第五章 最小实现 1
1 第 五 章 最 小 实 现
5.1引言 ●建立系统系统的状态空间描述的方法： 机理建模：系统的物理机理、结构和参数→系统的状态 空间描述 模型转换：系统的传递函数阵→系统的状态空间描述 根据系统的传递函数阵求取系统的状态空间描述的问题称为 实现。 ·定常系统的实现问题 ： 已知传递函数阵G,如果存在一个有限维的状态空间描述 (t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) (5-1) 式（⑤一1）的模型简单表示为(4，B,C,D),满足 G(s)=C(sI-A)B+D 则称(A,B,C,D)是G(s)的一个实现。 2
2 5.1 引 言 建立系统系统的状态空间描述的方法： 机理建模：系统的物理机理、结构和参数 系统的状态 空间描述 模型转换：系统的传递函数阵 系统的状态空间描述 根据系统的传递函数阵求取系统的状态空间描述的问题称为 实现。 定常系统的实现问题： 已知传递函数阵G(s)，如果存在一个有限维的状态空间描述 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y Cx Du x Ax Bu （5－1） 式(5—1)的模型简单表示为(A,B,C, D)，满足 G C I A B D 1 (s) (s ) 则称 (A,B,C, D)是G(s)的一个实现。
●实现研究的问题 1)G(s)可实现的条件 (2)G(s)实现的方法 ●最小实现 如果(A,B,C,D)是G(s)的一个实现，则其所有等价系统也都是其 实现。 G()可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实现。 它描述了系统的既能控又能观的部分。通常要求的实现为最小 实现。 ●本章内容： G(s)可实现的条件 最小实现的方法：单变量系统的最小实现 多变量系统的最小实现 3
3 实现研究的问题 ⑴ G(s)可实现的条件 ⑵ G(s) 实现的方法 最小实现 如果 是 的一个实现，则其所有等价系统也都是其 实现 。 (A,B,C, D) G(s) 本章内容： 可实现的条件 最小实现的方法：单变量系统的最小实现 多变量系统的最小实现 G(s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实现。 它描述了系统的既能控又能观的部分。通常要求的实现为最小 实现。 G(s)
5.2实现和最小实现 5.2.1G(s)可实现的条件 定理5一1G(s)可实现的充分必要条件是：G(s)是正则有理函数。 证明 必要性：若(A,B,C,D)是G(s)的一个实现，则有 G(s)=C(sI-A)B+D det(sI-A) C[adj(sI-A)]B+D 若D是非零阵，G(s)是正则有理函数 若D是零阵，G(s)是严格正则有理函数（是前者的特例) 所以如果可实现，则G(s)必定是正则有理函数（含严格正则)。 充分性：即若G(s)是正则有理函数，则存在一个实现(4，B,C,D), 满足 G(s)=C(sI-A)B+D 4
4 5.2 实现和最小实现 5.2.1 G ( s )可实现的条件 定理5－1 G(s)可实现的充分必要条件是：G(s)是正则有理函数。 证明 必要性：若 (A,B,C, D)是 G(s)的一个实现，则有 G C I A B D 1 (s) (s ) C I A B D I A [ ( )] det( ) 1 adj s s 若 是非零阵， 是正则有理函数 若 是零阵， 是严格正则有理函数（是前者的特例） 所以如果可实现，则 必定是正则有理函数（含严格正则）。 D G(s) D G(s) G(s) 充分性：即若 是正则有理函数，则存在一个实现 ， 满足 G(s) G C I A B D 1 (s) (s ) (A,B,C, D)
设G(s是9×p有理函数阵，可写成 G(s)=Gm(s)+G(∞) (5-2) 式中，G(∞)是G(s)中的常数阵部分 Gs)是G(s)的严格正则部分，可写成 G,得高NN+NN】 (5-3) 式中，N与N,都是q×P有理函数阵 d(s)是G(s)中所有子式的首一最小公（倍）分母 ds)=S'+1s+…+a,-1S+a, (5-4) 可以证明以下方程(A,B,C,D)就是G(s)的一个实现 0 0 0 0 0 0 x= 0 x+ 0 0 0 (5-5) -,p--lp… …-lp N,- N x+G(co)u 5
5 设G(s)是 q p 有理函数阵，可写成 G(s) G (s) G() sp 式中， 是 中的常数阵部分 是 的严格正则部分，可写成 G() (s) Gsp G(s) G(s) [ ] ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 r r r r sp s s s d s d s s s N N N N N G 1 2 （5－2） （5－3） 式中， 与 都是 有理函数阵 d(s) (s) Gsp N Ni q p r r r r d s s s s 1 1 1 ( ) 是 中所有子式的首一最小公(倍)分母 可以证明以下方程 (A,B,C, D)就是G(s)的一个实现 y N N N x G u u I 0 0 x I I I 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 x ( ) 1 1 1 1 r r r p r p p p p p （5－4） （5－5）
式中，1，与0是pxp单位阵与零阵 A是pxp阵，它由r列r行pxp阵组成 B是P×p阵，它由r列pxP阵组成 C是9×p阵，它由”行9×P阵组成 (证略) 式(5一5)的实现称为的能控性实现。 必须指出，定理5一1仅适用于G(s)的实现具有式（⑤一1）的状态空间 描述，这类系统称为正常系统。已有学者提出，若G(s)不是正则 的，也存在实现，其实现具有如下形式 Ex(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中E为奇异阵。 这种形式的系统称为广义系统，或奇异系统。 本课程仅研究正常系统。 6
6 式中， 与 是 单位阵与零阵 是 阵，它由 列 行 阵组成 是 阵，它由 列 阵组成 是 阵，它由 行 阵组成 (证略) 式(5—5)的实现称为的能控性实现。 p I 0 p p A rp rp r B rp p C q rp r q p p p r p p r 必须指出，定理5－1仅适用于 的实现具有式(5－1)的状态空间 描述，这类系统称为正常系统。已有学者提出，若 不是正则 的，也存在实现，其实现具有如下形式 G(s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t y Cx Du Ex Ax Bu 式中 为奇异阵。 这种形式的系统称为广义系统，或奇异系统。 本课程仅研究正常系统。 G(s) E
例5-1求下列G(s的实现 S+2 1 G(S)= S+1 S+3 S+1 S+1 S+2 G(s)是双输入双输出。 G(s)=Gp(s)+G(∞) 1 s+1 S+3 10 01 S+1 5+2 G(s)所有子式的首一最小公分母 d(s)=(s+1)s+2)(s+3)=s3+6s2+11s+6 G,-9高N。N+N+N] owe2wa+9][6 7
7 例5-1 求下列 G(s的) 实现 2 1 1 3 1 1 2 ( ) s s s s s s s G s G(s)是双输入双输出。 0 1 1 0 2 1 1 1 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s s s s s s G Gsp G Gsp (s)所有子式的首一最小公分母 ( ) ( 1)( 2)( 3) 6 11 6 3 2 d s s s s s s s 6 3 6 2 5 3 5 4 1 1 1 1 ( 1)( 2)( 3) 1 [ ] ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 s s s s s s s s d s d s s s r r r r sp N N N N N G 1 2
得 x1=6,a2=11,a3+6 w,日N[6 G(s)的实现是 0 01 00 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 文= x+ 0 0 0 0 0 1 00 -6 0 -11 0 -6 0 10 0 -6 -11 0-6 01 6 2 11( J= -1x+0/ x+ -6 -3 G(s)是2×2矩阵，而上述实现是6维的。 如果将上例的传递函数阵写成 G(s)=[G,s)G2s)] 分别求出G,s)和G,s)的实现，Gs)的实现就是这两个实现的直帮
8 6 , 11, 6 1 2 3 6 3 6 2 5 3 5 4 1 1 1 1 1 2 N 3 N , N , y x u x x u 0 1 1 0 6 3 5 3 1 1 6 2 5 4 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 11 0 6 6 0 11 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 得 G(s)的实现是 G(s)是 22矩阵，而上述实现是6维的。 如果将上例的传递函数阵写成 G( ) G ( ) G ( ) 1 2 s s s 分别求出G1 (s)和 G2 (s)的实现， G(s)的实现就是这两个实现的直和
1 G1(s)= G2(S)= S+2 G(s)的实现是 x1=-X1+山1 [小*da G2(s)的实现是 G(s)的实现是 Γ-10 0 文=0 0 1+00 山1 0 -6 - 2 1 这是一个3维的实现。 可见，同一个G(s)可以得到不同维数的实现。 9
9 10 213 1 , ( ) 01 111 1 ( ) 1 2 ss s ss G s G G1 (s)的实现是 1 1 1 1 1 1 01 11 x u x x u y G2 (s)的实现是 2 2 2 2 2 2 10 1 3 1 2 10 6 5 0 1 uu y x x x 2121 0 1 1 0 1 3 1 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 6 5 0 0 1 1 0 0 uuuu y x x x G(s) 的实现是 可见，同一个G(s)可以得到不同维数的实现。 这是一个3维的实现
5.2.2最小实现的性质 定义G(s)的实现中，维数最小的实现叫做G(s)的最小实现。 最小实现也称为不可简约的实现或既能控又能观的实现。 最小实现的性质有如下定理： (1)定理5-2(A,B,C,D)是G(s)的一个最小实现的充分必要条件是： (A,B,C,D)是既能控又能观的。 证明 必要性：如果(A,B,C,D)是G(s的一个最小实现，则(A,B,C,D)是既 能控又能观的。 反证法：如果(A,BC,D)是G()的一个最小实现，而又不是既能控 又能观的，则可以通过结构分解得到一个既能控又能观的子系 统，它的维数小4，B,C,D)的维数，而又具有相同的传递函数阵 ,说明(4，B,C,D)不是的最小实现，与假设矛盾。 10
10 5.2.2 最小实现的性质 定义 G(s)的实现中，维数最小的实现叫做G(s)的最小实现。 最小实现也称为不可简约的实现或既能控又能观的实现。 最小实现的性质有如下定理： ⑴ 定理5-2 是 的一个最小实现的充分必要条件是： 是既能控又能观的。 (A,B,C, D) (A,B,C, D) G(s) 证明 必要性：如果 是 的一个最小实现，则 是既 能控又能观的。 (A,B,C, D) (A,B,C, D) G(s) 反证法：如果 是 的一个最小实现，而又不是既能控 又能观的，则可以通过结构分解得到一个既能控又能观的子系 统，它的维数小于 的维数，而又具有相同的传递函数阵 ，说明 不是的最小实现，与假设矛盾。 (A,B,C, D) G(s) (A,B,C, D) (A,B,C, D)
