第三章 系统的稳定性 1
1 第三章 系统的稳定性
(1)系统分析 ·定量分析：求解系统的状态状态方程 ●定性分析：系统的性质与系统结构参数之间的关系。包括 系统的稳定性 系统的能控性和能观性 (2)系统的稳定性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 系统稳定性有两种 ·内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 ●外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统的输出的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系 2
2 ⑴ 系统分析 定量分析：求解系统的状态状态方程 定性分析：系统的性质与系统结构参数之间的关系。包括 系统的稳定性 系统的能控性和能观性 实际系统正常工作的前提是系统必须是稳定的 系统稳定性有两种 内部稳定性：对应于系统的内部描述 是系统的状态的稳定性 外部稳定性：对应于系统的外部部描述 是系统的输出的稳定性 两种稳定性既有区别，又有内在的联系 ⑵ 系统的稳定性
(3)本章内容 ·稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫程稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 ·李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据 3
3 ⑶ 本章内容 稳定性：内部稳定性与外部稳定性，重点是内部稳定性 内部稳定性：渐近稳定性与李雅普诺夫程稳定性 内部稳定性常用判据：特征值稳定性判据 李雅普诺夫稳定性理论和方法 适用范围：线性系统、非线性系统和离散系统 常用的判据：李雅普诺夫函数法稳定性判据 李雅普诺夫方程稳定性判据
3.1线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系统 输入输出描述的稳定性。是有界输入有界输出稳定性，简称为 BBO稳定性。用系统的输入-输出描述判别。 定义考虑线性松弛的系统，如果由一个有界输入(t) u(t)≤un<o 对所有的1≥ 所产生的输出y0也是有界的，即 y(t)≤yn<o 对所有的t≥， 则称系统是BBO稳定的。 BBO稳定必须假定系统是松弛的，因为系统的输入输出 描述是在此假定下才有意义。 4
4 3.1 线性系统的外部稳定性 线性系统的外部稳定性或零状态响应的稳定性，是对应于系统 输入输出描述的稳定性 。是有界输入有界输出稳定性，简称为 BIBO稳定性。用系统的输入-输出描述判别。 定义 考虑线性松弛的系统，如果由一个有界输入 u(t) u( ) m t u 0 t t 所产生的输出 y(t)也是有界的，即 y( ) m t y 对所有的 0 对所有的 t t 则称系统是BIBO稳定的。 BIBO稳定必须假定系统是松弛的，因为系统的输入输出 描述是在此假定下才有意义
3.1.1单变量线性系统的BBO稳定性判据 (1)脉冲响应函数判据 定理3一1线性系统的输入输出描述是 y④=ngt,r)ut-t)dr (3 1) 则系统是BIBO稳定的充分必要条件是 lg,xldr≤M<o 式中，M是一个有限常数。 证明充分性：由式(3-1)，有 (=g(.)u(i-t)dr(u(-)dr ≤umg(t,rldr≤umM 所以，系统的输出是有界的 必要性：如果g(1,不是绝对可积的，则系统不是BIBO稳定的。 5
5 3.1.1 单变量线性系统的BIBO稳定性判据 ⑴ 脉冲响应函数判据 定理3－1 线性系统的输入输出描述是 t t y t g t u t d 0 ( ) ( , ) ( ) 则系统是BIBO稳定的充分必要条件是 g t d M t t0 ( , ) 式中，M是一个有限常数。 证明 充分性：由式（3－1），有 t m t m t t t t u g t d u M y t g t u t d g t u t d 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 所以，系统的输出是有界的 必要性：如果 g（t,不) 是绝对可积的，则系统不是BIBO稳定的。 （3－1） （3－2）
反证法 假设在某个时刻42，使 g(1,t)dr= 取输入 t-={ 当g(t,t)≥0 当g(t,t)<0 输入0是有界的，但是 y(t)=g(t,)u(t-t)dr=g(t,)dr= 输出)是无界的，系统不是BBO稳定的。 证毕 定理3一2对线性定常系统取，=g则其BBO稳定的充分必 要条件是 6lg(t)ldr≤M<oo 6
6 反证法 假设在某个时刻t1 t0，使 1 0 , ) t t g（t d 取输入 1 ( , ) 0 1 ( , ) 0 ( ) g t g t u t 当 当 输入 u(t)是有界的，但是 1 0 1 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) t t t t y t g t u t d g t d 输出 y(t)是无界的，系统不是BIBO稳定的。 定理3－2 对线性定常系统取 ，则其BIBO稳定的充分必 要条件是 0 t0 g t d M t 0 ( ) 证毕
(2)传递函数判据 定理3一3如果单变量线性定常系统的传递函数（堤正则（或 严格正则)有理函数，则其BBO稳定的充分必要条件为：(s) 的所有极点都具有负实部。 证明：若是正则有理函数，假定的P,是m,重极，点，则通过部 分分式展开后，必定包含因子 1 s-p,’(s-p,)2’(s-p,)m 它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下 列因子 eP,teP,…,tm-le 上列因子绝对可积的充分必要条件是，具有负实部，即系统 是BBO稳定的。 证毕 7
7 ⑵ 传递函数判据 定理3－3 如果单变量线性定常系统的传递函数 是正则(或 严格正则)有理函数，则其BIBO稳定的充分必要条件为： 的所有极点都具有负实部。 g(s) g(s) 证明：若是正则有理函数，假定的 是 重极点，则通过部 分分式展开后，必定包含因子 i p mi mi i i i s p s p (s p ) 1 , , ( ) 1 , 1 2 上列因子绝对可积的充分必要条件是 具有负实部，即系统 是BIBO稳定的。 证毕 i p 它们的拉氏反变换，或系统的单位脉冲响应响应地包含有下 列因子 p t p t m p t i i i e te t e 1 , , ,
3-1-2多变量线性系统的BIBO稳定性判据 将单变量系统的BBO稳定性条件推广到多变量系统： (1)脉冲响应函数判据 定理3一4线性时变多变量系统BBO稳定的充分必要条件是： 其单位脉冲响应阵Gt,x)的每一个元g(1,x)在[，)范围内是绝对 可积的。（证略) 定理3一5若线性定常多变量系统是松弛的，并取。0则系 统BIBO稳定的充分必要条件是：其单位脉冲响应阵G的每 一个元8()在，∞)范围内是绝对可积的。（证略) 2)传递函数判据 ●定理3一6对线性定常多变量系统，如果其传递函数阵G是正 则有理函数阵，BBO稳定的充分必要条件是：G(每一个元8，⊙) 的极，点（就是G(s)的极，点)都具有负实部。 8
8 3-1-2 多变量线性系统的BIBO稳定性判据 将单变量系统的BIBO稳定性条件推广到多变量系统： ⑴ 脉冲响应函数判据 定理3－4线性时变多变量系统BIBO稳定的充分必要条件是： 其单位脉冲响应阵 的每一个元 在 范围内是绝对 可积的。(证略) 定理3－5 若线性定常多变量系统是松弛的，并取 ，则系 统BIBO稳定的充分必要条件是：其单位脉冲响应阵 的每 一个元 在 范围内是绝对可积的。(证略) G(t, ) g t, ) i（j [ , ) t 0 0 t 0 G(t) g (t) ij [ , ) t 0 ⑵ 传递函数判据 定理3－6 对线性定常多变量系统，如果其传递函数阵 是正 则有理函数阵，BIBO稳定的充分必要条件是： 每一个元 的极点（就是 的极点）都具有负实部。 G(s) g (s) G(s) ij G(s)
BBO稳定的特征值判据（充分条件） 线性定常系统的状态空间描述是 (t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 则 Cadj(sI-A)B G(s)=C(sI-AB+D=dct(s Gs)的极，点必是A的特征值。 如果A的所有特征值具有负实部，则G(s)的所有极，点必定具 有负实部，则系统是BBO稳定的。 这只是充分条件，而不是必要条件。因为如果Cdsl-A)B与 dtsl-A)有公因子，即使公因子中包含有零或正实部，系统 也是BBO稳定的。 9
9 线性定常系统的状态空间描述是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y Cx Du x Ax Bu C I - A B I A G C I A B D ( ) det( ) 1 ( ) ( ) 1 adj s s s s 则 如果 的所有特征值具有负实部，则 的所有极点必定具 有负实部，则系统是BIBO稳定的。 G(s)的极点必是 的特征值。 A G(s) A 这只是充分条件，而不是必要条件。因为如果 与 有公因子，即使公因子中包含有零或正实部，系统 也是BIBO稳定的。 Cadj(sI A)B det(sI A) BIBO稳定的特征值判据（充分条件）
例3-1设系统的状态空间描述为 y-[1 1 的特征值为-1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为 8)=以-406= (s-2.5)_1 (s+1)s-2.5)(s+1) 8s)的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极，点-1，所以系 统是BIBO稳定的。 10
10 例 3-1 设系统的状态空间描述为 x x x 1 1 0 1 0 2.5 1 0 y u 的特征值为 -1与2.5，不全为负实部。而其传递函数为 ( 1) 1 ( 1)( 2.5) ( 2.5) ( ) ( ) 1 s s s s g s c sI A b 的一个极点2.5与零点对消，剩下一个负实极点 -1，所以系 统是BIBO稳定的。 g(s)
