第四章 线性控制系统的能控性和能观性
1 第四章 线性控制系统的能控性和能观性
基本概念 。能控性和能观性是表征系统结构特性的两个重要 概念 能控性和能观性的概念，对系统的控制和状态估 计问题的研究有重要意义 粗略地讲，能控性分析系统状态能否被输入控制， 而能观性分析系统初始状态能否从对系统输出的 观测来得到
基本概念 能控性和能观性是表征系统结构特性的两个重要 概念 能控性和能观性的概念，对系统的控制和状态估 计问题的研究有重要意义 粗略地讲，能控性分析系统状态能否被输入控制， 而能观性分析系统初始状态能否从对系统输出的 观测来得到
能控性和能观性的直观例子 判断下列电路的能控性和能观测性 12 x2状态不能控x,状态不能观
能控性和能观性的直观例子 x 2 状态不能控 1 x 状态不能观 判断下列电路的能控性和能观测性
本章主要内容 4.1 线性定常系统的能控性 4.2线性定常系统的能观性 4.3线性时变系统的能控性和能观性 4.4离散时间系统的能控性和能观性 4.5 能控性与能观性的对偶关系 4.6能控标准型和能观标准型 4.7线性系统的结构分解
本章主要内容 4.1 线性定常系统的能控性 4.2 线性定常系统的能观性 4.3 线性时变系统的能控性和能观性 4.4 离散时间系统的能控性和能观性 4.5 能控性与能观性的对偶关系 4.6 能控标准型和能观标准型 4.7 线性系统的结构分解
4.1线性定常系统的能控性 能控性是系统在控制作用u(t)的控制下， 系统状态向量x(t)的转移能力 。和输出y(t)无关，只需从系统的状态方程 出发研究系统的能控性 公
4.1 线性定常系统的能控性 能控性是系统在控制作用u(t)的控制下， 系统状态向量x(t)的转移能力 和输出y(t)无关，只需从系统的状态方程 出发研究系统的能控性
4.1.1能控性定义 定义4-1[能控性]线性连续定常系统的状态方程 x=Ax+Bu (4-1) 如果对任意初始状态x(t,)=x,和任意终端状态()=x, 存在一个无约束容许输入u(t),能在有限时间区间[t内！ 使系统状态由转移到 x则称此系统或 (对是状 态完全能控的，或简称此系统或 (猎是能控的。否则， 则称此系统或 对趣状态不完全能控的，或简称不 能控。 说明： 对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点 ·无约束容许输入是指的每个分量的幅值没有加以限 制，但山的每个分量均需在时间区间[，]上平方可积
4.1.1 能控性定义 定义4-1[能控性]线性连续定常系统的状态方程 （4—1） 如果对任意初始状态 和任意终端状态 ， 存在一个无约束容许输入 ，能在有限时间区间 内， 使系统状态由 转移到 ，则称此系统或 对是状 态完全能控的，或简称此系统或 对是能控的。否则， 则称此系统或 对是状态不完全能控的，或简称不 能控。 说明： •对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点 •无约束容许输入是指 的每个分量的幅值没有加以限 制，但 的每个分量均需在时间区间 上平方可积 x Ax Bu 0 0 x(t ) x 1 x( ) xf t u(t) [ , ] 0 1 t t 0 x x f (A,B) (A,B) (A,B) u u [ , ] 0 1 t t
能控性举例 例4一1考虑图4-2(a)、(b)所示电路系统的能控性。 u(t (t) (a) (b) 图4-2 不能控电路系统 结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。 但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则
能控性举例 例4－1 考虑图4-2(a)、(b)所示电路系统的能控性。 u(t) R R R C x y C C R R u(t) x1 x2 R (a) (b) 图4-2 不能控电路系统 结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。 但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则
4.1.2线性定常系统的能控性判据 1、线性定常系统的能控性判据 定理4-1[能控性格拉姆矩阵判据]线性连续定常系统 文=Ax+Bw 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻>0，使 如下定义的格拉姆矩阵 .(O,t)=eBB"edt (4一3) 为非奇异。 证明：见教材P115 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导
8 4.1.2 线性定常系统的能控性判据 定理4-1[能控性格拉姆矩阵判据]线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使 如下定义的格拉姆矩阵 (4—3) 为非奇异。 x Ax Bu 0 t1 1 1 0 (0, ) A A W BB t T t T t c t e e dt 证明：见教材 P115 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导 1、线性定常系统的能控性判据
定理4-2[能控性秩判据]线性连续定常系统 x=Ax+Bu 为完全能控的充分必要条件为 rank[B AB .A"-B]=n (4-13) 式中，n为矩阵A的维数。 U=「BAB A"-B1 (4-14) 称为系统的能控性判别矩阵。 证明：见教材P116 秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用 式(4一13)等价于矩阵U行满秩
9 定理4-2[能控性秩判据]线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件为 （4—13） 式中，n为矩阵A的维数。 （4—14） 称为系统的能控性判别矩阵。 x Ax Bu 1 [B AB A B] n rank n 1 U [B AB A B] n 证明：见教材 P116 秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用 式（4—13）等价于矩阵 U 行满秩
推论： (1)对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有 (A,b)能控→U非奇异台detU≠0 detU的值表示了系统能控的程度，即能控度。 dtU的值大表示系统远离不能控，即能控度大。 能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时， 同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反 之，所需反馈增益越大。 对于多输入系统有类似的关系和性质。 (2)对于多输入系统，U阵非方，UU为方阵，则有 (A,B)能控←→U'非奇异 则能控度即为detU'U的值
10 推论： （1）对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有 能控 非奇异 的值表示了系统能控的程度，即能控度。 的值大表示系统远离不能控，即能控度大。 能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时， 同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反 之，所需反馈增益越大。 对于多输入系统有类似的关系和性质。 （2）对于多输入系统， 阵非方， 为方阵，则有 能控 非奇异 则能控度即为 的值。 (A,b) U detU 0 detU detU T U U U (A, B) T U U det T U U
