固体力学学报 VoL 21 No 4 ACTA MECHANICA SOL IDA SINICA December 2000 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 郭香华蔡乾煌 汪长安黄勇 (清华大学工程力学系,北京,10004(清华大学材料科学与工程系,北京,100089 摘要基于梁的理论和裂纹在异材界面上拐折与扩展条件,对叠层结构陶瓷弯曲试件的 强度与韧性进行了力学分析,获得叠层结构中陶瓷基片和界面层的材料性能、结构几何参数与 叠层结构弯曲强度、韧性间的定量解析关系给出相应的影响曲线,并对SN/BN叠层结构四点 弯曲试样断裂功的理论值与实验结果作对比讨论 关键词叠层结构陶瓷,载荷位移曲线,界面断裂韧性,强韧化设计 1引言 叠层结构强韧化设计的关键在于保强增韧近年来,仿生(如仿竹木、仿贝壳珍珠层)结 构材料的研制受到人们的重视叠层结构陶瓷就是较早出现的具有仿生特征的一种3.在 这种结构中,强而硬的陶瓷基片与相对弱而软的薄界面层相粘结.由于弱界面层的存在,当 结构中出现初始裂纹,在外载荷驱动下,裂纹在扩展过程中会发生沿界面的偏折与扩展,从 而使耗能増加,大大提高了断裂功.由于弱介质所占比例较小,可以使整体强度降低不大 Liu和Hsu4进行了SiN4BN叠层结构的研制和四点弯曲实验结果显示,对于平直排布叠 层结构,其平均断裂功可达6500J/m2.清华大学郭海等制备的SN/BN叠层结构的表观 断裂韧性达20.1MPam2,与SiN4块体材料相比提高了2.29倍.Ca和Eans对双层异 材四点弯曲试样进行了界面断裂韧性实验研究 Charalamibides等l从材料力学梁的理论出 发给出上述试样的界面能量释放率表达式 Phillipp等8从简单的叠层梁模型和弯曲强度 控制条件研究了界面裂纹对断裂功的影响本文利用梁的理论和裂纹在异材界面中的拐折 与扩展条件给出陶瓷多层结构的弯曲强度、韧性与基片(硬层)和界面层(薄软层)材料、几何 参数不同匹配的关系和影响曲线,并以SiN4BN叠层结构四点弯曲试样为例将力学分析结 果与实验结果进行对比讨论.由此得到的一些结论可为此类陶瓷叠层材料的设计与硏制提 供有益的参考 2叠层结构的弯曲强度 2.1力学模型及应力分析 图1所示为叠层结构四点弯曲试样的应力分析模型结构由硬层(陶瓷基片)与软层(界 ①国家自然科学基金资助项目(批准号:59632090) 19990618收稿 201994-2009ChinaacAdemicJournaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki
叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ① 郭香华 蔡乾煌 汪长安 黄 勇 (清华大学工程力学系 ,北京 ,100084) (清华大学材料科学与工程系 ,北京 ,100084) 摘 要 基于梁的理论和裂纹在异材界面上拐折与扩展条件 ,对叠层结构陶瓷弯曲试件的 强度与韧性进行了力学分析 ,获得叠层结构中陶瓷基片和界面层的材料性能、结构几何参数与 叠层结构弯曲强度、韧性间的定量解析关系 ,给出相应的影响曲线 ,并对 Si3N4/ BN 叠层结构四点 弯曲试样断裂功的理论值与实验结果作对比讨论. 关键词 叠层结构陶瓷 ,载荷2位移曲线 ,界面断裂韧性 ,强韧化设计 1 引言 叠层结构强韧化设计的关键在于保强增韧. 近年来 ,仿生(如仿竹木、仿贝壳珍珠层) 结 构材料的研制受到人们的重视. 叠层结构陶瓷就是较早出现的具有仿生特征的一种[1～3 ] . 在 这种结构中 ,强而硬的陶瓷基片与相对弱而软的薄界面层相粘结. 由于弱界面层的存在 ,当 结构中出现初始裂纹 ,在外载荷驱动下 ,裂纹在扩展过程中会发生沿界面的偏折与扩展 ,从 而使耗能增加 ,大大提高了断裂功. 由于弱介质所占比例较小 ,可以使整体强度降低不大. Liu 和 Hsu [4 ]进行了 Si3N4/ BN 叠层结构的研制和四点弯曲实验. 结果显示 ,对于平直排布叠 层结构 ,其平均断裂功可达 6500 J/ m 2 . 清华大学郭海等[5 ]制备的 Si3N4/ BN 叠层结构的表观 断裂韧性达 20. 1 MPa·m 1/ 2 ,与 Si3N4 块体材料相比提高了 2. 29 倍. Cao 和 Evans [6 ]对双层异 材四点弯曲试样进行了界面断裂韧性实验研究. Charalamibides 等[7 ]从材料力学梁的理论出 发给出上述试样的界面能量释放率表达式. Phillipps 等[8 ]从简单的叠层梁模型和弯曲强度 控制条件研究了界面裂纹对断裂功的影响. 本文利用梁的理论和裂纹在异材界面中的拐折 与扩展条件给出陶瓷多层结构的弯曲强度、韧性与基片(硬层) 和界面层(薄软层) 材料、几何 参数不同匹配的关系和影响曲线 ,并以 Si3N4/ BN 叠层结构四点弯曲试样为例将力学分析结 果与实验结果进行对比讨论. 由此得到的一些结论可为此类陶瓷叠层材料的设计与研制提 供有益的参考. 2 叠层结构的弯曲强度 2. 1 力学模型及应力分析 图 1 所示为叠层结构四点弯曲试样的应力分析模型. 结构由硬层(陶瓷基片) 与软层(界 第21卷 第4期 2000年 12 月 固 体 力 学 学 报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA Vol. 21 No. 4 December 2000 ① 国家自然科学基金资助项目(批准号 : 59632090) . 1999206218 收稿
314· 固体力学学报 200年第21卷 面层)按一定制备工艺层合而成硬层厚度、弹性模量、泊松比分别为h2、E2、2;软层相应量 为h1、E1、Ⅵ1,且有h1+h2=h.设梁为有限长梁,跨度为2L,总厚度为H,宽度为B,并假设 1)H2L④.2,细长梁; 2)挠度w(x与曲率半径p(x之比,即w(x)/p(x)《1,小挠度梁 (3)每层软层厚度h大大小于硬层厚度h2,即h1《h2 图1四点弯曲模型简图 设梁的硬层为奇数层,在图1所示坐标下,根据材料力学梁的纯弯理论可写出正应变与 正应力的表达式 0=E(y·4=fysy 2或 LM 其中M为纯弯段的弯矩,Σ为等效抗弯刚度.设总层数m=2n-1,则H=mh-h1 E, BH h+h2 E? h+B22 (-1h+h/2 12(mh-h/3、⊥E2-Ei丿B h(m-11 弯曲正应力表达式 ELuM Ea(mh 最大弯曲剪应力发生在横弯段中离中性层(x轴)最近的界面层上 (5) 其中Q为剪力,最大等效静矩为 E(y)yda8/ H.h2, E2. El Bhh,(m2.I 2.2弯曲强度分析 上述叠层结构四点弯曲试样加载后可能先在r处出现界面层层间剪切失效,也可能 先在σ处出现弯曲破坏.这取决于破坏控制条件.假定先出现弯曲破坏,则其控制条件为 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
面层) 按一定制备工艺层合而成. 硬层厚度、弹性模量、泊松比分别为 h2、E2、ν2 ;软层相应量 为 h1、E1、ν1 ,且有 h1 + h2 = h. 设梁为有限长梁 ,跨度为 2L ,总厚度为 H ,宽度为 B ,并假设 (1) H/ (2L) ≤0. 2 ,细长梁; (2) 挠度 w ( x) 与曲率半径ρ( x) 之比 ,即 w ( x) /ρ( x) ν 1 ,小挠度梁; (3) 每层软层厚度 h1 大大小于硬层厚度 h2 ,即 h1 ν h2 . 图 1 四点弯曲模型简图 设梁的硬层为奇数层 ,在图 1 所示坐标下 ,根据材料力学梁的纯弯理论可写出正应变与 正应力的表达式 εx = y ρ , σx = E( y) ·εx = E( y) ·y ρ (1) M =∫ H/ 2 - H/ 2 EBy 2 ρ d y 或 1 ρ = M Σ (2) Σ =∫ H/ 2 - H/ 2 B E( y) y 2 d y (3a) 其中 M 为纯弯段的弯矩 ,Σ为等效抗弯刚度. 设总层数 m = 2 n - 1 ,则 H = mh - h1 Σ = E2 BH 3 12 - 2 ( E2 - E1 ) y 3 3 h - h 2 / 2 h 2 / 2 + y 3 3 2 h - h 2 / 2 h+ h 2 / 2 + …+ y 3 3 ih - h 2 / 2 ( i- 1) h+ h 2 / 2 + …+ y 3 3 nh+ h 2 / 2 ( n - 1) h - h 2 / 2 = E2 B 12 ( mh - h1 ) 3 - ( E2 - E1 ) B 12 h 3 1 ( m - 1) 1 + h h1 2 m ( m - 2) (3b) 弯曲正应力表达式 σx = E( y) M Σ y , σmax (2) = E2 M 2Σ ( mh - h1 ) (4) 最大弯曲剪应力发生在横弯段中离中性层( x 轴) 最近的界面层上 , τmax = Q BΣSz ,max (5) 其中 Q 为剪力 ,最大等效静矩为 Sz ,max =∫A 3 E( y) ydA = E2 B 8 ( H 2 - h 2 2 ) - E2 - E1 8 Bhh1 ( m 2 - 1) (6) 2. 2 弯曲强度分析 上述叠层结构四点弯曲试样加载后可能先在τmax处出现界面层层间剪切失效 ,也可能 先在σmax处出现弯曲破坏. 这取决于破坏控制条件. 假定先出现弯曲破坏 ,则其控制条件为 σmax (2) τmax ≥ σ(2) b τi (7) ·314 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
第4期 郭香华等:叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 315· 其中为硬层材料的极限强度,τ为界面层的抗剪强度.式(4)、(3b)、(5)、(6)代入(7) 对四点弯曲试验,M=p,Q=p,得 BEI mh- hI 此式为四点弯曲试样出现弯曲破坏前梁的两端不出现界面剪切失效的长度的控制条件 现分析由于弱界面层的引入对叠层结构强度的影响由式(5)和条件c=0有 (9a) E2 H 对相应纯硬层梁(块体),有 BH=6, M= BHo2 (9b) 定义强度降低系数k=MMMB,引入式(9a)、(9b)和(3b)有 k 1=1.1·1A(m=1B+mm=21 (9c) 其中A=E2/E1,Ab=h1/h=h1/(h1+h2 图234分别给出k随m、和的变化曲 线,由此及式(9)有以下结论 1)m较大时,m增大,对k影响不大 (略有下降),由图2可知,m>20时,k值趋 于平缓 h/h2=1,0 门2)如图4,λ增大,k有较大下降,当 l>10,下降趋于平缓 3)如图3,4增大软层相对变厚),k 图24=1/16,h/h=1.00.50.2 明显下降;当在0<λ<0.5范围内,有0.05 0.10.05时,k随m的变化曲线 sk,即h1=h2时,强度降低不会超过50%当h1/h2<0.1时,强度降低不会超过10% 10.020.0 h/h2=1.0 0.5 h1/h2 图3m=50,E/E1=1.02.5、5.0、10.0 图4m=50,h/h=1.00.50.20.1 20.0时,k随h1/h2的变化曲线 0.05时,k随的变化曲线 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
其中σ(2) b 为硬层材料的极限强度 ,τi 为界面层的抗剪强度. 式 (4) 、(3b) 、(5) 、(6) 代入 (7) , 对四点弯曲试验 ,M = pl , Q = p ,得 l ≥ 2σ(2) b B E2τi · Sz ,max mh - h1 (8) 此式为四点弯曲试样出现弯曲破坏前梁的两端不出现界面剪切失效的长度 l 的控制条件. 现分析由于弱界面层的引入对叠层结构强度的影响. 由式(5) 和条件σ(2) max =σ2 b 有 Mb = 2Σσ(2) b E2 H (9a) 对相应纯硬层梁(块体) ,有 σmax 0 = 6 M BH 2 = σ(2) b , M 0 b = BH 2σ(2) b 6 (9b) 定义强度降低系数 k = Mb/ M 0 b ,引入式(9a) 、(9b) 和(3b) 有 k = Mb M 0 b = 1 - 1 - 1/λe ( m - 1) [λ2 h + m ( m - 2) ] ( m - λh ) 3 (9c) 图 2 λe = 1/ 16 , h1/ h2 = 1. 0、0. 5、0. 2、 0. 1、0. 05 时 , k 随 m 的变化曲线 其中λe = E2/ E1 , λh = h1/ h = h1/ ( h1 + h2 ) , 图 2、3、4 分别给出 k 随 m、λh 和λe 的变化曲 线 ,由此及式(9c) 有以下结论 : (1) m 较大时 , m 增大 ,对 k 影响不大 (略有下降) ,由图 2 可知 , m > 20 时 , k 值趋 于平缓. (2) 如图 4 ,λe 增大 , k 有较大下降 ,当 λe > 10 ,下降趋于平缓. (3) 如图 3 , λh 增大(软层相对变厚) , k 明显下降;当在 0 <λh < 0. 5 范围内 ,有 0. 05 ≤k ≤1 ,即 h1 = h2 时 ,强度降低不会超过 50 %. 当 h1/ h2 < 0. 1 时 ,强度降低不会超过 10 %. 图 3 m = 50 , E2/ E1 = 1. 0、2. 5、5. 0、10. 0、 图 4 m = 50 , h1/ h2 = 1. 0、0. 5、0. 2、0. 1、 20. 0 时 , k 随 h1/ h2 的变化曲线 0. 05 时 , k 随λe 的变化曲线 第 4 期 郭香华等 : 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ·315 ·
316· 固体力学学报 2000年第21卷 算例1现引入文[4]、[9]中SiN4/BN叠层结构四点弯曲试样的有关数据:m=55,E2=270 GPa. E1=20 GPa, h=5 Wm, h2=50 Hm, H=3 mm. B=4 mm 2L =20 mm, 1=10 mm, oh 450 MPa, T=30 MPa, Te=120 J/mf, I=30 J/m 计算(1)2=2.1584N·m2,S:mx=111.5N·m,由 B得容许载荷P39.8 N,由mx=得P32.4N.因此先剪切失效概率大,由式(8)重新设计10.3mm,可取 l=12mm.(2)由式(9)算得k=92%,即强度下降了8% 在强度降低不大的前提下,尽量提高材料韧性是叠层结构陶瓷设计的主要目标.从图 234可看出,当m>20,h1/h210时,k值趋于稳定且k>90%,这对实际材 料制备有一定参考价值 3叠层结构的断裂韧性和断裂功 3.1韧性分析的力学模型 叠层结构陶瓷的韧化行为与裂纹沿弱界面层的拐折分不开,而异材界面裂纹本质上是 混合型的,即Ⅰ型和Ⅲ型裂纹场不能解耦.但界面裂纹推动力如用能量释放率G来表示将 是适当而方便的 Charalamibides等人门用材料力学梁的理论根据能量平衡原理给出异材叠 层梁在四点弯曲情况下界面裂纹扩展的能量释放率表达式,其结果与有限元结果符合很好 为了预估双材料多层梁中裂纹在弱界面的拐折与扩展对增韧的贡献,现建立图5所示 力学模型,它在出现裂纹之前仍符合上节中关于应力分析的基本假设,现作进一步假设 (1)采用位移加载加载点位移增加到一定值时,梁的上缘跨中首先出现垂直于层面、 深入厚度方向的垂直裂纹,扩展至临界长度L后裂纹向界面拐折扩展(设同时向两边对称 扩展),界面裂纹达到一定长度a后止裂此过程中加载点位移保持不变,亦即裂纹扩展所 需能量完全由试样应变能提供.此后加载点位移继续增加并达一定值时(此位移区间内,界 面裂纹可能停止扩展,或继续扩展至临界长度a垂直裂纹重新起裂,下一裂纹扩展阶段随 即开始,以此交替进行直至多层梁完全断裂破坏 几 区 图5裂纹扩展模型示意图 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
算例 1 现引入文[4 ] 、[9 ]中 Si3N4/ BN 叠层结构四点弯曲试样的有关数据 : m = 55 , E2 = 270 GPa , E1 = 20 GPa , h1 = 5μm, h2 = 50μm, H = 3 mm ,B = 4 mm ,2L = 20 mm , l = 10 mm ,σ(2) b = 450 MPa , τi = 30 MPa , Γ(2) = 120 J/ m 2 , Γi = 30 J/ m 2 . 计算 (1) Σ = 2. 1584 N ·m 2 , Sz ,max = 1114. 5 N ·m ,由σmax (2) =σ(2) b 得容许载荷 Pb ≤239. 8 N ,由τmax =τi 得 Pb ≤232. 4 N. 因此先剪切失效概率大 ,由式(8) 重新设计 l ≥10. 3 mm ,可取 l = 12 mm. (2) 由式(9) 算得 k = 92 % ,即强度下降了 8 %. 在强度降低不大的前提下 ,尽量提高材料韧性是叠层结构陶瓷设计的主要目标. 从图 2、3、4 可看出 ,当 m > 20 , h1/ h2 10 时 , k 值趋于稳定且 k > 90 % ,这对实际材 料制备有一定参考价值. 3 叠层结构的断裂韧性和断裂功 3. 1 韧性分析的力学模型 叠层结构陶瓷的韧化行为与裂纹沿弱界面层的拐折分不开 ,而异材界面裂纹本质上是 混合型的 ,即 Ⅰ型和 Ⅱ型裂纹场不能解耦. 但界面裂纹推动力如用能量释放率 G 来表示将 是适当而方便的. Charalamibides 等人[7 ]用材料力学梁的理论 ,根据能量平衡原理给出异材叠 层梁在四点弯曲情况下界面裂纹扩展的能量释放率表达式 ,其结果与有限元结果符合很好. 为了预估双材料多层梁中裂纹在弱界面的拐折与扩展对增韧的贡献 ,现建立图 5 所示 力学模型 ,它在出现裂纹之前仍符合上节中关于应力分析的基本假设 ,现作进一步假设. (1) 采用位移加载. 加载点位移增加到一定值时 ,梁的上缘跨中首先出现垂直于层面、 深入厚度方向的垂直裂纹 ,扩展至临界长度 tc 后裂纹向界面拐折扩展(设同时向两边对称 扩展) ,界面裂纹达到一定长度 a 后止裂. 此过程中加载点位移保持不变 ,亦即裂纹扩展所 需能量完全由试样应变能提供. 此后加载点位移继续增加并达一定值时(此位移区间内 ,界 面裂纹可能停止扩展 ,或继续扩展至临界长度 ac ) 垂直裂纹重新起裂 ,下一裂纹扩展阶段随 即开始 ,以此交替进行直至多层梁完全断裂破坏. 图 5 裂纹扩展模型示意图 ·316 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
第4期 郭香华等:叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 317· 2)在位移加载过程中,若有界面裂纹扩展,只有最深一层裂纹在扩展,其它已扩展裂 纹长度则保持不变 3)垂直裂纹长度t和界面裂纹长度a形成后,梁的对应部分脱离梁的整体而失去抗 弯能力,此部分应变能的损失全部用于垂直与界面裂纹扩展 4)垂直裂纹扩展临界应变能释放率冖主要取决于硬层材料,考虑弱界面层的影响 可按混合率估算.即r=ah2/h+门h/h,界面裂纹扩展临界应变能释放率一般说来 与断裂混合度有关,对于四点弯曲试样ψ=40°~60°,此时可近似认为不随裂纹长度变 化而变化78 3.2界面裂纹扩展的能量释放率G 梁的柔度C随界面裂纹扩展长度a而变化,G与C(a有如下关系 p dc 如图5所示,利用材料力学的梁理论,可写出梁的挠度方程,并进一步给出图示坐标下加载 点挠度、相应柔度和能量释放率表达式 A1(L +I)+BI C=.=L+∥3A1L+∥B1 (L +D 13) P 推导过程及积分常数A1、B1见附录A.G与最深一层界面裂纹临界长度an达到哪个区域有 关,因此AB区与OA区分别表示 G=2 可见,在位移加载条件下,G不仅与相应两层的等效抗弯刚度有关,还与界面裂纹扩展长度 a有关 3.3垂直裂纹向界面裂纹的拐折与扩展 叠层结构陶瓷增韧设计的关键是在保强条件下尽量使裂纹在界面处发生拐折并沿界面 扩展较长路程,以吸收较多的能量.He和 Hutchinson研究了界面裂纹拐折问题,给出垂直 于界面的裂纹从基体材料扩展至界面时转向界面而不会径直穿过界面进入下面基体的拐折 条件 Gr G 其中G、G分别是裂纹在基体内(如硬层)垂直扩展和沿界面层扩展时能量释放率;、 分别是相应的断裂韧性和界面断裂韧性对叠层结构四点弯曲试样,若10,对 垂直裂纹扩展可略去软层影响,引用文/1/有 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
(2) 在位移加载过程中 ,若有界面裂纹扩展 ,只有最深一层裂纹在扩展 ,其它已扩展裂 纹长度则保持不变. (3) 垂直裂纹长度 tc 和界面裂纹长度 ac 形成后 ,梁的对应部分脱离梁的整体而失去抗 弯能力 ,此部分应变能的损失全部用于垂直与界面裂纹扩展. (4) 垂直裂纹扩展临界应变能释放率 Γv 主要取决于硬层材料 ,考虑弱界面层的影响 , 可按混合率估算. 即Γv =Γ(2) h2/ h +Γ1 h1/ h ,界面裂纹扩展临界应变能释放率Γi 一般说来 与断裂混合度有关 ,对于四点弯曲试样ψ= 40 °～60 °,此时 Γi 可近似认为不随裂纹长度变 化而变化[7 ,8 ] . 3. 2 界面裂纹扩展的能量释放率 Gi 梁的柔度 C 随界面裂纹扩展长度 a 而变化 , Gi 与 C( a) 有如下关系 Gi = p 2 2B d C d a (10) 如图 5 所示 ,利用材料力学的梁理论 ,可写出梁的挠度方程 ,并进一步给出图示坐标下加载 点挠度、相应柔度和能量释放率表达式 y1 x = L + l = - p ( L + l) 3 3Σ1 + A1 ( L + l) + B1 (11) C = - y1 p = ( L + l) 3 3Σ1 - A1 ( L + l) p - B1 p (12) Gi = - p 2 2B ( L + l) d d a A1 p + d d a B1 p (13) 推导过程及积分常数 A1、B1 见附录 A. Gi 与最深一层界面裂纹临界长度 an 达到哪个区域有 关 ,因此 AB 区与 OA 区分别表示 : Gi = p 2 2B [ a 2 - 2 a ( L + l) + ( L + l) 2 ] 1 Σn+1 - 1 Σn , an > L (14a) Gi = p 2 l 2 2B 1 Σn+1 - 1 Σn , an ≤L (14b) 可见 ,在位移加载条件下 , Gi 不仅与相应两层的等效抗弯刚度有关 ,还与界面裂纹扩展长度 a 有关. 3. 3 垂直裂纹向界面裂纹的拐折与扩展 叠层结构陶瓷增韧设计的关键是在保强条件下尽量使裂纹在界面处发生拐折并沿界面 扩展较长路程 ,以吸收较多的能量. He 和 Hutchinson 研究了界面裂纹拐折问题[10 ] ,给出垂直 于界面的裂纹从基体材料扩展至界面时转向界面而不会径直穿过界面进入下面基体的拐折 条件 Gv Γv 10 ,对 垂直裂纹扩展可略去软层影响 ,引用文[11 ]有 第 4 期 郭香华等 : 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ·317 ·
318 固体力学学报 2000年第21卷 0.923+0.1991 2H H 其中H为试样原高度,t为垂直裂纹拐折时的扩展长度,B为试件宽度,M为四点弯曲中间 段的弯矩.此式对任何H误差均小于0.5% 取G=k/E2/若考虑平面应变问题,G=k2(1-/E2),令a=但2H,得 G=2m(03+14sig 由应力分析中的(3b)式可得 (He- tw B(Er-El hi 1)1+ 12 其中H=历·∑,mn=(Hn-t)/h 对垂直裂纹的第n次扩展,令Itm/2H=an,则(18)式化为 BET 3B(E2=E)BA12a⊥ 12 19) 把M=p,an代替a代入(17式,得 G=2 p l0.923+01994-sng2 B2HnE2 据假设{4),F可近似取 T= h+们-h一 将式(14b)、(20)代入(15)得 144tana|0.923+0.199(1-sina (22) cos an 考虑到式(19)、(21),由(22)可解出an进而可求出垂直裂纹第n次拐折时的扩展长度tn 垂直裂纹拐向界面之后,一般地说,在拐折点G>F,裂纹会继续沿界面扩展.由模型 假设(3),界面裂纹扩展过程中,加载点位移不变,随着界面裂纹的扩展载荷会降低因为梁 的柔度增大了),因此,G值也会下降.界面裂纹达到某一长度an后,有下式 G1≤T 此时认为界面裂纹止裂 由(14b)式及p=-ym/Cn+1,得 1 2BCn+I 2B(2n+1 C (an≤L 其中+1可由19式求出,柔度Cn+1是与an有关的量,yn为界面裂纹an未扩展之前加载 点的位移由23)、(24式及Cn+1与an之间的关系可求出an,若an≤,则所求an正确,若 201994-2009ChinaaCademieJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
KI = 2 H πt tan πt 2 H · 0. 923 + 0. 199 1 - sin πt 2 H 4 cos πt 2 H · 6 M πt BH 2 (16) 其中 H 为试样原高度 , t 为垂直裂纹拐折时的扩展长度 , B 为试件宽度 , M 为四点弯曲中间 段的弯矩. 此式对任何 t/ H 误差均小于 0. 5 %. 取 Gv = K 2 I/ E2 (若考虑平面应变问题 , Gv = K 2 I (1 - ν2 2 ) / E2 ) ,令α=πt/ (2 H) ,得 Gv = 72M 2 tanα B 2 H 3 E2 0. 923 + 0. 199 (1 - sinα) 4 cosα 2 (17) 由应力分析中的(3b) 式可得 Σn+1 = B E2 12 ( Hn - tn ) 3 - B ( E2 - E1 ) 12 h 3 1 ( mn - 1) 1 + h h1 2 mn ( mn - 2) (18) 其中 Hn = H1 - ∑ n- 1 1 ti , mn = ( Hn - tn ) / h. 对垂直裂纹的第 n 次扩展 ,令πtn/ (2 Hn ) =αn ,则(18) 式化为 Σn+1 = B E2 H 3 n 12 1 - 2αn π 3 - B ( E2 - E1 ) Hn 12 h 3 1 1 h - 2αn πh - 1 Hn · 1 + Hn h1 2 1 - 2αn π 1 - 2αn π - 2 h Hn (19) 把 M = pl ,αn 代替α代入(17) 式 ,得 Gv = 72 p 2 l 2 tanαn B 2 H 3 nE2 0. 923 + 0. 199 (1 - sinαn ) 4 cosαn 2 (20) 据假设(4) ,Γv 可近似取 Γv = Γ(2) h2 h1 + h2 + Γ1 h1 h1 + h2 = 1 h1 + h2 ( h1Γ1 + h2Γ(2) ) (21) 将式(14b) 、(20) 代入(15) 得 144Σntanαn BH 3 nE2 0. 923 + 0. 199 (1 - sinαn ) 4 cosαn 2 Γi ,裂纹会继续沿界面扩展. 由模型 假设(3) ,界面裂纹扩展过程中 ,加载点位移不变 ,随着界面裂纹的扩展载荷会降低(因为梁 的柔度增大了) ,因此 , Gi 值也会下降. 界面裂纹达到某一长度 an 后 ,有下式 Gi ≤Γi (23) 此时认为界面裂纹止裂. 由(14b) 式及 p = - yn/ Cn + 1 ,得 Gi = p 2 l 2 2B 1 Σn+1 - 1 Σn = y 2 nl 2 2BCn+1 2 1 Σn+1 - 1 Σn = y 2 nl 2Σn+1 2B (Σn+1 Cn+1 ) 2 1 - Σn+1 Σn , ( an ≤L) (24) 其中 Σn + 1可由(19) 式求出 ,柔度 Cn + 1是与 an 有关的量 , yn 为界面裂纹 an 未扩展之前加载 点的位移. 由(23) 、(24) 式及 Cn + 1与 an 之间的关系可求出 an ,若 an ≤L ,则所求 an 正确 ,若 ·318 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
第4期 郭香华等:叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 319· an>L,则由(14a)式重求an,即 (an>L)(25) 将25)式代入(23式可求出an 3.4载荷-位移曲线中各拐折点位置的确定,载荷-位移曲线图 由18式及附录A中A1、B1的递推公式可求出Cn+1,由pn+1′=-yn/Cn+1求出相应加 载点的载荷.继续加载.G则可能大于T,a继续扩展.同时计算梁中间部分的最大拉应力 Mr.(H,/2) p,,E 若①mx≥o,则垂直裂纹再次起裂.考虑式26),得此时载荷和位移分别为 IHE (27) Vn- pn 这样,各个拐折点的位置即可确定,然后整个载荷-位移曲线就描绘出来了.图6所示即为编 制相应计算程序的框图 算例2采用算例1中的SN4/BN叠层结构四点弯曲试样数据,其中H即H=3mm,取界面 断裂韧性F=120J/m2取F,≈a=120J/m2,按计算结果绘制的载荷位移曲线如图7 断裂功为4615J/m2与相同尺寸的SN4块体相比,叠层试样断裂功增加到3.26倍,若与 SiN4块体切口试样相比(断裂功为100J/m2)提高了46.2倍,与文[4]所得实验平均值6500 ±950J/m2相比显得偏低.对此分析如下:(1)本增韧模型只考虑裂纹的拐折与裂纹在界面 内扩展的増韧与耗能效果,与包括了叠层结构试样所有增韧与耗能机制的实验值相比,它约 占π1%,可见它是主要增韧机制;(2)从实验现象中获知,其它增韧机制包括基片桥联与摩 擦滑移、层间剪切等;(3)文[41未给出材料断裂韧性数据,本文采用文[9]中的F,数 据,而计算发现材料性能数据对总体断裂功影响显著,这将在下节讨论中得到验证. 3.5材料与几何参数对断裂功的影响 现以算例中有关参数为基本数据,分别讨论有关因素对试样断裂功的影响图中纵坐标 WM/W1为N层叠层结构的断裂功与相同尺寸SiN4块体试样断裂功之比) (1)层数N的影响如图8所示,层数N(此处指软-硬材料对数目)较小时,断裂功随 层数增加明显增加,当层数大于约12时,断裂功就基本稳定了 2)弹性模量比E2/E1的影响如图9,在相同层厚比之下,模量比变化对断裂功基本 上没有影响 (3)层厚比h/h1的影响如图9、10,断裂功随层厚比增加而增加,但达到h2/h1=10 断裂功就基本上不变了 4)断裂韧性比/F的影响如图11,韧性比在4~6之间断裂功可稳定在较高值 比值太高或太低(即F太低或太高均会导致断裂功的明显降低 5)硬层强度σ的影响如图12,断裂功几乎随硬层强度极限成比例增加,影响显著 201994-2009ChinaaCademieJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
an > L ,则由(14a) 式重求 an ,即 Gi = y 2 nΣn+1 2B (Σn+1 Cn+1 ) 2 [ a 2 n - 2 ( L + l) an + ( L + l) 2 ] 1 - Σn+1 Σn , ( an > L) (25) 将(25) 式代入(23) 式可求出 an . 3. 4 载荷2位移曲线中各拐折点位置的确定 ,载荷2位移曲线图 由(18) 式及附录 A 中 Ai 、Bi 的递推公式可求出 Cn + 1 ,由 pn + 1′= - yn/ Cn + 1求出相应加 载点的载荷. 继续加载 , Gi 则可能大于Γi , a 继续扩展. 同时计算梁中间部分的最大拉应力 Mn = pnl , σxmax = Mn ·( Hn/ 2) In = pnlHnE2 2Σn (26) 若σxmax ≥σb ,则垂直裂纹再次起裂. 考虑式(26) ,得此时载荷和位移分别为 pn = 2σbΣn lHnE2 (27) yn = pn ·Cn (28) 这样 ,各个拐折点的位置即可确定 ,然后整个载荷2位移曲线就描绘出来了. 图 6 所示即为编 制相应计算程序的框图. 算例 2 采用算例 1 中的 Si3N4/ BN 叠层结构四点弯曲试样数据 ,其中 H 即 H1 = 3 mm ,取界面 断裂韧性 Γ(2) = 120 J/ m 2 ,取 Γv≈Γ(2) = 120 J/ m 2 ,按计算结果绘制的载荷2位移曲线如图 7 , 断裂功为 4615 J/ m 2 与相同尺寸的 Si3N4 块体相比 ,叠层试样断裂功增加到 3. 26 倍 ,若与 Si3N4 块体切口试样相比(断裂功为 100 J/ m 2 ) 提高了 46. 2 倍 ,与文[4 ]所得实验平均值 6500 ±950 J/ m 2 相比显得偏低. 对此分析如下 : (1) 本增韧模型只考虑裂纹的拐折与裂纹在界面 内扩展的增韧与耗能效果 ,与包括了叠层结构试样所有增韧与耗能机制的实验值相比 ,它约 占 71 % ,可见它是主要增韧机制 ; (2) 从实验现象中获知 ,其它增韧机制包括基片桥联与摩 擦滑移、层间剪切等 ; (3) 文[4 ]未给出材料断裂韧性数据 ,本文采用文[ 9 ]中的Γ(2) ,Γi 数 据 ,而计算发现材料性能数据对总体断裂功影响显著 ,这将在下节讨论中得到验证. 3. 5 材料与几何参数对断裂功的影响 现以算例中有关参数为基本数据 ,分别讨论有关因素对试样断裂功的影响(图中纵坐标 WN/ WI 为 N 层叠层结构的断裂功与相同尺寸 Si3N4 块体试样断裂功之比) . (1) 层数 N 的影响 如图 8 所示 ,层数 N (此处指软2硬材料对数目) 较小时 ,断裂功随 层数增加明显增加 ,当层数大于约 12 时 ,断裂功就基本稳定了. (2) 弹性模量比 E2/ E1 的影响 如图 9 ,在相同层厚比之下 ,模量比变化对断裂功基本 上没有影响. (3) 层厚比 h2/ h1 的影响 如图 9、10 ,断裂功随层厚比增加而增加 ,但达到 h2/ h1 = 10 , 断裂功就基本上不变了. (4) 断裂韧性比Γ(2) / Γi 的影响 如图 11 ,韧性比在 4～6 之间断裂功可稳定在较高值 , 比值太高或太低(即 Γi 太低或太高) 均会导致断裂功的明显降低. (5) 硬层强度σb 的影响 如图 12 ,断裂功几乎随硬层强度极限成比例增加 ,影响显著. 第 4 期 郭香华等 : 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ·319 ·
320 固体力学学报 2000年第21卷 输入h1,h2,上;,F H,8.7.La,, I' 计算总层数M TE 由C/r0.01M 结束 由(14b)式及C>I 求出界面裂纹长度a 由(14a)式及G 求出界面裂纹长度 继续加载至垂直裂纹扩展 计算此时的Pn,1,P,y2,t 图6程序流程框图 4结论 本文利用材料力学梁理论和断裂力学的裂纹向界面拐折和扩展条件考虑了叠层结构陶 瓷材料的主要增韧机制-裂纹扩展拐折耗能,得出叠层结构材料断裂功的相应关系式.通过 计算程序,对一种具体叠层材料的运算仅需几分钟,用于叠层结构材料的强韧化设计简便可 行本文得到的以下结论对SN4/BN叠层结构的优化设计可提供有益的参考:(1)确定裂 纹有较多次数在界面拐折并沿界面扩展较长路程是此类结构具有较好增韧效果的必要条 件若使断裂韧性之比r/F=4~6,可保证断裂功稳定在较大值;(2)总层数m>20,E 201994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.i
图 6 程序流程框图 4 结论 本文利用材料力学梁理论和断裂力学的裂纹向界面拐折和扩展条件考虑了叠层结构陶 瓷材料的主要增韧机制2裂纹扩展拐折耗能 ,得出叠层结构材料断裂功的相应关系式. 通过 计算程序 ,对一种具体叠层材料的运算仅需几分钟 ,用于叠层结构材料的强韧化设计简便可 行. 本文得到的以下结论对 Si3N4/ BN 叠层结构的优化设计可提供有益的参考 : (1) 确定裂 纹有较多次数在界面拐折并沿界面扩展较长路程是此类结构具有较好增韧效果的必要条 件. 若使断裂韧性之比Γ(2) / Γi = 4～6 ,可保证断裂功稳定在较大值; (2) 总层数 m > 20 , E2/ ·320 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
第4期 郭香华等:叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 321· 2.5 位移/m 层数N 图7算例的载荷-位移曲线图 图8不同层数时断裂功的变化 h2/ht=15:1 2E1 图9不同模量比时断裂功的变化 图10不同层厚比时断裂功的变化 4004 440460480500 Tua/r 11不同韧性比时断裂功的变化 图12不同硬层强度时断裂功的变化 E1>10强度均可稳定在一定值;当层厚比h/h2≤.1,软层引起的强度下降不会超过 10%N2,h1/h2③.1,表观断裂韧性断裂功均可基本上稳定不变;此时模量比E2/E1 则影响不大;注意到叠层结构中硬层强度对断裂功影响较大,强度越高,其断裂功会越高.当 然在保证F/F=4~6条件下,Fa、本身越高,增韧效果也越大. 本文分析方法对其它叠层结构陶瓷材料不失一般性.但实际材料实验现象较为复杂并 是多种增韧机制的协同增韧效应,本模型只是针对其主要增韧机制作的简化与近似 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki.r
图 7 算例的载荷2位移曲线图 图 8 不同层数时断裂功的变化 图 9 不同模量比时断裂功的变化 图 10 不同层厚比时断裂功的变化 图 11 不同韧性比时断裂功的变化 图 12 不同硬层强度时断裂功的变化 E1 > 10 , 强度均可稳定在一定值; 当层厚比 h1/ h2 ≤0. 1 , 软层引起的强度下降不会超过 10 %. N ≥12 , h1/ h2 ≤0. 1 ,表观断裂韧性(断裂功) 均可基本上稳定不变;此时模量比 E2/ E1 则影响不大;注意到叠层结构中硬层强度对断裂功影响较大 ,强度越高 ,其断裂功会越高. 当 然在保证 Γ(2) / Γi = 4～6 条件下 ,Γ(2) 、Γi 本身越高 ,增韧效果也越大. 本文分析方法对其它叠层结构陶瓷材料不失一般性. 但实际材料实验现象较为复杂并 是多种增韧机制的协同增韧效应 ,本模型只是针对其主要增韧机制作的简化与近似. 第 4 期 郭香华等 : 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ·321 ·
固体力学学报 2000年第21卷 参考文献 I Cook J, Gordon J E. A mechanism for the control of crack propagation in all-brittle materials. Proc R Soc, London 964,A282:508~520 2 Baskaran S et al. Fibrous monolithic ceramic. J Am Ceram Soc. 1993. 76: 2209--2216 3 Clegg wJ et al. A simple way to take tough ceramic. Nature (London), 1990, 357[Oct 4]: 455-457 4 Liu Haiyan, Hsu S M. Fracture behaviour of multilayer silicon nitride/ boron nitride ceramics. J Am Ceram Soc 996,79(9):2452~2457 5郭海,黄勇,李建保.层状氮化硅陶瓷的性能与结构.硅酸盐学报,1997,25(5):532~536 6 Cao H C, Evans A G An experimental study of the fracture resistance bimaterial interface. Mech Mater, 1989 7 Charalamibides P Get al. A test specimen for determining the fracture resistance of bimaterial interface. J Appl Mech,1989,56:77~82 8 Phillipps AJ, Clegg WJ, Clyne T W. Fracture behaviour of ceramic laminates in bending I. Modelling of crack propagation. Acta Metall Mater, 1993, 41(3): 805-817 9 Kovar D, King b H, Trice R Wet al. Fibrous mplithie ceramics. J Am Ceram Soc, 1997,80(10): 2471--2487 10 He Mingyuan, Hutchinson J W. Kinking of a crack out of an interface. J Appl Mech, 1989, 56(6): 270-278 1中国航空研究院主编应力强度因子手册北京:科学出版社,1981,120~121 A MECHANICS ANALYSIS OF STRENGTHENING TOUGHENING DESIGN OF MUL TILAY ER STRUCTURE CERAMICS Department d Engineening Mechanics, Tsinghua University, Bejing, 100084/ Wang Changan Huang Yong Department d Material Science and Engineening, Tsinghua University, Bejing, 100084) Abstract Based on theory of beam and cracking and kinking condition of crack in bimaterial ir terfaces, the mechanics analysis is made on strength and toughness of multilayer structure ceramics in symmetric fourpoint bending. An analytic relation that relates strength, toughness of the bending specimen and material properties, structure s geometric parameters of the ceramic sheet and interfacial layer is obtained. Finally, the corresponding relative curves are given and the theoretical value of frac- ture work for Si3 N4/BN multilayer structure is compared with the experimental result Key words multilayer structure ceramics, load-displacement curve, interface fracture tough ness, strengthening- toughening design 附录A梁的挠度、柔度与相应的能量释放率表达式的推导 图5所示梁的挠度曲线方程与加载点位移可利用梁的理论得出图中∑为界面裂纹作 第i次扩展后,相应扩展长度为a的区域内梁的等效抗弯刚度,1=1,2,3,…,n.i=1时,2 为界面裂纹未扩展时的原始抗弯刚度.现分a扩展至AB段L≤xs+D和OA段0≤x )01994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
参 考 文 献 1 Cook J , Gordon J E. A mechanism for the control of crack propagation in all2brittle materials. Proc R Soc , London , 1964 , A282 :508～520 2 Baskaran S et al. Fibrous monolithic ceramic. J Am Ceram Soc , 1993 , 76 :2209～2216 3 Clegg W J et al. A simple way to take tough ceramic. Nature (London) , 1990 , 357[Oct. 4 ] :455～457 4 Liu Haiyan , Hsu S M. Fracture behaviour of multilayer silicon nitride/ boron nitride ceramics. J Am Ceram Soc , 1996 , 79 (9) :2452～2457 5 郭海 ,黄勇 ,李建保. 层状氮化硅陶瓷的性能与结构. 硅酸盐学报 ,1997 ,25 (5) :532～536 6 Cao H C , Evans A G. An experimental study of the fracture resistance bimaterial interface. Mech Mater , 1989 , (7) :295～304 7 Charalamibides P G et al. A test specimen for determining the fracture resistance of bimaterial interface. J Appl Mech , 1989 , 56 :77～82 8 Phillipps A J , Clegg W J , Clyne T W. Fracture behaviour of ceramic laminates in bending2Ⅰ. Modelling of crack propagation. Acta Metall Mater , 1993 , 41 (3) :805～817 9 Kovar D , King B H , Trice R W et al. Fibrous monolithic ceramics. J Am Ceram Soc , 1997 , 80 (10) :2471～2487 10 He Mingyuan , Hutchinson J W. Kinking of a crack out of an interface. J Appl Mech , 1989 , 56 (6) :270～278 11 中国航空研究院主编. 应力强度因子手册. 北京 :科学出版社 ,1981 ,120～121 A MECHANICS ANALYSIS OF STRENGTHENING2TOUGHENING DESIGN OF MULTILAYER STRUCTURE CERAMICS Guo Xianghua Cai Qianhuang ( Department of Engineering Mechanics , Tsinghua University , Beijing , 100084) Wang Changan Huang Yong ( Department of Material Science and Engineering , Tsinghua University , Beijing , 100084) Abstract Based on theory of beam and cracking and kinking condition of crack in bimaterial in2 terfaces , the mechanics analysis is made on strength and toughness of multilayer structure ceramics in symmetric four2point bending. An analytic relation that relates strength , toughness of the bending specimen and material properties , structureπs geometric parameters of the ceramic sheet and interfacial layer is obtained. Finally , the corresponding relative curves are given and the theoretical value of frac2 ture work for Si3N4/ BN multilayer structure is compared with the experimental result. Key words multilayer structure ceramics , load2displacement curve , interface fracture tough2 ness , strengthening2toughening design 附录 A 梁的挠度、柔度与相应的能量释放率表达式的推导 图 5 所示梁的挠度曲线方程与加载点位移可利用梁的理论得出. 图中Σi 为界面裂纹作 第 i 次扩展后 ,相应扩展长度为 ai 的区域内梁的等效抗弯刚度 , i = 1 ,2 ,3 , …, n. i = 1 时 ,Σ1 为界面裂纹未扩展时的原始抗弯刚度. 现分 ai 扩展至 AB 段 ( L ≤x ≤L + l) 和 OA 段 (0 ≤x ·322 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
