第二章连续系统的时域分析(续1) §2-4奇异函数 定义:函数或其微、积分在某处不连续(间断) 例如: (t2/2)()t(t) E(t) 6(1) 求导 积分 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 第二章 连续系统的时域分析 ( 续 1) §2-4 奇异函数 一、 定义：函数或其微、积分在某处不连续（间断） 例如： ( / 2 ) ( ) 2 t ε t t ε ( t ) ε ( t ) δ ( t ) δ ′( t ) 1 (1) (∞) t t t t t .... O O O O (∞) 求导 积分
二、δ()的几种定义 工程定义 o,t=0; 0,t≠0.,日Jδ(t)d=1 2.狄拉克定义: 设0()在+0处连续,则∫q()()dh=q(0)抽样、筛 选性) 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 二、 δ ( t ) 的几种定义 1． 工程定义 ≠ ∞ = δ = 0 , 0. , 0 ; ( ) t t t ，且 ∫ +∞ − ∞ δ ( t )dt = 1 2． 狄拉克定义： 设 ∀ ϕ ( t ) 在 t=0 处连续，则 ∫ +∞ − ∞ ϕ ( t ) δ ( t )dt = ϕ ( 0 ) （抽样、筛 选性）
d(0= da(t) 3.微积分性质: 或E()=o(r)dr 4.极限定义(赋值定义)若有m」(=) 则1iy)=( 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 3． 微积分性质： ∫− ∞ = = t t d dt d t t ε δ τ τ ε δ ) ( ) ( ) ( ) 或 （ 4． 极限定义（赋值定义） 若有lim ( ) ( ) ( 0 ) 0 ϕ = ϕ ∫ +∞ − ∞ → t f t dt c c ， 则 lim ( ) ( ) 0 f t t c c = δ →
g△(1) (△-脉宽) 1/△ 则8(1)=limg(t) △→>0 △/2 △/2 又如 k() 则δ()=1limk(t) → 1/△ △ 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 如 （ ∆ −脉宽） 则 ( ) lim ( ) 0 t g t ∆ ∆ → δ = 又 如 则 ( ) lim ( ) 0 t k t ∆ ∆ → δ = g ( t ) ∆ 1 / ∆ t − ∆ / 2 ∆ / 2 k ( t ) ∆ 1 / ∆ t − ∆ ∆
三、(1)的常用性质 1.抽样性:设90在=处连续,则o-b)= 或0-)=0(1(tA032 2.偶函数性:(-1)=() 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 三、 δ ( t )的常用性质 1． 抽样性：设 ∫ +∞ − ∞ ϕ ( ) = ϕ ( ) δ ( − ) = ϕ ( ) 0 0 0 t 在t t 处连续，则 t t t dt t 或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ϕ t δ t − t = ϕ t δ t − t 2． 偶函数性： δ ( −t ) = δ ( t )
3.尺度变换:(a)=a(O)(a≠0) 而 (at-)=0t--)(a≠0) 4.6()冲激偶: o(t)=ling(t) 8(t=liga(t) 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 3． 尺度变换： ( ), ( 0) 1 δ( ) = δ t a ≠ a at 而 ( ), ( 0) 1 ( ) 0 δ − 0 = δ − a ≠ a t t a at t 4．δ′( t )冲激偶： ∵ ( ) lim ( ) 0 t g t ∆ ∆ → δ = ∴ ( ) lim ( ) 0 t g t ∆ ∆ → δ′ = ′
§2-5信号的时域分解 、简例 :门函数G(1)=(1+)-E(-) G2(t) f(t) 7/2 /2 单边周期性锯齿波f()=lc()-(t-1)]+t-1)(t-1)-E(t-2)]+ 6(1)-∑(t 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 §2-5 信号的时域分解 一、 简例 例：门函数 ) 2 ) ( 2 ( ) ( τ − ε − τ G τ t = ε t + t 单边周期性锯齿波 f ( t ) = t [ ε ( t ) − ε ( t − 1 ) ] + ( t − 1 ) [ ε ( t − 1 ) − ε ( t − 2 ) ] + L ∑ ∞ = = − − 1 ( ) ( ) i t ε t ε t i f (t) 1 … t 0 1 2 3 G (t) τ 1 t − τ / 2 τ / 2
、信号分解成O()的组合 设f()有始; Af(ty f()=lm∑/(kM)G、(t-kM 记Gx(t) imn>/(k△) Go(t-kAt 0 △t t=n At f(rs(t-tdt (卷积) 记 f(t*8(t) (即:分解成无穷多个出现在τ∈(0,1)处,强度为f()dz的冲激的 迭加) 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 二、 信号分解成 δ ( t ) 的组合 设 f ( t )有始； ∑= ∆ ∆ → = ∆ − ∆ n k t t f t f k t G t k t 0 0 ( ) lim ( ) ( ) t t G t k t f k t n k t t ∆ ∆ − ∆ = ∑ ∆ = ∆ ∆ → 0 0 ( ) lim ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) 0 f t t f t d t δ τ δ τ τ 记 = = − ∫ （卷积） （即：分解成无穷多个出现在 τ ∈ ( 0,t )处，强度为 f (τ) dτ 的冲激的 迭加） f ( t ) … … 记 G ( t ) ∆t ： 1 t t 0 … t =n ∆ t ∆ t
*对一般信号ft): 记 f()=f(2)()z=f()*o() 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 * 对一般信号 f(t)： f ( t ) f ( ) ( t ) d f ( t ) ( t ) t = τ δ − τ τ = ∗ δ ∫− ∞ 记
信号分解为单位阶跃的组 类似 f(t)=lim f(0)(t)+[f(△)-f(0)1(-△)+… 0+[(k△)-f(k-1)△n)(t-k△)+ t=n△t =f(0)()+mn2 f(k△)-f(k-1)△t) (t-k△)△t △t f(0)()+j(a)(-)dz (即:分解成无穷多个出现在τ∈(0,1)处,幅度为f(v)dh 阶跃的迭加) 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 三、 信号分解为单位阶跃的组合 类似： [ ] [ ] + ∆ − − ∆ − ∆ + + ∆ − − ∆ + = ∆ → L L ( ) (( 1 ) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) lim0 f k t f k t t k t f t f t f t t f t t ε ε ε ∑= ∆ → ε − ∆ ∆ ∆ ∆ − − ∆ = ε + n k t t k t t t f k t f k t f t 1 0 ( ) ( ) (( 1 ) ) ( 0 ) ( ) lim ＝ ∫ + ′ − t f t f t d 0 ( 0 ) ε ( ) (τ ) ε ( τ ) τ （即：分解成无穷多个出现在 τ ∈ ( 0,t )处，幅度为 f ′( τ ) dτ 的 阶跃的迭加） f ( t ) …… …… …… t 0 … t =n ∆ t