第六章 状态反馈和状态观测器 1
1 第六章 状态反馈和状态观测器
6.1引言 (1)研究自动控制系统有三大命题：模型、分析和综合。 前面几章讨论的是线性系统数学模型的建立，以及系统的分 析问题，本章讨论系统的综合。 系统的综合也称系统的设计问题，与系统分析相反，它是在 给定系统基本结构、参数的前提下，设计一种控制器，它产 生的控制作用能使系统达到期望的性能。 (②)反馈控制：由系统的参考输入与反馈信号共同对系统产生 控制作用。对于系统抗干扰和抗参数变动等方面均有较强的作 用，被广泛应用。 。输出反馈：反馈信号取之于系统输出的控制方式。 。状态反馈：在状态空间描述中，反馈信号取之于系统状态的 控制方式。由于系统的状态包含了系统的所有重要信息，无疑 将会获得更好的控制性能。 2
2 6.1 引 言 ⑴ 研究自动控制系统有三大命题：模型、分析和综合。 系统的综合也称系统的设计问题，与系统分析相反，它是在 给定系统基本结构、参数的前提下，设计一种控制器，它产 生的控制作用能使系统达到期望的性能。 前面几章讨论的是线性系统数学模型的建立，以及系统的分 析问题，本章讨论系统的综合。 ⑵ 反馈控制：由系统的参考输入与反馈信号共同对系统产生 控制作用。对于系统抗干扰和抗参数变动等方面均有较强的作 用，被广泛应用。 输出反馈：反馈信号取之于系统输出的控制方式。 状态反馈：在状态空间描述中 ，反馈信号取之于系统状态的 控制方式。由于系统的状态包含了系统的所有重要信息，无疑 将会获得更好的控制性能。
图6-1是系统控制作用u由 状态反馈和参考作用组成 系统 (A,B,C,D) 的结构方块图。 -Kx 3)状态观测器 图6-1 状态反馈可实现的条件 控制器 K 是系统的状态x是可量测的 ，实际系统中有的状态是难 以直接量测到的。有的系统 系统 状态纯粹是数学量，此时系 (A,B,C,D) 统的状态是无法用物理仪器 量测的。 状态观测器 状态观测器：用装置重构 图6-2 系统的状态：，从重构的 状态引出反馈陀（图6一2）。 控制器 K 3
3 图6-1是系统控制作用 由 状态反馈和参考作用组成 的结构方块图。 u ⑶ 状态观测器 状态反馈可实现的条件 是系统的状态 是可量测的 ，实际系统中有的状态是难 以直接量测到的。有的系统 状态纯粹是数学量，此时系 统的状态是无法用物理仪器 量测的。 x （ ） 系 统 A,B,C,D K 控制器x r Kx u y 图6-1 状态观测器 K 控制器xˆ r Kxˆ u (A,B,C,D) 系 统 y 状态观测器：用装置重构 图6-2 系统的状态 ，从重构的 状态引出反馈 (图6－2)。 xˆ Kxˆ
状态反馈和状态观测器的理论和方法是现代控制理论基础中系 统设计的主要 内容。 (4)本章主要内容 。状态反馈：线性定常系统状态反馈对系统的影响 状态反馈可任意配置系统极，点的条件和计算方法 ●状态观测器：状态观测器能重构状态的条件和设计方法 。用求解西尔维斯特方程的方法设计状态反馈和状态观测器 状态反馈的应用：系统的镇定、系统解耦和无静差跟踪系统 的综合问题 。线性二次型最优控制的理论设计控制器的方法 4
4 状态反馈：线性定常系统状态反馈对系统的影响 状态反馈和状态观测器的理论和方法是现代控制理论基础中系 统设计的主要 内容。 ⑷ 本章主要内容 状态反馈可任意配置系统极点的条件和计算方法 状态观测器：状态观测器能重构状态的条件和设计方法 用求解西尔维斯特方程的方法设计状态反馈和状态观测器 状态反馈的应用：系统的镇定 、系统解耦和无静差跟踪系统 的综合问题 线性二次型最优控制的理论设计控制器的方法
6.2反馈系统的状态空间描述 一心 图6-3状态反馈系统的结构图 5
5 6.2 反馈系统的状态空间描述 A－K B r u y C x －Kx 图6-3 状态反馈系统的结构图
6.2.1状态反馈系统的状态空间描述 。闭环系统的状态空间描述 设原系统的状态空间描述为 Z: =Ax+Bu (6—1) y=Cx+Du 引入状态反馈x,闭环系统的控制规律（输入）为 u=r-Kx (62) 式中，r是系统的参考输入，K是pxn状态反馈阵。 闭环系统状态空间描述：将(6一2)代入式(6一1)得 =Ax+B(r-Kx)=(A-BK)x+Br y=Cx+D(r-Kx)=(C-DK)x+Dr (6—3) 若D=0,则 21: =(A-BK)x+Br (6—4 y=Cx ●带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-(A-BK)B -5 G)是q×p阵。 6
6 闭环系统的状态空间描述 设原系统的状态空间描述为 y Cx Du Σ : x Ax Bu 引入状态反馈 Kx ，闭环系统的控制规律(输入)为 u r－Kx 式中，r 是系统的参考输入，K是 p n 状态反馈阵。 ( 6—1) ( 6—2) y Cx D r Kx C DK x Dr x Ax B r Kx A BK x Br ( ) ( ) ( ) ( ) － － － － 若 D 0 ，则 y Cx Σ : x A BK x Br f ( － ) 带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为 G C I A BK B 1 ( ) ( ( )) f s s － ( 6—5) ( 6—4) ( 6—3) (s) G f 是 q p 阵。 闭环系统状态空间描述：将( 6—2)代入式( 6—1)得 6.2.1 状态反馈系统的状态空间描述
反馈系统的极，点是A-BK的特征值，有可能通过的选择K来任意 配置系统的极点。 6.2.2输出反馈系统的状态空间描述 -Fx 图6-4输出反馈系统的结构图 输出反馈系统的控制规律是 u=r-Fy (6-6) 式中，F是p×g输出反馈阵。代入式(6一1)得 7
7 反馈系统的极点是 的特征值，有可能通过的选择 来任意 配置系统的极点。 A－BK K 6.2.2 输出反馈系统的状态空间描述 图6-4输出反馈系统的结构图 输出反馈系统的控制规律是 u r－Fy 式中， F 是 p q输出反馈阵。代入式( 6—1)得 （6－6） A B C F Fx r u y x
=(A-BFC)x+Br y=(C-DFC)x+Dr (6-7) 若D=0,则有 Ed: =(A-BFC)x+Br (6-8) y=Cx 带输出反馈的闭环系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-(A-BFC)B G(s)是q×p阵。 (6-9) 原系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-A)B 则 (6-10) Gof(s)=G(s)(I+FG(s)) (6-11) 或 Gor(s)=(I+FG(s))G(s) (6-12) 输出反馈也可以通过F来改变系统的极，点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极，点。因为通常方程FC=K的解不 存在。 8
8 y C DFC x Dr x A BFC x Br ( ) ( ) － － 若D 0 ，则有 y Cx Σ : x A BFC x Br cf ( － ) 带输出反馈的闭环系统的传递函数阵为 G C I A BFC B 1 ( ) ( ( )) cf s s － Gcf (s)是 q p 阵。 G C I A B 1 ( ) ( ) s s 1 ( ) ( )( ( )) s s s Gcf G I FG 则 ( ) ( ( )) ( ) 1 s s s Gcf I FG G 或 输出反馈也可以通过 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 的解不 存在。 F FC K 原系统的传递函数阵为 （6－7） （6－8） （6－9） （6－10） （6－11） （6－12）
6.3状态反馈系统的能控性和能观性 定理6一1状态反馈不改变系统的能控性，即2能控的充分必 要条件是：Σ是能控的。但可能改变系统的能观性。 证明：是能控的，由PBH判据 rank[sI-A B]=n s∈C(复域) (6-13) 若Σ是能控的，必须满足 rank[sI-A+BK BI=n VsEC (6-14) [sI-A+BK B]=[sI-A 所以 rank[sl-AB]=n←→rank[sI-A+BK B]=n VseC (6-15) 定理的第二个结论由下面的例子得论。 证毕 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统的 极，点，就可能出现改变后的极，点与原系统的零，点对消的情形。 9
9 6.3 状态反馈系统的能控性和能观性 定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 能控的充分必 要条件是： 是能控的。但可能改变系统的能观性。 Σ f Σ 证明：Σ是能控的，由PBH判据 rank[ sI A B] n s C (复域) （6－13） 若Σ f是能控的，必须满足 rank[ sI A＋BK B] n s C （6－14） K I I 0 [ sI A BK B] [ sI A B] rank[ sI A B] n rank[ sI A＋BK B] n 所以 s C （6－15） 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统的 极点，就可能出现改变后的极点与原系统的零点对消的情形。 定理的第二个结论由下面的例子得论。 证毕
例6-1考虑系统 y=2]x 原系统的传递函数为 2s g)=g2-28-5 原系统是既能控又能观的。 引入状态反馈 u=r-[-3 -1]x 引入状态反馈后系统变成 y=[1 2]x 其能控性矩阵与能观性矩阵分别是 ,[ 2 v= 22 rank Ut=2 rank Vr =1 系统是能控，但不能观的。 10
10 例6-1 考虑系统 x x x 1 2 10 3 1 1 2 y u 原系统的传递函数为 2 5 2 ( ) 2 s ss g s 原系统是既能控又能观的。 x x x 1 2 10 0 0 1 2 y r 其能控性矩阵与能观性矩阵分别是 1 0 0 2 U f 1 2 2 2 V f rank U f 2 rankVf 1 系统是能控，但不能观的。 引入状态反馈 u r－3 1 x 引入状态反馈后系统变成
