第二章 线性系统的 状态响应和输出响应 1
1 第二章 线性系统的 状态响应和输出响应
系统的分析：定量分析和定性分析。 定量分析是用解析的方法求解系统在确定的输入的激励下， 其状态及输出的响应。即通过求解系统的状态方程，精确 求取系统的运动规律。 定性分析则是研究系统的一些重要特性，如稳定性、能控性 、能观性和系统结构参数之间的关系。 系统的运动实际上是状态的转移，状态转移规律可以用系统 的状态转移矩阵来表征。状态转移矩阵的概念及其计算是研 究系统运动规律的基本内容。 2
2 定量分析是用解析的方法求解系统在确定的输入的激励下， 其状态及输出的响应。即通过求解系统的状态方程，精确 求取系统的运动规律 。 系统的运动实际上是状态的转移，状态转移规律可以用系统 的状态转移矩阵来表征。状态转移矩阵的概念及其计算是研 究系统运动规律的基本内容。 定性分析则是研究系统的一些重要特性，如稳定性、能控性 、能观性和系统结构参数之间的关系。 系统的分析：定量分析和定性分析
本章主要内容包括： 线性系统的状态转移矩阵及其性质 线性系统的状态响应—零状态响应和零输入响应 线性系统的输出响应 线性定常系统的响应 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法 系统等价变换对响应的影响 线性离散系统的状态空间描述及响应。 3
3 本章主要内容包括： 线性系统的状态转移矩阵及其性质 线性系统的状态响应——零状态响应和零输入响应 线性系统的输出响应 线性定常系统的响应 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法 系统等价变换对响应的影响 线性离散系统的状态空间描述及响应
2.1线性系统响应的特，点 2.1.1问题的提出 线性系统 > 文=A(t)x+B(t)M y=C(t)x+D(t)u (2-1) x(to)=xo,t≥to 线性定常系统，： 文=Ax+Bu y=Cx+Du (2-2) x(to)=xo,t≥to 求解问题： 求解 求解 。给定x0,4()>x(0,1≥。>0， t≥to ·A①)，B0),(①)是的连续函数或是常数阵→ 状态方程是一阶线性微分方程组有唯一解 实际的控制系统均满足这一条件。 4
4 2.1 线性系统响应的特点 2.1.1 问题的提出 0 0 0 ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t x x y C x D u 线性系统 Σ : x A x B u 线性定常系统 0 0 0 (t ) , t t x x y Cx Du Σ f : x Ax Bu 求解问题： 状态方程是一阶线性微分方程组有唯一解 A(t), B(t), u(t)是的连续函数或是常数阵 实际的控制系统均满足这一条件。 求解 求解 （2－1） （2－2） 给定 x0 ，u(t) x(t)，t t 0 y(t ，) 0 t t
2.1.2线性系统响应的特点 系统状态方程的解一对初始状态x(to)=xo和输入(t)的 响应由两部分组成： (1)零输入响应：单独由初始状态x产生的解，是在零 输入条件下齐次方程 文=A(t)X, x(t)=xo,t≥to (2-3) 的解，称为系统的零输入响应，记以 p(t,o.xg,0o 它是系统在初始状态x)=x作用下产生的自由运动。 (2)零状态响应：由输入()产生的解，是在零初始状态 条件下非齐次方程 文=At)x+Bu,x(to)=O,t≥to (2-4) 的解，称为系统的零状态响应，记以p(t0,)。 它是系统在输入(t)作用下产生的强迫运动。 5
5 2.1.2 线性系统响应的特点 系统状态方程的解——对初始状态 和输入 的 响应由两部分组成： 0 0 x(t ) x u(t) ⑴ 零输入响应：单独由初始状态 产生的解，是在零 输入条件下齐次方程 的解，称为系统的零输入响应，记以 。 它是系统在初始状态 作用下产生的自由运动。 x0 0 0 0 x A(t)x, x(t ) x , t t ( ; , ) φ t t0, x0 0 0 0 x(t ) x ⑵ 零状态响应：由输入 产生的解，是在零初始状态 条件下非齐次方程 的解，称为系统的零状态响应，记以 。 u(t) 0 0 x A(t)x Bu, x(t ) 0, t t ( ; , ) φ t t0,0 u 它是系统在输入 u(t) 作用下产生的强迫运动。 （2－3） （2－4）
系统对初始状态x(t)=xo和输入(t)的响应，即方程的总 解p(ttx,0是p(tox,0)和p(t0,0)的线性叠加： p(1;to.xo,u)=p(t;to.x0,0)+p(t;to.0,u) (2-5) (3) () 2.2线性系统状态转移矩阵及其性质 2.2.1线性系统状态转移矩阵 (1)基本解阵 考虑齐次状态方程 x=A(t)x (2-6) 式中，A)是时间的连续函数。对于每一个初始状态 x,()=xo都存在唯一解x,(①=x。 6
6 ⑶ 系统对初始状态 和输入 的响应，即方程的总 解 是 和 的线性叠加： 0 0 x(t ) x u(t) ( ; , ) φ t t0, x0 u ( ; , ) φ t t0, x0 0 ( ; , ) φ t t0,0 u ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) φ t t0, x0 u φ t t0, x0 0 φ t t0,0 u 2.2 线性系统状态转移矩阵及其性质 2.2.1 线性系统状态转移矩阵 ⑴ 基本解阵 考虑齐次状态方程 x A(t)x 式中， 是时间的连续函数。对于每一个初始状态 都存在唯一解 。 A(t) 0 0 ( ) i i x t x i i x (t) x （） （2－5） （2－6）
给定n个初始状态x1o,x20,,x,必存在与之对应的n个 解向量x),x2),,xn()。如果x0,x0,,x是线性独立的， 则x(),x2(t),,xn()在所有t上也是线性独立的。 (反证法)如果)，x2()…,xn()是线性相关的，存在一个 非零向量a,使满足 [x1(t)x2(t)…xn(t)]a=0 在1=to,也满足 [x10x20…xm0]a=0 这与x1o,x20,,x0线性独立的假设矛盾。 所以，x),x2),,x()在所有t上是线性独立的。证毕 将c=A()x的n个解向量排列成矩阵： X(t)=[x(t)x2(t)...x,(t) 它是nxn方阵，并且是非奇异的。 X(U)称为齐次方程=A)x的基本解阵。 7
7 给定 个初始状态 ，必存在与之对应的 个 解向量 。如果 是线性独立的， 则 在所有 上也是线性独立的。 10 20 xn0 x , x ,, ( ) ( ) ( ) 1 2 t t t xn x , x ,, n n 10 20 xn0 x , x ,, ( ) ( ) ( ) 1 2 t t t xn x , x ,, t （反证法）如果 是线性相关的，存在一个 非零向量 α ，使满足 [x1 (t) x2 (t) x (t)]α 0 n 0 t t [x x x ] α 0 10 20 n0 在 ，也满足 这与 线性独立的假设矛盾。 所以， 在所有 上是线性独立的。 证毕 ( ) ( ) ( ) 1 2 t t t xn x , x ,, ( ) ( ) ( ) 1 2 t t t xn x , x ,, t 将 的 个解向量排列成矩阵： 它是 方阵，并且是非奇异的。 n ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 1 2 X t x t x t x t n n n X(t) 称为齐次方程 x A(t)x 的基本解阵。 10 20 xn0 x , x ,, x A(t)x
。组成基本解阵的向量所张成的空间是x=A()x的解空间， 它是n维线性空间。 ● 组成基本解阵的个解向量都可选做解空间的基底向量。 解空间中任一解向量都是这一组基底向量的线性组合。 例2-1状态方程 方程的解是x1()=x1(0),x2()=0.512x1(0)+x2(0)。 对于xo=x(0)=0]I和x0=x2(0)=[2]',方程的解分别为 x)=重0.5和x,)=052+2，则其基本解阵为 x2 8
8 例2-1 状态方程 x x 0 0 0 t 方程的解是 x1 (t) x1 (0), x2 (t) 0.5t 2 x1 (0) x2 (0) 。 对于 和 ，方程的解分别为 T x x (0) 1 0 10 1 T x20 x2 (0) 1 2 x T t t 2 1 ( ) 1 0.5 和 ，则其基本解阵为 0.5 0.5 2 1 1 ( ) 2 2 t t X t T (t) 1 0.5t 2 2 x2 组成基本解阵的向量所张成的空间是 的解空间， 它是 维线性空间。 组成基本解阵的 个解向量都可选做解空间的基底向量。 解空间中任一解向量都是这一组基底向量的线性组合。 n n x A(t)x
例如x=[10]',对xao的解向量x(0)是)和（的线性组 合。xa0与x10、x20有如下的线性组合关系 xa0=0.5x10+0.5x20 则x()与x()、x2()也有相同的线性组合关系 xa(t)=0.5x1(t)+0.5x2(t) (2)状态转移矩阵 一般地说，如果 =axo+aw。l2lwle-Ka (2-7) 式中a,则 x=ax,+a2x2=[x x2]a=X(t)a (2-8) 将前式代入，有 x=X(t)X-(to)xo△Φ(t,to)xo (2g9)
9 ⑵ 状态转移矩阵 一般地说，如果 x0 x x x x x10 x20 α X( 0 ) α 2 1 1 10 2 20 10 20 t x 1x1 2 x2 x1 x2 α X(t)α 式中 ，则 2 1 α 0 0 0 0 1 x X(t)X (t )x Φ(t,t )x 将前式代入，有 例如 ，对 的解向量 是 和 的线性组 合。 与 、 有如下的线性组合关系 T xa 1 0 0 xa0 (t) a x ( ) 1 x t ( ) 2 x t xa0 x10 x20 0 10 5 20 xa 0.5x 0. x 则 与x1 (t) 、x2 (t)也有相同的线性组合关系 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 1 2 t t t xa x x (t) a x （2－7） （2－8） （2－9）
定义：设X()是=A()x的任一基本解阵，则定义 Φ(t,to)△X(t)X-(t) (2-10) 为=A(t)x的状态转移矩阵。 ·状态转移矩阵也是矩阵方程 p(t,t)=A(t)Φ(t,to) (2-11) 对初始条件的，)=1解。 。x=A()x对任意初始条件x的解，即系统的零输入响应为 x(t)=o(t;to,x0)=(1,to)xo (2-12) 上式说明：状态转移矩阵完全决定了系统从x。转移到)的 运动规律。这就是状态转移矩阵的物理意义。 10
10 定义：设 是 的任一基本解阵，则定义 为 的状态转移矩阵。 X(t) x A(t)x ( , ) ( ) ( ) 0 1 0 t t t t Φ X X x A(t)x 状态转移矩阵也是矩阵方程 ( , ) ( ) ( , ) 0 0 Φ t t A t Φ t t 对初始条件的 Φ(t0 ,t0 ) I 解。 x A(t)x 对任意初始条件 x0的解，即系统的零输入响应为 0 0 0 0 x(t) φ(t;t , x ,0) Φ(t,t )x 上式说明:状态转移矩阵完全决定了系统从 转移到 的 运动规律。这就是状态转移矩阵的物理意义。 x0 x(t) （2－10） （2－11） （2－12）
