武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章（3-8）卷积定理

7傅立叶变换的微分 A.时间微分特性 若f()分F(O) 则() <>jaF(O dt d"f(t 及 >(0)F() 证明请见p134

*7.傅立叶变换的微分 A.时间微分特性 若 f (t)  F() 则 ( ) ( ) jF  dt df t  及 ( ) ( ) ( ) j F  dt d f t n n n  证明请见p134

b频率微分特性 若f()4F(0)则出(m)4(-)f( d(o) B∠a7<>(-jt)"f(t) 例 求F[切]? 解:1<>2n6(O) (jt)f(t)<>,[2( da t<>27y8(O)

b.频率微分特性 若 f (t)  F() ( ) ( ) ( ) jt f t d dF  −   则 ( ) ( ) ( ) j t f t d d F n n n  −   及 2 ( ) ( ) ( ) [2 ( )] :1 2 ( ) [ ]? '           t j d d j t f t F t     － 解 例一：求

8积分特性 A时间积分特性 1)公式A 若f()>F(),则」f(a)dzF(o) 条件:F(O) O 0 <OO (此条件的解释见1363-75) F(0)=0(等歙于满足绝对可积) 设(1)=「f()dz

8.积分特性 A.时间积分特性 1)公式A 若 f (t)  F() ,则 ( ) 1 ( )     F j f d t −  条件: ( 136,3 75) | ( ) 0 − =   p F 此条件的解释见    或 F(0) = 0 (等效于满足绝对可积)  − = t 设(t) f ( )d

仅当口()满足农氏条件,亦即(1)是绝对 可积的,上述时间城中积的结论才有敌 中要∫O)lb=」」f(drl→>有很 则必须使mn()=0峁mn」f()dz0 时才有此结论这等敌苟: lim f(t)dt=lim[ f(t)e Jo dt O=0 t→>∞J- ● =limF(o)o=0=F(0)=0 t→>

仅当 (t) 满足狄氏条件,亦即 (t) 是绝对 可积的,上述时间域中积分的结论才有效. 即要  =   →  − −  − t dt f d dt t |( )| | ( )  | 有限 则必须使 lim ( ) = 0 → t t  即 → − = t t lim | f ( )d | 0 时才有此结论.这等效为: lim F( ) | F(0) 0 lim f(t)dt lim[ f(t)e dt]| 0 t 0 j t t t =  = = = = →  −  − = −  → →  

由傳立叶变换对可知 F(0)=f()dt 当imf(t)=0 t→> f(0)1r 2 F()d当limF()=0 →>+o∞

由傅立叶变换对可知:    −  − = =    f F d F f t dt ( ) 2 1 (0) (0) ( ) 当 当 lim ( ) 0 lim ( ) 0 = = → →   F f t t

证明:令( f()l或d() f(t) 若φ(1)满是狄氏条件即四(1)<>①(/) 则f()1①() 即F(j)=j(j) Φ(jo)=.-F(jo) f()dτ<>.-F(jo)证毕

证明:令 − = t (t) f ( )d 或 ( ) ( ) f t dt d t =  若 (t) 满足狄氏条件,即 (t)  ( j) 则 f (t)  j( j) 即 F( j) = j( j) F(j ) 证毕。 j 1 f( )d F(j ) j 1 (j ) t           = −

例二P168(3-25 f(t) E 解 f(±∞)=0 上述公式可用. 2E f"(1)=[6(+ 7-71 22 2 6(t+)-6(t-) 2E 22 +6(t-) 22

例二.P168 (3-25) f (t) E 0 2  1 − 2  − 2  2  1 t f '(t) 2  2  − 2  1 − 2  1 1 2  − E 解:   f () = 0 上述公式可用. )] 2 ( ) 2 ) ( 2 ( ) 2 [ ( 2 "( ) 1 1 1           + − − + − − + − = t t t t E f t

LLf (t)] 2E 2E 2 e -1 aT 已 2E (2 cos -2cos501)=F"(jm) 2 2

2  − 2 1  − 2 1  2  f "(t) 1 2  − E ) " ( ) 2 2 cos 2 (2 cos 2 ) ( 2 [ " ( )] 1 1 2 2 2 2 1 1 1            F j E e e e e E L f t j j j j − = − = − − + − = − −

14E aT F(0) VOe F"(O) 7-T E(+71)0(+ m(7-7 sd 当z=271时F()f以人3E37o 4 4 根据雨个抽样画数相乘,可大敌画出频谱

4 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ) 2 cos 2 (cos 1 4 "( ) ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 2 2                 + + − = − − = = − sa sa E E F j j F j 当 2 1  =  时 F() 为 4 4 3 2 3 ( )  1  1   1   sa sa E F = 根据两个抽样函数相乘,可大致画出频谱

T,E 4丌 71 4T 4 4丌 8兀 3T

1 3 4   1 E 2 3  1 4   3 1 4   3 1 8   1 4  