9465.5051.4758.0058.05|51.24 B2|56.5460.6767.0579.3771.4775.0080.1976.0661.55 Az B368.4472.2490.0085.5690.0084.2690.0084.5684.87 B;|55.3758.9574.9465.5076.8467.3767.9467.546224 B73.4672.0581.8768.4490.0079.5381.4781.0974.11 B2|43.3459.5462.5162.7269.1263.7270.7262.0353.58 B350.7150.3659.2146.1252.3053.3755.1851.8846.95 B、43.0443.9160.3363.44164.6749.0267.8649.3737.47 方差分析步骤 )先制作四个辅助表: 1、列出各水平组合合计数(r1+r2)构成的辅助表① 2、列出A与B两因素的二向表,辅助表② 3、列出A与C两因素的二向表,辅助表③ 4、列出B与C两因素的二向表,辅助表④ 辅助表① C AlA2 A3 AI A2 A3AI:As B2120.5111721102881479146421252314422146471328415023|156.25132.75 B313929140.6810107172.08175.5610533180001742610567180001745610706 B4129.50114328695165.5814144123771587714.2711.6163781354811723 辅助表 辅助表③ A1643.3056287671.37617632495.17797 505.36665.57652.05672.19 A2|44.98566356650653545|2209846906A2|468215773858958234 A3627914937041913442641982386195A34364150464521.7351960 辅助表④ 81
81 表 6—7 播期、品种、药剂对花粉败育率(p，%)的试验结果 X= p 1 sin − 播期 A 品种 B C1（COCl2） C2（乙烯利） C3（B40） C4（901） CK r1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 A1 B1 B2 B3 B4 55.26 54.63 59.60 65.05 60.80 65.88 79.69 64.45 90.00 76.06 90.00 75.58 90.00 71.85 82.08 90.00 90.00 71.56 90.00 82.21 79.06 72.66 90.00 76.56 90.00 74.77 90.00 90.00 88.18 75.46 90.00 73.78 81.67 67.70 85.95 72.44 A2 B1 B2 B3 B4 45.29 56.54 68.44 55.37 50.71 60.67 72.24 58.95 59.02 67.05 90.00 74.94 54.94 79.37 85.56 65.50 65.50 71.47 90.00 76.84 51.47 75.00 84.26 67.37 58.00 80.19 90.00 67.94 58.05 76.06 84.56 67.54 51.24 61.55 84.87 62.24 A3 B1 B2 B3 B4 73.46 43.34 50.71 43.04 72.05 59.54 50.36 43.91 81.87 62.51 59.21 60.33 68.44 62.72 46.12 63.44 90.00 69.12 52.30 64.67 79.53 63.72 53.37 49.02 81.47 70.72 55.18 67.86 81.09 62.03 51.88 49.37 74.11 53.58 46.95 37.47 方差分析步骤 （一）先制作四个辅助表： 1、列出各水平组合合计数（r1+r2）构成的辅助表①； 2、列出 A 与 B 两因素的二向表，辅助表②； 3、列出 A 与 C 两因素的二向表，辅助表③； 4、列出 B 与 C 两因素的二向表，辅助表④。 辅助表① C1 C2 C3 C4 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 116.06 120.51 139.29 129.50 96.00 117.21 140.68 114.32 145.51 102.88 101.07 86.95 180.00 147.91 172.08 165.58 113.96 146.42 175.56 141.44 150.31 125.23 105.33 123.77 169.06 144.22 180.00 158.77 116.97 146.47 174.26 144.27 169.53 132.84 105.67 113.69 178.18 150.23 180.00 163.78 116.05 156.25 174.56 135.48 162.56 132.75 107.06 117.23 辅助表② 辅助表③ B1 B2 B3 B4 TA X A C1 C2 C2 C4 A1 A2 A3 643.30 562.87 671.37 617.63 442.98 566.35 665.06 535.45 627.91 493.70 419.13 441.64 2495.17 2209.84 1982.38 77.97 69.06 61.95 A1 A2 A3 505.36 665.57 652.05 672.19 468.21 577.38 581.91 582.34 436.41 504.64 521.73 519.60 辅助表④
C C 3575744274554567917141971.42 B4330.77430.7941667416491594726645 Tc140998174759175569177.13T 728273.1573.92 (二)计算各项平方和与自由度: C=T/abcr=6687.392/(3×4×4×2)=4658456772 总平方和:Ssy=∑x2-C=5262+6082+…+49372-C=178967045 总处理平方和:S=2a (116.062+%62+…+117.23 C=16167.26315 重复平方和:S=27-c=(38:+2929 误差平方和:SS=SSr-SABC-Ss=16472828 辅表②平方和:Ss=21/-C=(643:32+562.872+…+44.642 C=11352277 因素平方和::2-+2++2-=2 B因素平方和:S2=27-c=07492+1202+136+1943 4×2-C=7143011 AXB互作平方和:SSB=SSAB-SSA-SSB=6511838 辅表@平方和:8c0++-+9642-83 C因素平方和:S=278-c=0149.92+17:92+156+141 4×2 C=38251161 A×C互作平方和:SSAC=SSAC-SSA-SSc=3293290 辅表④平方和:SBs2T正/-C=(37572+442+…+416492) 2-C=4626.3763 B×C互作平方和:SSBC=SSBC-SSB-SSc=869591 A×B×C互作平方和 Ax Bxc ABC SS,-SSB-SSc-S Axc-SSBxc SBC+SS4 +SSB +SSc 573.5819 draba=abc-1=3×4×4 df=r dfe-dfr-dfABC-dfr=47[=(abc-1)(r-1)] dfA=a-1=3-1=2
82 （二）计算各项平方和与自由度： C=T/abcr=6687.392 /（3×4×4×2）=465845.6772 总平方和： 55.26 60.8 49.37 17896.7045 2 2 2 2 SST = x −C = + ++ −C = 总处理平方和： 16167 .26315 2 (116.06 96 117.23 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C r T SS ABC ABC 重复平方和： 82.1585 3 4 4 (3388 .1 3299 .29 ) 2 2 2 − = + − = = C C abc T SS r r 误差平方和： SSe = SST − SSABC − SSr =1647.2828 辅表②平方和： 11352 .277 4 2 (643.3 562.87 441.64 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C cr T SS AB AB A 因素平方和： 4126 .0922 4 4 2 (2495 .17 2209 .84 1982 .38 ) 2 2 2 2 − = + + − = = C C bcr T SS A A B 因素平方和： 714.3011 3 4 2 (1714 .19 1622 .92 1755 .56 1594 .72 ) 2 2 2 2 2 − = + + + − = = C C acr T SS B B A×B 互作平方和： = − A − B = 6511 .8838 A B AB SS SS SS SS 辅表③平方和： 8280 .5373 4 2 (505.36 468.21 519.6 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C br T SS AC AC C 因素平方和： 3825 .1161 3 4 2 (1409 .98 1747 .59 1755 .69 1774 .13) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C abr T SS C C A×C 互作平方和： SSAC = SSAC − SSA − SSC = 329.3290 辅表④平方和： 4626 .3763 3 2 (357.57 444.27 416.49 ) 2 2 2 2 − = + + + − = = C C a r T SS BC BC B×C 互作平方和： SSBC = SSBC − SSB − SSC = 86.9591 A×B×C 互作平方和： = 573.5819 = − − − + + + = − − − − − − ABC AB AC BC A B C A B C ABC A B C A B A C B C SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS dfT=abcr－1=3×4×4×2－1=95 drABC=abc－1=3×4×4－1=47 dfr=r―1=2―1=1 dfe=dfT―dfABC―dfr=47[=（abc―1）（r―1）] dfA=a―1=3―1=2 C1 C2 C3 C4 TB X B B1 B2 B3 B4 357.57 444.27 455.56 456.79 340.60 419.56 423.53 439.23 381.04 452.97 459.93 461.62 330.77 430.79 416.67 416.49 1714.19 1622.92 1755.56 1594.72 71.42 67.62 73.15 66.45 TC X C 1409.98 1747.59 1755.69 1774.13 58.75 72.82 73.15 73.92 T= 6687.39
dfB=b-1=4-1=3 dfaxB=(a-1)(b-1)=6 dfc=c-1=4-1=3 dfBxc=(b-1)(c-I bfA×bxe=(a-1)(b-1)(c-1)=18 (三)列方差分析表,做F检验: 因素试验的方差分析表 变异来源df|ss MSF值F′值 区组 总处理 4716167.2632 播期间A24136.0922 2063.046158.86”66.15 品种间B3 714.3011 238.10046.79”7.63 药剂间C3|3825.11611275.038736.3840.88 AXB 3.669 1.8838 1085.314030.97*34.80 AXC 54.8882 1.76 B×C 9.6621 A×B×c 18573.5819 31.8657 误差 47|1647.2828 35.0486 合并误差 742307.825831.1868 总变异 9517896.7045 查F值表:Fo01(247=509;Fo0(347=423;Fo5164m=2.30,Fo01647=3.21;F检验表明,不同播期、不 同品种、不同药剂间对花粉败育率均存在极明显的差异;播期与品种间也存在着明显的交互作用。A×C、 B×C、 AXBXO的互作差异不明显。为了提高F检验的灵敏度,可将差异较不显着的B×C、A×BXC 互作合并于误差项中。合并误差的MSe=31.1868,由此算得F′值明显高于F值,且误差项自由度(74) 的增大也提高F检验的灵敏度。 (四)作多重比较(SSR法): 仅对差异显着的A、B、C及A×B间作多重比较。各处理组平均数的标准误分别为 MSe 31.1868 =0.987 MSe311868114 acI MSe31.1868 974 8 根据df=74,k=2、3、4,查其SSRa值后,分别乘以标准误Sx,S。S叔g得LSR,计算结果如表6-9 及表6-10 表6-9A、B(C)因素各水平间多重比较所用SSR及LSR值 SSRa.0s2.822.93.04LSR.as2.782.90 LSRo. os53.213.353.47 SSRa3.743.944.01 LSRo3.693.89LsRa4.264.494.57
83 dfB=b―1=4―1=3 dfA×B=（a―1）（b―1）=6 dfC=c―1=4―1=3 dfA×C=（a―1）（c―1）=6 dfB×C=（b―1）（c―1）=9 bfA×b×c=（a―1）（b―1）（c―1）=18 （三）列方差分析表，做 F 检验： 表 6-8 三因素试验的方差分析表 变异来源 df SS MS F 值 F＇值 区组间 R 总处理 播期间 A 品种间 B 药剂间 C A×B A×C B×C A×B×c 误差 合并误差 总变异 1 47 2 3 3 6 6 9 18 47 74 95 82.1585 16167.2632 4136.0922 714.3011 3825.1161 6511.8838 329.3290 86.9591 573.5819 1647.2828 2307.8258 17896.7045 82.1585 2063.0461 238.1004 1275.0387 1085.3140 54.8882 9.6621 31.8657 35.0486 31.1868 2.34 58.86** 6.79** 36.38** 30.97** 1.57 ＜1 ＜1 2.63 66.15** 7.63** 40.88** 34.80** 1.76 查 F 值表：F0.01(2,47)=5.09；F0.01(3,47)=4.23；F0.05(6,47)=2.30 ，F0.01(6,47)=3.21；F 检验表明，不同播期、不 同品种、不同药剂间对花粉败育率均存在极明显的差异；播期与品种间也存在着明显的交互作用。A×C、 B×C、A×B×C 的互作差异不明显。为了提高 F 检验的灵敏度，可将差异较不显着的 B×C、A×B×C 互作合并于误差项中。合并误差的 MSe=31.1868，由此算得 F＇值明显高于 F 值，且误差项自由度（74） 的增大也提高 F 检验的灵敏度。 （四）作多重比较（SSR 法）： 仅对差异显着的 A、B、C 及 A×B 间作多重比较。各处理组平均数的标准误分别为： 0.987 32 31.1868 = = = bcr MSe S A x 1.14 24 31.1868 = = = = acr MSe S S B C x x 1.974 8 31.1868 = = = cr MSe S A B x 根据 dfe=74，k=2、3、4，查其 SSRα值后，分别乘以标准误 A B Sx Sx , x A B S 得 LSRα，计算结果如表 6-9 及表 6-10 表 6-9 A、B（C）因素各水平间多重比较所用 SSR 及 LSR 值 k 2 3 4 A 2 3 B（C） 2 3 4 SSR0.05 SSR0.01 2.82 2.94 3.04 3.74 3.94 4.01 LSR0.05 LSR0.01 2.78 2.90 3.69 3.89 LSR0.05 LSR0.01 3.21 3.35 3.47 4.26 4.49 4.57
表6-10A×B各组合平均数间多重比较所用SSR及LSR值 45 7 10 12 SSRoo52.822.943.043.133.193.233.273.303.333.353.37 SSRo. on3.743.944.014.094.144.204244.284.314.344.37 LSRa055.575.806.006.186.306.386.456.516.576.616.65 787.928.078.178.298.378.458.518.57 A、B、C因素及A×B互作的各水平作均数差异比较后应还原成败育率(p,%)。比较结果见表6-11, 表6-12 表6-11A、B、C各水平均数间差异的比较X=sin-1 A7.9795.7AB3|73.1591.6aAc:73.9292.3aA A269.0787.2BB1|71.4289.9aABc373.1591.6aA A6.9581.0cB2|67.6285.5bBC|c|2:8291.3aA B166.4584.0bC|C:58.7573.1bB 大、小字母分别表示差异显着性达1%、5%水准。 表6-12A×B各组合平均数间差异的比较X=sin-√ 组合AB2ABAB1AB1ABAB2ABAB1AB2 A2B. A3 B. A3 B3 x83.9283.1380.4178.4972070.7970.3666.9361.7155.3755.2152.39 p|98.9098.6097.2096.0095.1089.2088.7084.707.50677067.506280 ab b 多重比较结果表明:各供试材料的不育度随播期的推迟而显着降低(p0.05)。4种药剂中,Cocl2(C1)对降低材料的不育性极显着地高于其它3种药剂(p001), 故可看作是恢复育性的化学物质。而从A2、A3的对照组可看出,随着育性的逐渐恢复,乙烯利(C2)、B40 (C3)及901(C4)可明显地提高材料的不育性。这从存在着一定的AXC互作(F=1.76,Fos=222)也 可看出。故一定浓度的这3种药剂可看作育性恢复的抑制剂。从A×B的互作可知,各材料在不同播期内 的不育度存在着明显的差异(p0.05),但与其它各水平组合的均数间存在着明显的差 异,π001S在第三播期内的可育度最高,其次为MI05S在第三播期、w6154S在第二播期的可育度较高 这些差异除了与各材料对光周期的敏感性不同外,同时还与各材料对药物敏感程度的不同有关。例如, 7001S对各种药剂敏感性最低,其余材料对药剂的敏感性较高 、多年多地品种区域试验的方差分析 品种区域试验常要在不同地点连续进行若干年,试验地点的划分一般是根据生态区来确定的,以明确 品种在某个区域内的平均表现以及品种的稳定性和适应性。假设有a个地点(A),b个品种(B),c个年 份(C),每年每地都有r个随机区组(R),则第j(j=1,2,…,b)品种、在第i(i=1,2,…,a)地点、 第k(k=l,2,…,c)年份、第l(}=l,2,…,r)区组观察值yk的线性数学模型以及期望均方,除改 区组效应P1为P,由样本估计(xR-x)改为(xR-x∥C)外,其余与三因素随机区组设计资料的相同(见 P78) 多年多地品种区域试验的方差分析方法与三因素随机区组设计资料的略有不同,它首先要对各年各地 的试验进行分析,然后检验各个试验的误差是否同质,如不同质则不能进行综合的方差分析,若为同质则
84 表 6-10 A×B 各组合平均数间多重比较所用 SSR 及 LSR 值 k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SSR0.05 SSR0.01 2.82 2.94 3.04 3.13 3.19 3.23 3.27 3.30 3.33 3.35 3.37 3.74 3.94 4.01 4.09 4.14 4.20 4.24 4.28 4.31 4.34 4.37 LSR0.05 LSR0.01 5.57 5.80 6.00 6.18 6.30 6.38 6.45 6.51 6.57 6.61 6.65 7.38 7.78 7.92 8.07 8.17 8.29 8.37 8.45 8.51 8.57 8.63 A、B、C 因素及 A×B 互作的各水平作均数差异比较后应还原成败育率（p，%）。比较结果见表 6-11， 表 6-12。 表 6-11 A、B、C 各水平均数间差异的比较 X= p 1 sin − A x p B x p C x p A1 A2 A3 77.97 95.7 A 69.07 87.2 B 61.95 81.0 C B3 B1 B2 B4 73.15 91.6 a A 71.42 89.9 a AB 67.62 85.5 b BC 66.45 84.0 b C C4 C3 C2 C1 73.92 92.3 a A 73.15 91.6 a A 72.82 91.3 a A 58.75 73.1 b B 大、小字母分别表示差异显着性达 1%、5%水准。 表 6-12 A×B 各组合平均数间差异的比较 X= p 1 sin − 组合 A1B2 A1B3 A1B1 A3B1 A2B4 A2B2 A1B2 A2B4 A3B2 A2B1 A3B4 A3B3 x p 83.92 83.13 80.41 78.49 77.20 70.79 70.36 66.93 61.71 55.37 55.21 52.39 98.90 98.60 97.20 96.00 95.10 89.20 88.70 84.70 77.50 67.70 67.50 62.80 5% 1% a ab ab ab b c c cd d e e e A A A AB ABC BCD CD DE EF FG FG G 多重比较结果表明：各供试材料的不育度随播期的推迟而显着降低（p0.05）。4 种药剂中，Cocl2（C1）对降低材料的不育性极显着地高于其它 3 种药剂（p0.05），但与其它各水平组合的均数间存在着明显的差 异，7001S 在第三播期内的可育度最高，其次为 M105S 在第三播期、W6154S 在第二播期的可育度较高。 这些差异除了与各材料对光周期的敏感性不同外，同时还与各材料对药物敏感程度的不同有关。例如， 7001S 对各种药剂敏感性最低，其余材料对药剂的敏感性较高。 三、多年多地品种区域试验的方差分析 品种区域试验常要在不同地点连续进行若干年，试验地点的划分一般是根据生态区来确定的，以明确 品种在某个区域内的平均表现以及品种的稳定性和适应性。假设有 a 个地点（A），b 个品种（B），c 个年 份（C），每年每地都有 r 个随机区组（R），则第 j（j=1，2，…，b）品种、在第 i（i=1，2，…，a）地点、 第 k（k=1，2，…，c）年份、第 l（l=1，2，…，r）区组观察值 yijkl 的线性数学模型以及期望均方，除改 区组效应 l 为 ilk ，由样本估计 (x x) R − 改为 ( ) R AC x − x 外，其余与三因素随机区组设计资料的相同（见 P78）。 多年多地品种区域试验的方差分析方法与三因素随机区组设计资料的略有不同，它首先要对各年各地 的试验进行分析，然后检验各个试验的误差是否同质，如不同质则不能进行综合的方差分析，若为同质则
对平方和及自由度的剖分,仍可仿以上三因素随机区组设计资料方法分析(固定模型)进行,只需改区组 间SSr为年内点内区组间SS-:SS= SSAC-SSAC,df=ac(r-1),df=ac(r-1)(b-1),其中 SSAc为: SSAC=b∑T28-C,其余相同。具体分析以下例加以说明。 例6—3有一杂交稻区域试验,5个参试地(A)分别为:合肥(A1)、宣州(A2)、怀远(A3)、巢湖 (A4)、六安(A5);4个供试品种(B)为:7001S/P23大粒(B1)、7001S/轮回422(B2)、80优湘虎115 (B3)、鄂宜105(B4);试验分别在1990、1991两个年份(C)进行。每地每年均统一采用相同小区面积 13.34m2,重复(R)2次,随机区组设计,各小区产量(kg)列于表6-13。试作统计分析。 表6-134个水稻品种2年5地试验的结果 地点A品种B 1990年C1 1991年C2 两年 合计Tcr:r2‖合计TB合计Tm 9.18.9 18.0 9. BBBB 8.89.218.08.58.717.2 35.2 Al 8.79.017.7 合计Ta34.435.069.4(Tk)3.334.267.5(T)136.9(T) 8.59.017.58.07.915.9 32.9 BBBB 9.79.819.5 18.716.8 36.3 Az 8.08.0 16.09.18.717 8.18.3 16.4 15.6 32.0 34.3351694(Tk)[32.733.466.1(Tk)|135.5(T) 0.310.721.0 40.1 8.38.416.79.810.019.8 36.5 As BBB 9.710.119.81.010.721.7 41.5 合计Ta3637.3737(T)40440.681.0(T)154.7(T 8.68.4 17.010.511.922.4 BBBB 9.410.219.6 0.019.5 9.68.9 18.5|11.311.823.1 41.6 7.27.414.69.29.1 18.3 合计T34.8134.969.7(T)40.542.883.3(Tk)153.0(T) 9.38.7 18.0 8.68.617.2 35.2 As BBBB 8.08.216.28.08.016.0 8.18.1 16.2 16.6 8.18.316.47.87.515.3 31.7 合计T33533.366.8(Tk)32.632.565.1131.9(T) 349(Tc) 363(Tc)712(T) 表中TA、T分别表示每一试地、每一年份的总和:TAB、TAc分别表示试地与品种组合的总和、试 地与年份组合的总和;TABC、TAcR分别表示试地、品种、年份组合的总和以及试地、年份、区组组合的总 和;T为整个试验观察值的总和。 (一)、各年各地试验误差均方的同质性检验 分别对各年、地的a×c=10个随机区组试验结果进行方差分析,求出各个试验的误差均方s2。采用 Bartlett方差同质性检验方法,检验卡方(x2)的显着性,以判断各试验误差是否同质。当各个试验误差 的自由度相等时,检验公式为 x2=m(mhs2-∑hs)/C
85 对平方和及自由度的剖分，仍可仿以上三因素随机区组设计资料方法分析（固定模型）进行，只需改区组 间 SSr 为年内点内区组间 SSr：SSr=SSACR－SSAC，dfr=ac（r-1），dfe=ac（r-1）（b-1），其中 SSACR 为： SSACR= b TACR − C 1 2 ，其余相同。具体分析以下例加以说明。 例 6—3 有一杂交稻区域试验，5 个参试地（A）分别为：合肥（A1）、宣州（A2）、怀远（A3）、巢湖 （A4）、六安（A5）；4 个供试品种（B）为：7001S/P23 大粒（B1）、7001S/轮回 422（B2）、80 优湘虎 115 （B3）、鄂宜 105（B4）；试验分别在 1990、1991 两个年份（C）进行。每地每年均统一采用相同小区面积 13.34m2，重复（R）2 次，随机区组设计，各小区产量（kg）列于表 6—13。试作统计分析。 表 6—13 4 个水稻品种 2 年 5 地试验的结果 地点 A 品种 B 1990 年 C1 1991 年 C2 两年 r1 r2 合计 TABC r1 r2 合计 TABC 合计 TAB A1 B1 B2 B3 B4 9.1 8.8 8.7 7.8 8.9 9.2 9.0 7.9 18.0 18.0 17.7 15.7 9.3 8.5 8.7 6.8 9.8 8.7 8.6 7.1 19.1 17.2 17.3 13.9 37.1 35.2 35.0 29.3 合计 TACR 34.4 35.0 69.4（TAC） 33.3 34.2 67.5（TAC） 136.9（TA） A2 B1 B2 B3 B4 8.5 9.7 8.0 8.1 9.0 9.8 8.0 8.3 17.5 19.5 16.0 16.4 8.0 8.1 9.1 7.5 7.9 8.7 8.7 8.1 15.9 16.8 17.8 15.6 32.9 36.3 33.8 32.0 合计 TACR 34.3 35.1 69.4（TAC） 32.7 33.4 66.1（TAC） 135.5（TA） A3 B1 B2 B3 B4 9.4 8.3 9.7 9.0 9.7 8.4 10.1 9.1 19.1 16.7 19.8 18.1 10.3 9.8 11.0 9.3 10.7 10.0 10.7 9.2 21.0 19.8 21.7 18.5 40.1 36.5 41.5 36.6 合计 TACR 36.4 37.3 73.7（TAC） 40.4 40.6 81.0（TAC） 154.7（TA） A4 B1 B2 B3 B4 8.6 9.4 9.6 7.2 8.4 10.2 8.9 7.4 17.0 19.6 18.5 14.6 10.5 9.5 11.3 9.2 11.9 10.0 11.8 9.1 22.4 19.5 23.1 18.3 39.4 39.1 41.6 32.9 合计 TACR 34.8 34.9 69.7（TAC） 40.5 42.8 83.3（TAC） 153.0（TA） A5 B1 B2 B3 B4 9.3 8.0 8.1 8.1 8.7 8.2 8.1 8.3 18.0 16.2 16.2 16.4 8.6 8.0 8.2 7.8 8.6 8.0 8.4 7.5 17.2 16.0 16.6 15.3 35.2 32.2 32.8 31.7 合计 TACR 33.5 33.3 66.8（TAC） 32.6 32.5 65.1 131.9（TA） 总计 349（TC） 363（TC） 712（T） 表中 TA、Tc 分别表示每一试地、每一年份的总和；TAB、TAC 分别表示试地与品种组合的总和、试 地与年份组合的总和；TABC、TACR分别表示试地、品种、年份组合的总和以及试地、年份、区组组合的总 和；T 为整个试验观察值的总和。 （一）、各年各地试验误差均方的同质性检验 分别对各年、地的 a×c=10 个随机区组试验结果进行方差分析，求出各个试验的误差均方 2 i s 。采用 Bartlett 方差同质性检验方法，检验卡方（χ2）的显着性，以判断各试验误差是否同质。当各个试验误差 的自由度相等时，检验公式为： n(mln s p ln si )/C 2 2 2 = −