第一章 线性系统的数学描述 1
1 第一章 线性系统的数学描述
1.1引言 1、建立系统的数学模型是控制系统进行分析和设计的基 础 系统的数学模型—描述系统行为特性的数学表达式 (如传递函数)或数学方程（如微分方程、代数方程） 2、同一个系统可以有不同的数学模型 决定于： ·系统研究的对象（输入、输出和状态变量)不同 ·建立数学模型所用的数学方法不同 3、举例：直流电动机控制电路的数学模型 2
2 1.1 引 言 1、建立系统的数学模型是控制系统进行分析和设计的基 础 系统的数学模型——描述系统行为特性的数学表达式 (如传递函数)或数学方程(如微分方程、代数方程) 2、同一个系统可以有不同的数学模型 决定于： 系统研究的对象（输入、输出和状态变量）不同 建立数学模型所用的数学方法不同 3、举例：直流电动机控制电路的数学模型
直流电动机原理线路图 D 电枢 粘性摩擦b 转动惯量J 负载T R 图1一1直流电动机控制电路 3
3 u f ua f i a i Ra Rf Lf La , 转动惯量 J 粘性摩擦 b 负载 TL 电枢 a e 直流电动机原理线路图 图1－1 直流电动机控制电路
(1)电枢控制方式：设激磁电压，气隙磁通恒定 。电枢电路电压平衡方程为： u。=Ri。+L di。+ea (1-2) di 式中，Ra、L。分别是电枢电路的电阻和电感 电机的反电势与电机的角速度成正比： e。=K.o (1-3) 式中，K为电机的反电势常数 ·电机转子轴上转矩平衡方程为 T=J do+bo +T (1- d 4
4 ⑴电枢控制方式：设激磁电压，气隙磁通恒定 电枢电路电压平衡方程为： a a a a a a e dt di u R i L 式中， 分别是电枢电路的电阻和电感 电机的反电势与电机的角速度成正比： e a K e 式中， 为电机的反电势常数 Ra、La K e 电机转子轴上转矩平衡方程为 i T L b dt d T J （1－2） （1－4） （1－3）
式中，J为电机轴上总的等效转动惯量， b为电机转轴上的等效粘性摩擦系数， T,是负载转矩 T是电动机电磁转矩 Ti=Kji (1-1) 以电压u,为输入，角速度⊙为输出的运动方程 在以上各式中，消去中间变量，，并假定T=0 得如下二阶微分方程 会+J,)尝-，太+Rw=. (1-5) 5
5 式中， 为电机轴上总的等效转动惯量， 为电机转轴上的等效粘性摩擦系数， 是负载转矩 J b TL 以电压 为输入，角速度 为输出的运动方程 在以上各式中，消去中间变量 ，并假定 a u TL 0 得如下二阶微分方程 a a a KeKt Rab Ktua dt d R J bL dt d L J ( ) ( ) 2 2 a i Ti 是电动机电磁转矩 T K i i i （1－1） （1－5）
以转角为输出时的运动方程 化+2+k水-风 -Kiu (1-6) (2)激磁电流控制方式 电枢电流i。=Ct（常数)，再设气隙磁通与激磁电流i,成 正比 电压平衡方程和转矩平衡方程为： di, 4,=R,1+L,di (1-8) )=份加+7 (1-9) 式中，T,是负载转矩 电机的电磁转矩等于： T=Kin (167)
6 以转角为输出时的运动方程 a a a e t a Ktua dt d K K R b dt d R J bL dt d L J ( ) ( ) 2 2 3 3 ⑵ 激磁电流控制方式 电枢电流 （常数），再设气隙磁通与激磁电流 成 正比 i Ct a f i 电压平衡方程和转矩平衡方程为: dt di u R i L f f f f f f b TL dt d T J 电机的电磁转矩等于： f f f T K i （1－6） （1－8） （1－9） （1－7） 式中，TL 是负载转矩
·电机的微分方程为 L,Je+J+,)份R60=K“, (1-10) 1,+(RJ+,R60K (1-11) 研究变量不同，它们的数学描述也不同 以上几个方程有一个共同点： 它们都是只描述了输入(uauf)与输出(0、0)之间 的关系—系统的输入输出描述 (3)如果不消去变量i,,可以得到系统的另一种数学描述 7
7 电机的微分方程为 f f f f f f R b K u dt d R J bL dt d L J ( ) 2 2 f f f f K f u f dt d R b dt d R J bL dt d L J 2 2 3 3 ( ) 研究变量不同，它们的数学描述也不同 以上几个方程有一个共同点： 它们都是只描述了输入( )与输出( )之间 的关系——系统的输入输出描述 a f u 、u 、 ⑶ 如果不消去变量 i a ，可以得到系统的另一种数学描述 （1－10） （1－11）
将转矩公式(1一1)和反电势公式(1一3)分别代入转矩平 衡方程式(1-4)和电压平衡方程式(1-2)，得 +号 (1-12) dt di。 R。 0+ (1-13) dt L L 设T=0,令输入ua=u,输出0=y及ia=x1,0=Y2, 并将它们写成矩阵形式，有： Ra K。 La L。 ■ (1-14) y=[ 0 1] X2 8
8 将转矩公式（1－1）和反电势公式（1－3）分别代入转矩平 衡方程式（1－4）和电压平衡方程式（1－2），得 J T J b i J K dt d L a t a a a f a a a a L u L K i L R dt di 设 ，令输入 ，输出 及 ， 并将它们写成矩阵形式，有： TL 0 ua u y 1 2 i x , x a 2 1 2 1 2 1 [ 0 1 ] 0 1 x x y L u x x J b J K L K L R x x a t a e a a （1－12） （1－13） （1－14）
同样，将激磁控制的方程经过整理，设T,=0,并令 输入u,=认，输出0=y,及i,=x1,0=x,可得 K x2」 1-15) y=[0 1] X2 前面两组向量方程，不仅描述了系统外部变量（输入与 输出)，而且描述了系统内部变量(1。或if)的行为。这 就是系统的状态空间描述。 使用数学的方法不同，系统的数学模型也不同 9
9 同样，将激磁控制的方程经过整理，设 ，并令 输入 ，输出 ，及 可得 TL 0 u u f y 1 2 i x , x f L u x x J b J K L R x x f f f f 0 0 1 2 1 2 1 2 1 [ 0 1 ] x x y 前面两组向量方程，不仅描述了系统外部变量(输入与 输出)，而且描述了系统内部变量( 或 )的行为。这 就是系统的状态空间描述。 a i f i 使用数学的方法不同，系统的数学模型也不同 （1－15）
(4)系统方块图 u2 图1一2系统方块图 图中 u1,u2,…up 系统的输入 y1,y2,…yg 系统的输出 }系统的外部变量 X1,X2,…Xn 系统的状态变量—系统的内部变量 单变量系统和多变量系统 单变量系统：只有一个输入和一个输出的系统 多变量系统：有两个或两个以上输入或输出的系统 10
10 ⑷ 系统方块图 u1 up 2 u 1 y 2 y q y n x , x , , x 1 2 p u ,u ,u 1 2 q y , y , y 1 2 n x , x ,x 1 2 图中 系统的输入 系统的输出 系统的状态变量——系统的内部变量 系统的外部变量 图1－2 系统方块图 单变量系统和多变量系统 单变量系统：只有一个输入和一个输出的系统 多变量系统：有两个或两个以上输入或输出的系统
