灌意:由于信号的傳里叶分斛是信号的正分鱗 的一个特例,在付论第三章傳里叶变换之前,我 们先讨论第六章有关信号正没分解的甚欐念。 (先讨论晶下三个方面的间题) 信号的正分解 矢量的正没分解 信号的正没分解局矢量正没分解的祟比
注意：由于信号的傅里叶分解是信号的正交分解 的一个特例，在讨论第三章傅里叶变换之前，我 们 先讨论第六章有关信号正交分解的某些概念。 (先讨论如下三个方面的问题) •信号的正交分解 •矢量的正交分解 •信号的正交分解与矢量正交分解的类比
§63信号正没画数分解(p324) 正交:对于在一个区间122)肉,互相正交的西数集 g,()123有:对于实数 「g(1)g,(t)t k. i 0i≠ 复飘 8(()8j(t)dt 0i≠j 兴三角菡数的正性(实数正多懼实俐)
§6.3信号正交函数分解(p324) 复数： *三角函数的正交性（实数正交性实例） g t g j t dt t t i ( ) ( ) 2 1 有 对于实数 正交 对于在一个区间 内，互相正交的函数集 ( ) : : ( , ) 1,2,3,...... 1 2 r r g t t t i j k i j i 0 g t g t dt j t t i ( ) ( ) 2 1 i j k i j i 0
to +t 0 「 cos na,t sin mo=0所有m,n +7 m n cos no, t cos m@, tdt=2 0 m≠n +7 sin no,t Sin ma,tdt =12 n m≠n
cos 1 .sin 1 0 0 1 0 n t m tdt t T t n t m tdt t T t 1 1 cos .cos 0 1 0 m n T 2 1 0 m n n t m tdt t T t 1 1 sin .sin 0 1 0 m n T 2 1 0 m n 所有m,n
指数画数的正惟:(复数正惟实例) =0m≠n )( )dt T 正毀信号彼此之间极端的“不相”。 完备正女函数集g,(是指:在集外不存在与 集内互为正女的函数(t),使得满足 x(tg(t)dt=0 则{g,(1)为完备的, 若有x(t)存在, 则x(1)也应包含在正交集肉
指数函数的正交性:(复数正交性实例) 则 也应包含在正交集内。 若有 存在， 则 为完备的， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 x t x t g t x t g t dt r t t r e e dt t T t jm t jn t ( )( ) 1 1 T m n 0 m n = 正交信号彼此之间极端的“不相似” 。 ( ), : . ( ) : 集内互为正交的函数 使得满足 完备正交函数集 是指 在集外不存在与 x t g t r
用完备正晶飘表示任意信号 f()=81(t)+c282(1)+…+c8,(1…sN ∑cg1(t) 「f()g,(1)dt f(tg,(t)dt k 8(t)at 矢量的正没与正分解 X.v 0 V2 T X =XIxo X xi y 0
( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) 1 1 1 2 2 f t c g t c g t c g t c g t r n r r r r 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 t t r m t t r t t r r f t g t dt k g t dt f t g t dt c *矢量的正交与正交分解 . 0 T x y y1 y2 y3 . [ ] 1, 2 , 3 x y x x x T 0 3 1 i i i x y * .用完备正交函数表示任意信号
由雨雨正敦的矢量组 咸的矢量集合,叫做正 (3,4,5) 念矢量集 (0,0,2 (0,0,5)4 矢量的正没分解 (0,2,0) (3,4,0) [3,4,5,]=[2,0,0]+2[0,2,0]+ [0,0 2 2 2 X [2,0,0]+c2[0,2,0]=[2c1,2c2,0] e=1345]-[2,2a20=√3-2)2-(4-2)2-(6-03)
* .由两两正交的矢量组 成的矢量集合,叫做正 交矢量集. *矢量的正交分解： 0 ,0 , 2 2 5 2 ,0 ,0 2 0 , 2 ,0 2 3 3 , 4 ,5 , [ 2 ,0 ,0 ] [ 0 ,2 ,0 ] [ 2 ,2 ,0 ] 1 2 1 2 x c c c c 2 2 2 2 1 2 1 e [3,4,5][2c ,2c ,0] (3 2c ) (4 2c ) (50) 0 (3,4,5) (0,0,5) (2,0,0) (0,2,0) (3,4,0) (0,0,2) 3 4 5
为了使误差最小,须使 oe oe 0 OC OC 4 2 2 2
2 2 4 2 3 0 0 1 2 1 2 c c c e c e 和 为了使误差最小，须使 ：
完备正画凱集,帕塞瓦尔定捏(p330) 若用正交菡数集g(t)在区阆(1,2)近似 表示函数f():f(1)≈∑crg,(t) 方均误差为 ∫[f()-∑ C8,(t)]2at =0 f2(1)h=∑c,2→帕塞瓦尔定理
*完备正交函数集，帕塞瓦尔定理(p330) ( ) : ( ) ( ) ( ) , ) 1 1 2 f t f t c g t g t t t r n r r r 表示函数 若用正交函数集 在区间（ 近似 方均误差为： f t c g t dt t t t t n r r r 2 1 2 1 2 [ ( ) ( )] 1 2 1 lim 0 2 n 1 2 2 2 1 ( ) r r t t f t dt c 帕塞瓦尔定理
傅里叶生平 1768年生于法 ·1807年提出“惺何周 期信号都可用正载画 数級数表示” 1829年秋里赫剩第一 个给出收斂条件 ·拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热 的分析理论”中
傅里叶生平 • 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表“热 的分析理论”中
傅豆叶的面个最主要的贡献 “周期信号都可森示为澉诰波兵系的 正猴信号的加权和”—傅里叶的 第一个主要论点 “旅周期信号都可用正猴信号的加 权积分森杀” 傅里叶的第二个主要论点
傅立叶的两个最主要的贡献—— • “周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和”——傅里叶的 第一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
