第二十章Logistic回归分析 第13章介绍的多重线性回归研究一个正态随机因变量Y与一组自变量X=(X, X2,X。)的数量关系。其应用的前提条件是：Y与X呈线性关系：各个体观测资料 彼此独立：各X处的Y呈正态分布：不同X处Y的方差相等。医学中还常研究二分类因变 量（如患病与未患病、阳性与阴性等）或多分类因变量Y与一组自变量(X,X2,X,) 的关系，线性回归分析方法就无能为力。logistic回归分析则是处理该类资料的有效方法。 本章将主要介绍二分类因变量的og空tc回归分析，对于多分类因变量的logistic回归分析 方法，请参考有关专著。 第一节ogtc回归模型 一、logistic回归模型 例20-1为探讨超重和肥胖对高血压病的影响，2004年，某研究者采用整群抽样的方法， 对某地6个镇35周岁以上的常住人口进行高血压普查，同时收集了身高、体重等相关信息。 体质指数BM≥25判为“超重或肥胖”，BM<25为“正常”；收缩压≥140mmg 和（或）舒张压≥90mmg判为“高血压”。整理后资料见表20-1。记样本患病率为P,是 相应总体概率π的估计值：自变量X为体质指数，赋值为1与0，X=1表示“超重或肥胖”， X=0表示“正常”：因变量Y为是否患病，Y=1表示“患病”，Y=0表示“未患病”。 表20-1不同体质指数组高血压患病* 体质指数(X)调查人数患病(Y=1)未患病(Y-0)患病率(%) 正常 (X-0)6792 1331 5461 19.60 超重或肥胖(X-1)4148 1656 2492 39.92 合计 109402987 7953 27.30 该研究旨在建立高血压志病率与体质指数间的数量关系模型，估计超重与肥胖对高血压 患病的风险。由于因变量Y为二分类变量，不满足线性回归分析条件，首先对π进行数据
第二十章 Logistic 回归分析 第 13 章介绍的多重线性回归研究一个正态随机因变量 Y 与一组自变量 X =（ X1 ， X2 ，．．．， X p ）的数量关系。其应用的前提条件是： Y 与 X 呈线性关系；各个体观测资料 彼此独立；各 X 处的 Y 呈正态分布；不同 X 处 Y 的方差相等。医学中还常研究二分类因变 量（如患病与未患病、阳性与阴性等）或多分类因变量 Y 与一组自变量（ X1，X2 ，．．．，X p ） 的关系，线性回归分析方法就无能为力。 logistic 回归分析则是处理该类资料的有效方法。 本章将主要介绍二分类因变量的 logistic 回归分析，对于多分类因变量的 logistic 回归分析 方法，请参考有关专著。 第一节 logistic 回归模型 一、 logistic 回归模型 例20-1 为探讨超重和肥胖对高血压病的影响，2004年，某研究者采用整群抽样的方法， 对某地6个镇35周岁以上的常住人口进行高血压普查，同时收集了身高、体重等相关信息。 体质指数 BMI 25 判为“超重或肥胖”， BMI 25 为“正常”；收缩压≥140 mmHg 和(或)舒张压≥90 mmHg 判为“高血压”。整理后资料见表20-1。记样本患病率为 P ，是 相应总体概率 的估计值；自变量 X 为体质指数，赋值为1与0，X = 1 表示“超重或肥胖”， X = 0 表示“正常” ；因变量 Y 为是否患病， Y = 1 表示“患病”，Y = 0 表示“未患病”。 表20-1 不同体质指数组高血压患病率 体质指数（ X ） 调查人数 患病（ Y =1） 未患病（ Y =0） 患病率（%） 正常 （ X =0） 6792 1331 5461 19.60 超重或肥胖（ X =1） 4148 1656 2492 39.92 合计 10940 2987 7953 27.30 该研究旨在建立高血压患病率与体质指数间的数量关系模型，估计超重与肥胖对高血压 患病的风险。由于因变量 Y 为二分类变量，不满足线性回归分析条件，首先对 进行数据
变换： g)-N子2Na 这个变换将取值在0-1间的π值转换为值域在(-0，+0)的og1(π)值。 现在，建立ogi(π)与X的线性模型。 logi(π)=B。+Bx (20-1a) 或 nOdd)=B。+x (20-1b) 或 (20-1c) 变换式(201c),得 e4m π (20-2) e(B+m) 求解π，得 π=1+e (20-3) =1+e讽*西 (20-4) 因为(20-3)和(20-4)式的右端在数学上属于0g5tic函数，所以式(20-1a)、(20-1b) (20-3)与(204)均称为单个自变量的0g5stic回归模型。 若自变量扩展到P个，X=(X1,X2,X。),则多个自变量的logs回归模 型为 log(π)=B。+月X1+.+BX。 (20-5a) 或 M(Ods)=B。+BX1+.+p,Xp (20-5b) 会)=A+BX++B,X, (20-5c) e+++BeXp） π= 1+e%+6++mxp) 20.5d 1 π=1+eA+A++可 (20-5e)
变换： ) ln( ) 1 log it( ) ln( = Odds − = 这个变换将取值在 0-1 间的 值转换为值域在（- ，+ ）的 log it( ) 值。 现在，建立 log it( ) 与 X 的线性模型。 log it() = 0 + X （20-1a） 或 ln(Odds) = 0 + X （20-1b） 或 X = + − 0 ) 1 ln( （20-1c） 变换式（20-1 c），得 ( ) 0 1 X e + = − （20-2） 求解 ，得 ( ) ( ) 0 0 1 X X e e + + + = （20-3） 或 ( ) 0 1 1 X e − + + = （20-4） 因为（20-3）和（20-4）式的右端在数学上属于 logistic 函数，所以式（20-1a）、（20-1 b）、 （20-3）与（20-4）均称为单个自变量的 logistic 回归模型。 若自变量扩展到 P 个， X = （ X1， X2 ，．．．， X p ），则多个自变量的 logistic 回归模 型为 X p X p log it( ) = 0 + 1 1 ++ （20-5 a） 或 Odds = 0 + 1X1 ++ p X p ln( ) （20-5 b） 或 X p X p = + + + − ) 0 1 1 1 ln( （20-5c） 或 ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 P P P P X X X X e e + + + + + + + = （20-5d） 或 ( ) 0 1 1 1 1 X P XP e − + + + + = （20-5e）
其中，B。为常数项（截距），B、B2、···B。为回归系数。 二、模型参数的意义 类似线性回归，B。表示模型中所有自变量均为0时，og(π)的值：回归系数B,表示 在控制其他自变量时，自变量X,变化一个单位所引起og(π)的改变量。 根据模型式(20-1b),我们有优势的表达式 Odds =e) 例20-1中，“超重或肥胖”组(X=1)志高血压的优势为 Odds,=eA+BM=e民+Bm, “正常”组(X=0)患高血压的优势为 Oddso=e)e, 两组的优势比(odds ratio,OR)为 OR=odds oddso ea=em 一般地，根据多个自变量的logistic回归模型，在其他变量取值不变的情形下，与变量 X,的二个水平C,与C2(C2>C,)相对应的事件的优势比为 OR=e(C-G) (20-6) 当X,的二个水平相差1个单位时，OR=e,h(OR,)=B,: 可见，0gtc回归模型的参数B,就是在其他变量取值不变的情形下，X,增加1个单 位后与增加前相比较，事件的优势比。 1g5c回归分析广泛用于流行病学中前瞻性的队列研究、回顾性的病例-对照研究以及 现况研究。研究中，当变量X,的回归系数B,>0时，X,增加1个单位后与增加前相比， 事件的优势比OR,>1,表明与X,相应的因素为危险因素：B<0时，X,增加1个单位 后与增加前相比，事件的优势比OR,<1,表明与X,相应的因素为保护因素：B,=0,X, 增加1个单位后与增加前相比，事件的优势比OR,=1,表明与X,相应的因素对结果变量
其中， 0 为常数项（截距）， 1、 2、．．． P 为回归系数。 二、模型参数的意义 类似线性回归， 0 表示模型中所有自变量均为0时， log it( ) 的值；回归系数 j 表示 在控制其他自变量时，自变量 X j 变化一个单位所引起 log it( ) 的改变量。 根据模型式（20-1b），我们有优势的表达式 ( ) 0 X Odds e + = 例 20-1 中， “超重或肥胖”组（ X = 1 ）患高血压的优势为 ( 1) ( ) 1 0+ 0+ Odds = e = e ， “正常”组（ X = 0 ）患高血压的优势为 0 0 ( 0) 0 Odds = e = e + ， 两组的优势比(odds ratio, OR) 为 e e e odds odds OR = = = + 0 0 ( ) 0 1 一般地，根据多个自变量的 logistic 回归模型，在其他变量取值不变的情形下，与变量 X j 的二个水平 C1 与 C2 （ C2 C1 ）相对应的事件的优势比为 ( ) j C2 C1 OR e − = （20-6） 当 X j 的二个水平相差 1 个单位时， j OR e j = ，ln( ) OR j = j 。 可见， logistic 回归模型的参数 j 就是在其他变量取值不变的情形下，X j 增加 1 个单 位后与增加前相比较，事件的优势比。 logistic 回归分析广泛用于流行病学中前瞻性的队列研究、回顾性的病例-对照研究以及 现况研究。研究中，当变量 X j 的回归系数 j 0 时， X j 增加 1 个单位后与增加前相比， 事件的优势比 OR j 1，表明与 X j 相应的因素为危险因素； j 0 时， X j 增加 1 个单位 后与增加前相比，事件的优势比 OR j 1，表明与 X j 相应的因素为保护因素； j = 0 ，X j 增加 1 个单位后与增加前相比，事件的优势比 OR j = 1，表明与 X j 相应的因素对结果变量
不起作用。 第二节logistic回归的参数估计及假设检验 一、1 ogistic回归的参数估计 logs心回归模型中的参数R。、B,、B2、···Bp需要通过样本资料，按照一定方 法进行估计，估计量记为，、b、b,、···b。·参数估计方法有多种，极大似然估计 (Maximum likelihood estimate,MLE)最为常用，其基本思想是选择能有最大概率 获得当前样木的参数值作为参数的估计值。 假设n例观察对象彼此独立，其自变量为X=(X,X;,X),因变量为Y(0-1 变量)，i=1,2,n。对于第i个体，给定X时，出现观察结果y(0或1)的概率为： 1 1 PK)=+ea'L- +e*时*4] 若y,=1,这个概率就是第一个方括号：若Y=0,这个概率就是第二个方括号。 对于n个独立个体，给定自变量X时，出现当前观察结果Y,(1=1,2,n)的概率 为上述n个概率的乘积 PX,2,yX,X2,.X")=Π 1 1 +e**5]- +e4] 称为似然函数(ikehood function),记为L。求解B,B,B,P。,使似然函数L达到极 大，或使似然函数的对数nL达到极大，这样得到的解记为b,b,b2,.,b。,称为参数 B,B,B2,.,B。的极大似然估计值。 二、假设检验和回归系数的区间估计 1.假设检验 由样本估计参数，并建立了logistic回归方程后，参数的估计值b,≠0（广=1,2.p)
不起作用。 第二节 logistic 回归的参数估计及假设检验 一、 logistic 回归的参数估计 logistic 回归模型中的参数 0 、 1、 2、．．． P 需要通过样本资料，按照一定方 法进行估计，估计量记为 0 b 、 1 b 、 2 b 、．．． p b 。参数估计方法有多种，极大似然估计 （ Maximum likelihood estimate， MLE ）最为常用，其基本思想是选择能有最大概率 获得当前样本的参数值作为参数的估计值。 假设 n 例观察对象彼此独立，其自变量为 = i X （ i X1 ， i X 2 ，．．．， i X p ），因变量为 Yi （0-1 变量），i =1,2, ,n 。对于第 i 个体，给定 i X 时，出现观察结果 Yi （0或1）的概率为： i i P p i i i P p i Y X X Y X X i i e e P Y X − − + + + − + + + + − + = 1 ( ) ( ) ] 1 1 ] [1 1 1 ( ) [ 0 1 1 0 1 1 ， 若 Yi =1 ，这个概率就是第一个方括号；若 Yi = 0 ，这个概率就是第二个方括号。 对于 n 个独立个体，给定自变量 i X 时，出现当前观察结果 Yi （ i =1,2, ,n ）的概率 为上述 n 个概率的乘积 = − − + + + − + + + + − + = n i Y X X Y X X n n i i P p i i i P p i e e P Y Y Y X X X 1 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 ] 1 1 ] [1 1 1 ( , , , , , ) [ 0 1 1 0 1 1 称为似然函数(likelihood function)，记为 L 。求解 p , , , , 0 1 2 ，使似然函数 L 达到极 大,或使似然函数的对数 ln L 达到极大，这样得到的解记为 b b b bp , , , , 0 1 2 ，称为参数 p , , , , 0 1 2 的极大似然估计值。 二、假设检验和回归系数的区间估计 1. 假设检验 由样本估计参数，并建立了 logistic 回归方程后，参数的估计值 bj 0 （ j =1，2 . p ）
并不一定意味者参数阝，≠0，也不一定意味着回归方程就成立，还需通过假设检验才能 作出推断。 与l0g5sc回归分析有关的假设检验包括两个内容：一是检验整个模型，即检验因变量 与自变量之间的关系能否用所建立的回归方程来表示：二是检验单个回归系数是否为0，即 检验单个自变量对因变量的影响是否存在。最常用的检验方法有似然比检验和Wld检验。 (I)似然比检验(ikelihood ratio test) 似然比检验常用于对整个模型的检验，检验的假设为 H。:所有自变量的总体回归系数均为0 H,:自变量的总体回归系数不全为0 假设模型A含有p个自变量，相应的达到极大的对数似然函数值记为山L。:模型B是 在模型A的P个自变量基础上新加入一个或几个自变量，自变量个数变为I,其相应的达到 极大的对数似然函数值记为山L·通过比较模型A与模型B的极大似然函数值，构建似然 比检验统计量G, G=2(In L-In Lo) (20-7) 如果说，极大对数似然函数值nL。和nL分别度量p个自变量和I个自变量模型“似然” 的程度，那么，统计量G度量的则是增加1-P个自变量后，模型“似然”程度的增量。 可以证明，在H。成立的条件下，如果样本量较大，G近似地服从自由度为1-P的x2分 布，(20-7)亦常记为x2-2nL1-nL)。 (2)Wald检验(Wald test) Wald检验可用于对单个回归系数的检验，检验的假设为 Ho:B,=0 H1:B,≠0 Wald检验统计量为
并不一定意味着参数 j 0 ，也不一定意味着回归方程就成立，还需通过假设检验才能 作出推断。 与 logistic 回归分析有关的假设检验包括两个内容：一是检验整个模型，即检验因变量 与自变量之间的关系能否用所建立的回归方程来表示；二是检验单个回归系数是否为 0，即 检验单个自变量对因变量的影响是否存在。最常用的检验方法有似然比检验和 Wald 检验。 （1）似然比检验（ likelihood ratio test ） 似然比检验常用于对整个模型的检验，检验的假设为 H0 ：所有自变量的总体回归系数均为 0 H1 ：自变量的总体回归系数不全为 0 假设模型 A 含有 p 个自变量，相应的达到极大的对数似然函数值记为 0 ln L ；模型 B 是 在模型 A 的 p 个自变量基础上新加入一个或几个自变量，自变量个数变为 l ，其相应的达到 极大的对数似然函数值记为 1 ln L 。通过比较模型 A 与模型 B 的极大似然函数值，构建似然 比检验统计量 G ， 2(ln ln ) G = L1 − L0 （20-7） 如果说，极大对数似然函数值 0 lnL 和 1 ln L 分别度量 p 个自变量和 l 个自变量模型“似然” 的程度，那么，统计量 G 度量的则是增加 l − p 个自变量后，模型“似然”程度的增量。 可以证明，在 H0 成立的条件下，如果样本量较大， G 近似地服从自由度为 l − p 的 2 分 布，（20-7）亦常记为 2(ln ln ) 1 0 2 = L − L 。 （2） Wald 检验（ Wald test ） Wald 检验可用于对单个回归系数的检验，检验的假设为 H0 ： j = 0 H1： j 0 Wald 检验统计量为
(20-8) 等价于 2=,=1 (20-9) 可以证明，在H。成立的条件下，如果样本量较大，Z近似地服从标准正态分布N(0,), x2近似地服从自由度为1的x2分布。 2.回归系数的区间估计 己知b的抽样分布近似地服从正态分布，根据正态分布理论，总体回归系数B的(1-α) 置信区间为b±Z.12S。,则OR的估计值为e,(I-a)置信区间为 e(bZanS,) (20-10) 3.实例：假设检验和参数估计（基于SAS的输出） (1)关于模型的似然比检验 模型中仅有常数项（回归系数B=0)时，nL。=6413.618,加入自变量X后， hL,=6150.751,似然比统计量 G=2nL1-nL)=2(-6150.751)-(-6413.618)=525.733 P<0.0001,拒绝H。,可以认为所建立的ogistic回归方程是有意义的。 (2)关于参数的Wa1d检验及OR的置信区间 表20-2参数估计、Wald检验和OR 变量参数估计值 OR95%置信区 S。Waldx2P值 OR 名 b 间 常数 -1.41170.03062132.7414<0.0001 项 X1.00300.0440518.6950<0.00012.7272.501-2.972 由表20-2，b。=-1.4117,b=1.0030,可以立即写出l0 gistic回归方程 =-147+100x
Sb b Z − 0 = （20-8） 等价于 2 2 ( ) Sb b = ， =1 （20-9） 可以证明，在 H0 成立的条件下，如果样本量较大， Z 近似地服从标准正态分布 N(0,1) ， 2 近似地服从自由度为 1 的 2 分布。 2. 回归系数的区间估计 已知 b 的抽样分布近似地服从正态分布，根据正态分布理论，总体回归系数 的 (1−) 置信区间为 b Z / 2 Sb ，则 OR 的估计值为 b e ，(1−) 置信区间为 ( ) b Z / 2 Sb e （20-10） 3．实例：假设检验和参数估计（基于SAS的输出） （1）关于模型的似然比检验 模型中仅有常数项（回归系数 = 0 ）时， ln L0 = −6413.618 ，加入自变量 X 后， ln L1 = −6150.751，似然比统计量 G = 2(ln L1 − ln L0 ) = 2[(−6150.751) − (−6413.618)] = 525.733 P <0.0001，拒绝 H0 ，可以认为所建立的 logistic 回归方程是有意义的。 （2）关于参数的Wald检验及 OR 的置信区间 表20-2 参数估计、Wald检验和 OR 变量 名 参数估计值 b b S Wald 2 P 值 OR OR 95%置信区 间 常数 项 -1.4117 0.0306 2132.7414 <0.0001 X 1.0030 0.0440 518.6950 <0.0001 2.727 2.501~2.972 由表 20-2，b0 = −1.4117 ，b =1.0030 ，可以立即写出 logistic 回归方程 X p p ) 1.4117 1.0030 1 ln( = − + −
e-1411741.0030x) p=1+e-14mLo0西 左端我们写的是P而不是π，这是因为右端的系数是,和b,而不是B。和B,表明这里 的Logistic回归方程是根据样本资料对理论模型的估计。 对单个回归系数进行Wald检验，Wald统计量x2=518.6950,P<0.0001,可以认为 超重或晒胖对高血压病有影响。OR估计值为 0R=e5=e00=2.727 OR的95%置信区间为 e(bZun:s。)=e0030t196040=2s01,297m 这个置信区间并不包含1，上下限均大于1，再次表明，超重或肥胖是高血压病的危险因素， 4.实例：自变量筛选（基于SAS的输出） 例202为研究居民两周患病未治疗的影响因素，采用多阶段分层整群抽样，对某地 1790名农村居民进行了入户调查。调查内容包括性别（男0，女：1）、年龄(<5岁：1,5 岁2,15岁3,45岁-4,65岁5)、年人均收入（不低于平均水平0，低于平均水平1）、 医疗保障（有：0，无：1）、距就近医疗点时间(<10分钟：1,10分钟2,30分钟3)、自 感疾病严重程度（不严重：1，一般：2，严重3）、发病时间（急性病两周内发生：1，急性病 两周前发生延续到两周内2，慢性病持续到两周内：3、就诊（就诊：0，未就诊1）。11790 名居民中，调查前二周患病者1649人，其中未就医者720人，患者有关资料整理结果见表 20-3. 表20-3某地二周患病者门诊医疗卫生服务利用影响因素资料 忠者性别年龄年人均收入医疗保障 距就近医自感疾病发病 就诊 疗点时间严重程度时间 编号 X X2 X X。X, y 1 1 ￥ 0 2 3 0
或 ( 1.4117 1.0030 ) ( 1.4117 1.0030 ) 1 X X e e p − + − + + = 左端我们写的是 p 而不是 ，这是因为右端的系数是 0 b 和 1 b ，而不是 0 和 1 ，表明这里 的 Logistic 回归方程是根据样本资料对理论模型的估计。 对单个回归系数进行 Wald 检验， Wald 统计量 2 =518.6950，P <0.0001， 可以认为， 超重或肥胖对高血压病有影响。OR 估计值为 2.727 ˆ 1.0030 OR = e = e = b OR 的 95%置信区间为 = = ( ) (1.00301.960.0440) / 2 e e b Z Sb (2.501, 2.972) 这个置信区间并不包含 1，上下限均大于 1，再次表明，超重或肥胖是高血压病的危险因素。 4．实例：自变量筛选（基于SAS的输出） 例 20-2 为研究居民两周患病未治疗的影响因素，采用多阶段分层整群抽样，对某地 11790 名农村居民进行了入户调查。调查内容包括性别（男:0 ，女:1）、年龄（<5 岁:1，5 岁-:2，15 岁-:3 ，45 岁-:4 ，65 岁-:5 ）、年人均收入（不低于平均水平:0，低于平均水平:1）、 医疗保障（有:0 ，无:1）、距就近医疗点时间（<10 分钟:1，10 分钟-:2，30 分钟-:3） 、自 感疾病严重程度（不严重:1，一般:2，严重:3）、发病时间（急性病两周内发生:1，急性病 两周前发生延续到两周内:2，慢性病持续到两周内:3）、就诊（就诊：0，未就诊:1）。11790 名居民中，调查前二周患病者 1649 人，其中未就医者 720 人，患者有关资料整理结果见表 20-3。 表 20-3 某地二周患病者门诊医疗卫生服务利用影响因素资料 患者 编号 性别 年龄 年人均收入 医疗保障 距就近医 疗点时间 自感疾病 严重程度 发病 时间 就诊 X1 X2 X 3 X4 X 5 X 6 X7 Y 1 1 4 0 1 2 2 3 1 2 1 4 0 1 1 2 3 0 3 0 4 0 1 1 3 3 0 4 0 3 1 1 2 1 1 0
2 1 0 1645 0 1646 0 4 1647 1 2 1648 4 2 1649 0 5 0 2 2 3 “发病时间”虽为有序多分类变量资料，但目前尚不能确定表203中赋值是否可真实 反映其测度，故以最高值为参照水平，产生2个哑变量。 “发病时间”哑变量： X Xn 1 1 0 0 1 3 0 0 与多重线性回归类似，多因素0g$回归同样存在对自变量的筛选问题，即按事先规 定的检验水平，利用固定的算法，将具有统计意义的变量逐步选入模型，不具有统计意义的 变量剔除在模型外。具体方法有前进法、后退法、逐步法，但检验统计量不再是线性回归中 的F统计量，而是前述的似然比检验统计量G(或x2)、ald统计量等。 本例采用后退法（α=0.05）进行变量筛选。 ()利用似然比检验筛选自变量 表20-4逐步回归过程及模型检验 步骤剔除变量 模型似然比检验x2值自由度 P值 0 无剔除变量 98.9711 8 <0.0001 1 2160.468 98.8693 7 <0.0001 2 X 2160.569 98.7621 6 <0.0001 3 2160.676 96.1755 <0.0001
5 1 3 1 1 2 1 1 0 ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． 1645 0 4 1 1 2 2 1 0 1646 0 4 1 1 3 3 3 0 1647 1 5 1 1 2 2 3 1 1648 1 4 1 1 2 2 1 0 1649 0 5 0 1 2 2 3 1 “发病时间”虽为有序多分类变量资料，但目前尚不能确定表 20-3 中赋值是否可真实 反映其测度，故以最高值为参照水平，产生 2 个哑变量。 “发病时间”哑变量： X7 X 71 X72 1 1 0 2 0 1 3 0 0 与多重线性回归类似，多因素 logistic 回归同样存在对自变量的筛选问题，即按事先规 定的检验水平，利用固定的算法，将具有统计意义的变量逐步选入模型，不具有统计意义的 变量剔除在模型外。具体方法有前进法、后退法、逐步法，但检验统计量不再是线性回归中 的 F 统计量，而是前述的似然比检验统计量 G （或 2 ）、Wald 统计量等。 本例采用后退法（ =0.05）进行变量筛选。 (1) 利用似然比检验筛选自变量 表 20-4 逐步回归过程及模型检验 步骤 剔除变量 -2 ln L 模型似然比检验 2 值 自由度 P 值 0 无剔除变量 98.9711 8 <0.0001 1 X 3 2160.468 98.8693 7 <0.0001 2 X 5 2160.569 98.7621 6 <0.0001 3 X1 2160.676 96.1755 5 <0.0001
4 X 2163.263 93.3326 4 0.05,X,可剔除。此时，模型似然比检验X2=2259.439-2160.569-9887,P0.05,但这2 个哑变量应作为一个整体进行筛选。 进入模型的变量有X2、X6、X、X2,相应的OR估计值分别为1262、0.544、0.606 和0.712,0R的95%置信区间分别为(1.128,1.412)、(0.468,0.632)、(0.480,0766) 和(0.495,1.022)，故可以认为年龄X2、自感疾病严重程度X6和发病时间X,是两周患 病者就诊的影响因素。 最终得到的logistic回归方程为：
4 X4 2163.263 93.3326 4 0.05，X 3 可剔除。此时，模型似然比检验 2 =2259.439-2160.569=98.87，P 0.05，但这 2 个哑变量应作为一个整体进行筛选。 进入模型的变量有 X2 、X 6、X 71、X72 ，相应的 OR 估计值分别为 1.262、0.544、0.606 和 0.712，OR 的 95%置信区间分别为（1.128，1.412）、（0.468，0.632）、（0.480，0.766） 和（0.495，1.022），故可以认为年龄 X2 、自感疾病严重程度 X 6 和发病时间 X7 是两周患 病者就诊的影响因素。 最终得到的 logistic 回归方程为:
HP=0.4673+02327X,-06089X。-05004X1-03403Xn e0.4673402327X-0.6089X-0.504K,1-0.3403X pF1+e046a3,w,wo可 第三节条件ogistic回归模型 医学研究中，常采用匹配设计，即为病例组的每一个研究对象匹配一个或几个有同样特 征的未患病者，作为该病例的对照，这样，除了研究因素外，病例与对照的其他特征相同， 从而消除“其他特征”的混杂作用。常用的匹配形式为1：山，即一个病例匹配1个对照。 1.1:1配对设计的条件0gstc回归模型 设有n对独立的观察对象，每个对子含两个人，第1个已经患病，第2个没有患病：自 变量为X,第1层第1个人的自变量记为X,“第2个人的自变量记为X0。 表20-61：1配对设计数据的一般格式 病例 对照 配对号 1 1 0 2 X2 1 X20 0 . n X 1 根据(203)式的模型，在任何一层，第1个人患病的概率和未患病的概率分别为 e(bo+ar:) 元=1十eA+而 和1-元=1十e风而 第2个人患病的概率和未患病的概率分别为
2 6 71 3403 72 ) 0.4673 0.2327 0.6089 0.5004 0. 1 ln( X X X X p p = + − − − − 或 (0.4673 0.2327 0.6089 0.5004 0.3403 ) (0.4673 0.2327 0.6089 0.5004 0.3403 ) 2 6 7 1 7 2 2 6 7 1 7 2 1 X X X X X X X X e e p + − − − + − − − + = 第三节 条件 logistic 回归模型 医学研究中，常采用匹配设计，即为病例组的每一个研究对象匹配一个或几个有同样特 征的未患病者，作为该病例的对照，这样，除了研究因素外，病例与对照的其他特征相同， 从而消除“其他特征”的混杂作用。常用的匹配形式为 1:1，即一个病例匹配 1 个对照。 1．1:1 配对设计的条件 logistic 回归模型 设有 n 对独立的观察对象，每个对子含两个人，第 1 个已经患病，第 2 个没有患病；自 变量为 X ，第 i 层第 1 个人的自变量记为 Xi1 ，“第 2 个人的自变量记为 Xi0 。 表 20-6 1:1 配对设计数据的一般格式 配对号 病例 对照 X Y X Y 1 X11 1 X10 0 2 X21 1 X20 0 ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． n X n1 1 Xn0 0 根据（20-3）式的模型，在任何一层，第 1 个人患病的概率和未患病的概率分别为 ( ) ( ) 1 0 1 0 1 1 X X e e + + + = 和 1 ( ) 0 1 1 1 1 X e + + − = 第 2 个人患病的概率和未患病的概率分别为