第四章连续时间与 信号的s域分析 学习要点: 1.掌握拉普拉斯变换分析技术的基本概念和计算,尤其要注意应用 2.掌握部分分式分解定理在拉普拉斯逆变换中的应用; 3.掌握基本元件和电路定律的s域模型; 4.掌握线性电路和用微分方程描述的线性系统的s域分析法; 5.理解系统函数的意义和性质,并掌握零极点概念及其分布对系统 特性,尤其是对稳定性的影响。 开始结束
开始 结束 第四章 连续时间与 信号的s域分析 学习要点： 1. 掌握拉普拉斯变换分析技术的基本概念和计算，尤其要注意应用 性质来计算一些常用信号的频谱； 2. 掌握部分分式分解定理在拉普拉斯逆变换中的应用； 3. 掌握基本元件和电路定律的s域模型； 4. 掌握线性电路和用微分方程描述的线性系统的s域分析法； 5. 理解系统函数的意义和性质，并掌握零极点概念及其分布对系统 特性，尤其是对稳定性的影响
上海海事大学 Shanghal Maritime University §41拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换的定义 ■尽管奇异函数的使用扩大了傅里叶变换的应用范 围,仍有不少常见信号,例如指数增长因果信号, 不存在傅里叶变换。为了进一步扩大傅里叶变换 应用范围,先把信号进行恰当的指数衰减,然后 对它进行傅里叶变换。这就产生了如下定义的拉 普拉斯变换( Laplace Transformation,简写LT) ■因果信号f()0≤1<+的拉普拉斯变换F(s)定义为 F(s=f(e"dt 其中,S=σ+j0称为复频率 合U4X
X § 4-1 拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换的定义 ◼ 尽管奇异函数的使用扩大了傅里叶变换的应用范 围，仍有不少常见信号，例如指数增长因果信号， 不存在傅里叶变换。为了进一步扩大傅里叶变换 应用范围，先把信号进行恰当的指数衰减，然后 对它进行傅里叶变换。这就产生了如下定义的拉 普拉斯变换（Laplace Transformation，简写LT）。 ◼ 因果信号 的拉普拉斯变换 定义为 其中， 称为复频率 f (t), 0 t + F(s) ( ) ( ) + − = 0 F s f t e dt st s = + j
上海海事大学 Shanghal Maritime University §41拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换的定义 F(S实际上就是指数加权后的因果信 号emf( 0≤t<+o 的FT。因此,求(s)的 逆FT,就可得到m八(),并进而得到因果信 号f(),即 +oo se do 2丌 2丌 f()÷F(s) F()=/(k LT是把因果连续信号表示为无限多个幅度无 穷小、频率连续变化的指数衰减的复正弦 信号的叠加(积分)。 合U4X
X § 4-1 拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换的定义 实际上就是指数加权后的因果信 号 ，的FT。因此，求 的 逆FT，就可得到 ,并进而得到因果信 号 ，即 LT是把因果连续信号表示为无限多个幅度无 穷小、频率连续变化的指数衰减的复正弦 信号的叠加（积分）。 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 t j j t st j e f t F s e d F s e ds j + + − − = = F(s) ( ) ( ) + − = 0 F s f t e dt st f t F s ( ) ( ) ( ) + − e f t t t , 0 F(s) e f (t) −t f (t)
上海海事大学 Shanghal Maritime University §41拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换的定义 ■本书介绍的LT仅对因果信号有定义,非因果信号应用双边 LT。物理信号都是自接入时刻后才对系统起作用,而物 理可实现系统又必须是因果系统。 ■由LT的定义式知,其存在的充分条件是ef(为绝对可 积函数,即 Jo /e f(t)dt X
X § 4-1 拉普拉斯变换 1.拉普拉斯变换的定义 ◼ 本书介绍的LT仅对因果信号有定义，非因果信号应用双边 LT。物理信号都是自接入时刻后才对系统起作用，而物 理可实现系统又必须是因果系统。 ◼ 由LT的定义式知，其存在的充分条件是 为绝对可 积函数，即 ◼ 这使得增长速度不快于指数增长函数的信号都存在LT。使 LT收敛的取值范围称为LT的收敛域。 ◼ 拉普拉斯变换的缺点是：不象傅里叶变换有明确的物理意 义，它没有明确的物理意义。复频率更多的是数学意义。 ( ) 0 t e f t dt + − + ( ) t e f t −
上海海事大学 拉氏变换的收敛 收敛域:使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为:Roc( region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件 limf(tea=0(0>0o t→00 收敛轴 数区 收敛坐标 合U4X
X 拉氏变换的收敛 lim ( )e 0 ( 0 ) σ t t f t σ σ − → = 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； O σ jω σ0 收敛坐标 收敛轴 收敛区
海事大学 例题及说明 L满足m/(=0>0)的信号成为指数阶信号 t→)0 2有界的非周期信号的抵变换一定存在 3.limte=00>0 t→0 at-ot ne e =0(>a →0 5等信号比指数函数增长快,找不到收敛坐标 为非指数阶信号,无湖进行拉氏变换。 6一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。 合U4X
X 例题及说明 1.满 足lim f (t)e t 0(σ σ0 )的信号成为指数阶信号； t = − → 3.lim e = 0 ( 0) − → n t t t ( α ) t t t = − → 4.lime e 0 6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 2 5.e t 2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
上海海事大学 Shanghal Maritima tn Jo J 极点 c 收敛轴 c 右边信号的ROC左边信号的ROC双边信号的ROC 右边信号的收敛域是右边收敛 左边信号的收敛域是左边收敛; 双边信号的收敛域是带状收敛。 收敛域不包含收敛轴,不包含极点。 合U}X
X 右边信号的ROC j 0 - × 收敛轴 极点 左边信号的ROC j 0 × 右边信号的收敛域是右边收敛； 左边信号的收敛域是左边收敛； 双边信号的收敛域是带状收敛。 收敛域不包含收敛轴，不包含极点。 j 0 × b 双边信号的ROC
上海海事大学 Shanghal Maritime University 举例: e2l(t):a>-2; e2l(-):a<2 e2l(-t)+elu(t):-1<σ<2 合U4X
X 举例： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 2; : 2; : 1 2; t t t t e u t e u t e u t e u t − − − − − + −
上海海事大学 Shanghal Maritime University §41拉普拉斯变换 2.典型信号的拉普拉斯变换 (1)单位冲激信号 )1,任何S (2)阶跃信号 u(t)0 合U4X
X § 4-1 拉普拉斯变换 2.典型信号的拉普拉斯变换 （1）单位冲激信号 （2）阶跃信号 (t)1, 任何s ( ) 1 u t 0 s
上海海事大学 Shanghal Maritime University §41拉普拉斯变换 2.典型信号的拉普拉斯变换 (3)因果指数信号 f(t) e u(t) JO s平面 +0-(a+ s+a o>-d f(t) X
X § 4-1 拉普拉斯变换 2.典型信号的拉普拉斯变换 （3）因果指数信号 ( ) ( ) 0 0 1 t st s t F s e e dt e dt s + − − + − + = = = + − 0 t f(t) 1 e αt u(t) 0 t f(t) 1 e -αt 0 σ jω s平面 0 -α jω σ F(s)的 收敛域 α