§84(单边)反Z变换 幂级数展开 泰勒公式: x=0处展开 f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0) (k) f(0 x-+∴ x"+ k! 长除法:对右边序列,降序排; 对左边序列,升序排。 东南大学移动通信国家重点实验室
一、 幂级数展开 z 泰勒公式： +"+ +" ′′ = + ′ + = k k x x k f x f f x f f x !(0) 2!(0) ( ) (0) (0) ( ) 2 0处展开 z 长除法：对右边序列，降序排； 对左边序列，升序排。 § 8.4 （单边）反 Z 变换 东南大学移动通信国家重点实验室
C 例1:F (z)=e,求f(k) 解:由e=1+x+nx2+ —x F(z)=1+(--)+( 十… k! ∑ k-k k=0 k! )=∑ k=0 k! <>f(k)=,(-a)E() k! 东南大学移动通信国家重点实验室
例 1： z a F z e − ( ) = ，求 f (k) 解：由 ..... ! 1 ....... 2! 1 1! 1 1 2 = + + + + + x k x k e x x = + − + − +"+ − k +" z a z k a z a F z ( ) !1 ( ) 2!1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) !1 ( ) ( ) !1 ( ) !1 0 0 a k k f k a z z k a k k k k k k k ↔ = − ε = − = − − ∞ = ∞ = ∑ ∑ 东南大学移动通信国家重点实验室
2 2z 0.5z 例2:F(z) 0.5z-0.5 (长除法) =2+0.5z1+1.25z2+ f(k)={20.5,1,25,…,k=0,2… →f(k)=[1+(-0.5)](k) 东南大学移动通信国家重点实验室
例 2： 0.5 0.5 2 0.5 ( ) 2 2 − − − = z z z z F z （长除法） = 2 + 0.5z −1 +1.25z −2 +" ∴ ( ( ) [1 ( 0.5) ] ( ) ) ( ) {2,0.5,1.25, , 0,1,2 } f k k f k k k ⇒ = + − ε = " = " 东南大学移动通信国家重点实验室
部分分式法 将 F()展开,设F(2)极点v均单阶 F(=)K0,k —+∵+ 有:F(=)=k0+2=0 其中 K,=(z-F(=) f(k)=K8(k)+∑K()6() i=1 注:若v有重根,可用部分分式法,但最好用留数法。 东南大学移动通信国家重点实验室
二、部分分式法 将 z F(z) 展开，设 F(z) 极点 i v 均单阶 则 n n z v K z v K z K z F z − + + − = + " 1 0 1 ( ) ， 其中 ( 0) ( ) ( ) 0 = = = − v i z z v F z K z v i i 有： ∑ = − = + n i i i z v zK F z K 1 0 ( ) ( ) ∴ ∑ = = δ + ε n i k i i f k K k K v k 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 注：若 v 有重根，可用部分分式法，但最好用留数法。 东南大学移动通信国家重点实验室
三、围线积分(留数法) 兀 二 dz 由 0.i≠ 及F(=)=f(0)+f(1)z+f(2)2+…+f(k)2+ f(k)= F(2)Z k-1 易得: 2 (C是含F(z)极点的逆时针闭线) ∑ResF(z)zk 东南大学移动通信国家重点实验室
三、围线积分（留数法） 由 ≠ π = = ∫ − 0, 1 2 , 1 i j i z dz C i 及 F(z) = f (0) + f (1)z −1 + f (2)z −2 +"+ f (k)z −k +" 易得： ∫ − π = C k F z z dz j f k 1 ( ) 21 ( ) （C 是含 F(z)极点的逆时针闭线） ∑ = − = n i k s F z z 1 1 Re [ ( ) ] 东南大学移动通信国家重点实验室
z3+2z2+1 例1:F(二)= (x-1(=-05),求(k) 解:F(z)k z3+2z2+1 k-2 (二-1)(z-0.5) v,=0.5k≥0 对k=0时,v3=0二阶>A8(k); 东南大学移动通信国家重点实验室
例 1： ( 1)( 0.5) 2 1 ( ) 3 2 − − + + = z z z z z F z ，求 f (k) 解： = −1 ( ) k F z z 2 3 2 ( 1)( 0.5) 2 1 − − − + + k z z z z z ， v1 = 1, v2 = 0.5 k ≥ 0 对 k=0 时，v3 = 0 二阶 → Aδ(k)； 东南大学移动通信国家重点实验室
k=1时,V=0单阶→Bδ(k-1) ResI=(z-VDF(zz =8,k≥0=8E(k) 2=v Res2=(z-v2)F(x)|z==0.5=13(0.5)e(k) Res [(z-0)2F(z) 0-1 z=0 6.k=0 66(k) (2-1)az Res4=26(k-1) f(k)=∑R 东南大学移动通信国家重点实验室
k=1 时， v = 0 单阶→ Bδ(k −1) 8, 0 8 ( ) 1 1 Re 1 ( ) ( ) 1 1 k k z v s z v F z z k = ≥ = ε = = = − − 0.5 13(0.5) ( ) 2 Re 2 ( ) ( ) 1 2 s z v F z z z v k k k = − = = = ε − 6, 0 6 ( ) 0 [( 0) ( ) ] (2 1)! 1 Re 3 2 0 1 k k z z F z z dzd s = = = δ = − − = − Re s4 = 2δ (k −1) ∴ ( ) Re ...... 4 1 = ∑ = i= i f k s 东南大学移动通信国家重点实验室
补充:双边正反z变换 双边z变换 f(k)=f(k)8(k)+f(k)(-k-1)=f,(k)+f(k) Ru F(z)=F(3)+Fn(z) R+<zkR 其中,()=∑(+=∑(E+=F()1R+ 东南大学移动通信国家重点实验室
一、 双边 z 变换 f (k) f (k) (k) f (k) ( k 1) f (k) f (k) − − = r + l = ε + ε 则 Fb (z) = Fbr (z) + Fbl(z) R+ + ∞ = − ∞ =−∞ − F z f k z f k z Fr z z R k k r k k b r r ( ) ( ) ( ) ( ) | | 0 补充： 双边正反 z 变换 东南大学移动通信国家重点实验室
令k=-k F(2)=∑(k)==∑f(k)k=∑/(-k)2 k=1 ∑/(-k)(-) k=0 ZIGk > R,即kR 如:f(k)=(k)+b(-k-1)b>a>0 东南大学移动通信国家重点实验室
∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − =− =−∞ − ∞ =−∞ − = − = = = − 0 1 1 ) 1 ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) k k l k k l k k k k l k k bl l z f k F z f k z f k z f k z 令 − > = = − z R z z Z f k l 1 | 1| 1 [ ( )] ，即| z | a > 0 k k 东南大学移动通信国家重点实验室
解:F(=)=|=aa 2- Z[f(-k)=2[b(k-1)=,z[()E(k-1) 6 b ROC z>l= 6 b 2 b(=) Eb b b 2 Fb(=) 东南大学移动通信国家重点实验室
解： z a a z a z F z br > = − ( ) = | | | | ∵ b b z ROC z b z z b k b Z b Z f k Z b k k k l 1 | 1 | | | 1 1 ) ( 1)] 1 [( 1 [ ( )] [ ( 1)] 1 1 > = − = − = − = − − − − ε ε ∴ z b z b z z b z z b F z bl < − = − − = − − | | 1 1 ( ) 1 1 ∴ a z b z b z z a z F z b < < − − − ( ) = | | 东南大学移动通信国家重点实验室