§2.5冲激响和阶跃响 h(t) 一h(t)和g(t) δ(t) System 1定或 初态=0 2特点: 实现性(因果性) h(t)=0t<0 稳炙性 h(t)=0t→→ 3阶跃响粒及局冲激响粒的关系 (t) S(od 时不变系统特性 g()=「h(z)lz
§2.5冲激响应和阶跃响应 一.h(t)和g(t) 1.定义: System 初态=0 h(t) t 2.特点: 稳定性 h(t)=0 t →∞ − = t g(t) h( )d − = t u(t) ( )d 时不变系统特性 实现性(因果性) h(t)=0 t<0 3.阶跃响应及与冲激响应的关系 t 0 (t)
分解誠冲激冲分量之和 △t, f(1) 6(1)→h()→ convolution int eegral
分解成冲激脉冲分量之和 ( ) 1 f t 1 t 1 t t (t) h(t) convolution int eegral
分解成单篮阶跃分量之和 f( f(t1-△t1 f(0 l()→g(1)→ DaHarma In tegral
分解成单位阶跃分量之和 f (0) ( ) 1 f t ( ) 1 1 f t −t 1 t 1 t u(t) g(t) DaHarma ln tegral
二、h(t)的部法(冲激平衡波) a激画數的引入解决了菡飘在跳变点处导飘的存在间题 从而使得一个微分方程在-∞<1<∞都成豆 b.δ()= du(t) do(t 6(t)= 匹配就是使方程雨端的 dt 冲激画数及其导飘相匹配 求:h(t)作为一个特殊的zir响岌来处理 any(t)+any(t)+..+a,y(t)+aoy(t)=x(t) anh1)()+an1h(=(t)+…+a1h(t)+a0h(t)=o() 对于t<0时:h(O)=h(0)=…=h(0-)=0;h(t)=0 系统处于零初态 吴键是如何确定仁=0时的初始条件
－ t a.冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题 从而使得一个微分方程在 内都成立. b. 匹配就是使方程两端的 冲激函数及其导数相匹配. dt du t t ( ) ( ) = dt d t t ( ) ( ) ' = *求法:h(t)作为一个特殊的z.i.r响应来处理. ( ) ( ) ..... ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 ( 1) 1 ( ) a y t a y t a y t a y t x t n n n n + + + + = − − ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 ( 1) 1 ( ) a h t a h t a h t a h t t n n n n + + + + = − − *关键是如何确定t=0+时的初始条件. 二、h(t)的求法(冲激平衡法) 系统处于零初态： 对于 0时: (0 ) (0 ) ... (0 ) 0； ( ) 0 ' ( 1) = = = = = − − − − t h h h h t n − t
以二阶系统为例:a2h(t)+a1h(t)+a0h()=5(t) 2阶导数项一冲激,在=0不這续h(0)≠h(0) 1阶导数項一阶跃,在t=0不续h(0)≠h(0) 0阶导数一斜帔,在=0邃续h(O+)=h(0) 对()取积分a2「h(+a「h()+aJ()=Jo(oh a2[(0)-h(0)+ap()-h0)+aJ(h=1 h(O)=h(0)=0 (乙)<乙 h(0)=0 h(0+)= a2h(0)=1二个初临条件 h(0+)=0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 '' 2 以二阶系统为例：a h t + a h t + a h t = t 2阶导数项—冲激，在t=0不连续 (0 ) (0 ) '' + '' − h h 1阶导数项—阶跃，在t=0不连续 (0 ) (0 ) ' + ' − h h 0阶导数—斜坡，在t=0连续 (0 ) (0 ) + − h = h 对(*)取积分 + − + − − + − + + = + 0 0 0 0 0 0 0 ' 1 0 0 '' 2 a h (t)dt a h (t)dt a h(t)dt (t)dt + − − + − + = + − + − 0 0 1 0 ' ' a2 h (0 ) h (0 ) a h(0 ) h(0 ) a h(t)dt 1 (0 ) = (0 ) = 0 + − h h ( ) 0 0 0 = + − h t dt (0 ) 1 ' 2 = + a h (0 ) 0 ' = − h 2 ' 1 (0 ) a h = + (0 ) = 0 + h 二 个初始条件
已知:R=3,L=0.5HC=0.25F输入为冲激画飘,求h(t)=v(t) vn(t)+v/()+V2(t)=6(1) t VI R ∥)d8+()=0(0)① 2+rc dt 因t=0电路处于零状态:故 (0)=00)=0 8t>0时,()=0 dv (t di C +rC-y+v()=0 (0+) 8 d t C (O+)=0 ±/() 3±1 v(t)=ke 2t 4t +ke v2(0+)=0=k1+k2 h()=(4e2-4e4)u()(0)=8 2k1-4k
L 已知:R=3,L=0.5H,C=0.25F输入为冲激函数,求h(t)=vc(t)? vc (t) R + vl - c + - v (t) v (t) v (t) (t) r l c + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 v t t dt dv t rc dt d v t lc c c c + + = 因t=0-电路处于零状态：故 (0 ) = 0 − vc 0 (0 ) = − dt dvc 因t>0时, (t) = 0 ( ) 0 ( ) ( ) 2 + + v t = dt dv t rc dt d v t lc c c c 3 1 1 ) 2 ( 2 2 1,2 = − − = − l lc r l r p t t c v t k e k e 4 2 2 1 ( ) − − = + 8 1 (0 ) ' = = + lc vc (0 ) = 0 + vc ( ) (4 4 ) ( ) 2 4 h t e e u t − t − t = − 1 2 ' 1 2 (0 ) 8 2 4 (0 ) 0 v k k v k k c c = = − − = = + + +
结语:(对于右边只有δ(1)的情况) 1.写出激励和响粒系的微分方程 2t0,h(t)是一个特淼的zi 3.t=0时的初始条件是由子七0时冲激信号作用的结 h")(O+) h10(0)=…=h(O)=h(0+)=0 P69;(§28用算子符号表示微分方程)p83:2-9 a,hon(t)+am-hn-(t)++a, h(t)+ao=bm 8(t)+ .8(t)+b8(t) dt 用算子符号表示上式 (anp"+an1p+…+a1p+a0)h(t)=(bnp"+…+bp+b)6() 设 np +41p+ P+…+b1p+
*.结语:(对于右边只有δ(t)的情况) 1.写出激励和响应关系的微分方程. 2.t0,h(t)是一个特殊的z.i.r. 3. 时的初始条件是由于t=0时冲激信号作用的结果. n n a h 1 (0 ) ( ) = + (0 ) ..... (0 ) (0 ) 0 ( 1) ' = = = = − + + + h h h n P69;(§2.8用算子符号表示微分方程）p83;2-9 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 ' 0 1 ' 1 ( 1) 1 ( ) a h t a h t a h t a b t b t b t m m n n n n + + + + = + + − − dt d p = 用算子符号表示上式 ( ... ) ( ) ( ... ) ( ) 1 0 1 0 1 1 a p a p a p a h t b p b p b t m m n n n n + + + + = + + + − − 设: 1 0 l a p ... a p a n = n + + + 1 0 l b p ... b p b m d = m + + + = 0+ t
则 D]=las(tI 令:L[h()=(anp"+…1+a1p+a0)h(t)=6(t) 即:L(ha(t)=6(t) 面边作算子算 区2()]=l[()] 换算子的通箕顺序也[(O)=l[6( 与1()]=l[6()相比餐得出 h()=() 例:h()+4h(t)+3(t)=δ(t)+26(t) 写戚算子形式:(P2+4P+3)h()=(P+2)6(
[ ( )] ( ... ) ( ) ( ) 0 1 0 0 L h t a p a p a h t t n 令： = n + + + = 交换算子的运算顺序 [ ( )] ( ) 0 l l h t l t d = d ( ) ( ) 0 h t l h t = d ( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) '' ' ' 例：h t + h t + h t = t + t 写成算子形式：( 4 3) ( ) ( 2) ( ) 2 P + P + h t = P + t [ ( )] ( ) 0 l l h t l t 两边作ld算子运算 d = d 与 lh(t) l (t) 相比较得出： = d : ( ( )) ( ) 0 即 L h t = t lh(t) l (t) 则： = d
令(P2+4p+3)h0()=O(t) ho(t)=k,e +k,e 3t t>0 已知:h(0+)=0;h(0)=1 h(0)=k1+k2=0k h(0+)=-k1-3k2=1 k 2 而:h(1)=(p+2)h()
( 4 3) ( ) ( ) 0 2 令 p + p + h t = t ( ) 0 3 0 = 1 + 2 − − h t k e k e t t t (0 ) 0 0 = 1 + 2 = + h k k (0 ) 3 1 1 2 ' = − − = + h k k 2 1 k1 = 2 1 k 2 = − ( ) 2 1 2 1 ( ) 3 0 h t e e u t t t = − − − 而： ( ) ( 2) ( ) 0 h t = p + h t (0 ) 0; (0 ) 1 ' = = + + 已知：h h
h()=(p+2)h0(t) d 3t dt +2 )u(t) ee-3 u(t)+2ete-3 u(ty dt(2 2 6() 3t 3t e+-e +2-e 3t 为 零 e+e-3(t) (t)f()=f(06(t) 2 2
( ) 2 1 2 1 ( ) 2 2 1 2 1 ) ( ) 2 1 2 1 2 ( 3 3 3 e e u t e e u t dt d e e u t dt d t t t t t t + − − = − = + − − − − − − ( ) 2 1 2 1 2 ( ) 2 3 2 1 2 1 2 1 ( ) 3 3 3 e e u t t e e e e u t t t t t t t + − + − + = − − − − − − − ( ) 2 1 2 1 3 e e u t t t = + − − ( ) ( 2) ( ) 0 h t = p + h t (t) f (t) = f (0) (t) 为 零