《电动力学》第12讲 第二章静电场(4) s24电像法 师斑名:宗福建 山东大学物理学院 2014年10月28日
山东大学物理学院 宗福建 1 《电动力学》第12讲 第二章 静电场（4） §2.4 电像法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2014年10月28日
上一讲复习 ·拉普拉斯( Laplace)方程的通解可以用分 离变量法求出。先根据界面形状选择适当的 坐标系,然后在该坐标系中由分离变量法解 拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出 的通解形式(见附录Ⅱ)。球坐标用(R,θ, 0)表示,R为半径,θ为极角,g为方位角
山东大学物理学院 宗福建 2 上一讲复习 • 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分 离变量法求出。先根据界面形状选择适当的 坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解 拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出 的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ， φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角
上一讲复习 ·拉氏方程在球坐标系中的通解为 P(R,0, d)=2(ammO"+ Emm )Pm(cos 0)cos mi +∑(cmR+m)Pn( (cos0)sin m R 日汁 nm 式中abC和d为任意常数,在具体问 题中有边界条件定出。Pmn(cosb)为缔和勒 让德 Legendre)函数
山东大学物理学院 宗福建 3 上一讲复习 • 拉氏方程在球坐标系中的通解为 • 式中anm ,bnm ,cnm和dnm为任意常数，在具体问 题中有边界条件定出。Pmn(cosθ)为缔和勒 让德(Legendre)函数。 1 . 1 , ( , , ) ( ) (cos )cos ( ) (cos )sin n m nm nm n n n m n m nm nm n n n m b R a R P m R d c R P m R + + = + + +
上一讲复习 ·若该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,则 电势φ不依赖于方位角φ,这情形下通解为 (a,+ b P(cos 0) R n+1)n P,(cosb)为勒让德函数,a和b由边界条 件确定
山东大学物理学院 宗福建 4 上一讲复习 • 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则 电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 • Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条 件确定。 1 ( ) (cos ), n n n n n n b a R P R + = +
上一讲复习 Pn(cosb)为勒让德函数 P(cos(x))=1 P(x=x P(cos(x))=cos(x) P2(x)=(3x2-1)P2(cos(x)=(3cos2(x)-1) P(x)=-(5x'-3x) P(cos(x))=-(5 cos(x)-3cos(x)) P(x)2.1! dx 日才描怅派
山东大学物理学院 宗福建 5 上一讲复习 • Pn（cosθ）为勒让德函数 0 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 ( ) 1 (cos( )) 1 ( ) (cos( )) cos( ) 1 1 ( ) (3 1) (cos( )) (3cos ( ) 1) 2 2 1 1 ( ) (5 3 ) (cos( )) (5cos ( ) 3cos( )) 2 2 1 ( ) ( 1) 2 ! l l l l l P x P x P x x P x x P x x P x x P x x x P x x x d P x x l dx = = = = = − = − = − = − = −
本讲主要内容 电像法的概念和适用条件 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q,求空间中 的电场。 日汁 真空中有一半径为Ro的接地导体球,矩球心为a (a>R0)处有一点电荷Q,求空间各点的电势
山东大学物理学院 宗福建 6 本讲主要内容 • 电像法的概念和适用条件 • 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，求空间中 的电场。 • 真空中有一半径为 R0 的接地导体球，矩球心为a （a>R0）处有一点电荷Q ，求空间各点的电势
、电像法的概念和适用条件 1.求解泊松方程的难度 般静电问题可以通过求2.以唯一性定理为依据 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是,在许多情在唯一性定理保证下,采 况下非常困难。例如,对于 用试探解,只要保证解满足泊 介质中、导体外存在点电荷 的情况虽然可以采用叠加法松方程及边界条件即是正确解。 求解,但是求解比较困难。特别是对于只有几个自由 求解的困难主要是介质分界点电荷时,可以将导体面上感 面或导体表面上的电荷一般应电荷分布等效地看作一个或 非均匀分布的,造成电场缺几个点电荷来给出尝试解。 乏对称性。 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 7 1. 求解泊松方程的难度 一、电像法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是，在许多情 况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷 的情况虽然可以采用叠加法 求解，但是求解比较困难。 求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般 非均匀分布的，造成电场缺 乏对称性。 2. 以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由 点电荷时，可以将导体面上感 应电荷分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试解
3.电像法概念、适用情况 电像法: 适用情况: 用假想点电荷来等效地a)所求区域有少许几个点电荷 代替导体边界面上的面 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 电荷分布,然后用空间|b导体边界面形状比较规则,具 点电荷和等效点电荷迭 有一定对称性 加给出空间电势分布。」c)给定边界条件 注意: a)做替代时,所研究空间的泊松方程不能被改变(即自由 点电荷位置、Q大小不能变)。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b)不能改变原有边界条件(实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置)。 c)一旦用了假想(等效)电荷,不再考虑原来的电荷分布。 d)坐标系选择仍然根据边界形状来定。 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 8 3. 电像法概念、适用情况 电像法： 用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。 适用情况： a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具 有一定对称性。 c) 给定边界条件 注意： a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定
§23电像法 2、接地无限大平面导体板附近有一点电 荷Q,求空间中的电场。 从物理上分析,在点电荷Q的作用下, 导体板上出现感应电荷分布。若Q为正的, 则感应电荷为负的。空间中的电场是有 给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷 共同激发的,而另一方面感应电荷分布 有是在总电场作用下达到平衡的结果。 平衡的条件就是导体的静电平衡条件 即导体表面为一等势面。 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 9 §2.3 电像法 • 2、接地无限大平面导体板附近有一点电 荷Q，求空间中的电场。 • 从物理上分析，在点电荷Q的作用下， 导体板上出现感应电荷分布。若Q为正的， 则感应电荷为负的。空间中的电场是有 给定的点电荷Q以及导体面上的感应电荷 共同激发的，而另一方面感应电荷分布 有是在总电场作用下达到平衡的结果。 平衡的条件就是导体的静电平衡条件， 即导体表面为一等势面
§4.3电像法 设想在导体板下方与电荷 Q对称的位置上放一个假 想电荷Q’,然后把导体 板去掉。若Q′=-Q, 则假想电荷Q’与给定电 荷Q微发的总电场 如右图所示 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 10 §4.3 电像法 • 设想在导体板下方与电荷 Q 对称的位置上放一个假 想电荷Q’，然后把导体 板去掉。若Q’= −Q ， 则假想电荷Q’与给定电 荷Q激发的总电场 • 如右图所示：
