第?章信号的时频表示与小波变换 第?章信号的时频表示与小波变换 71短时 Fourier变换与 Gabor变换 72小波变换 73离散小波变换的快速算法— Mallat算法 74常用小波函数 75小波变换的应用 BACI
第7章 信号的时频表示与小波变换 第7章 信号的时频表示与小波变换 7.1 短时Fourier变换与Gabor变换 7.2 小波变换 7.3 离散小波变换的快速算法——Mallat算法 7.4 常用小波函数 7.5 小波变换的应用
第?章信号的时频表示与小波变换 7.1短时 Fourier变换与 Gabor变换 满足傅里叶积分定理的信号()的傅里叶变换和逆变换定义为: le vir 7-) f(1)=-|F(g2)ecg (72 丌 为了了解信号的局部特征,人们最初想到的是通过预先加窗 的办法使频谱反映时间局部特征,通常称为短时 Fourier变换 (STFT)或加窗 Fourier变换(WFT)。以符号g(≠b)表示以b为 中心的窗函数g(0复共轭,记作Sa()=g(-b)eA (7-3
第7章 信号的时频表示与小波变换 7.1 短时Fourier变换与Gabor变换 满足傅里叶积分定理的信号f(t)的傅里叶变换和逆变换定义为: = = + − + − − f t F j e d F j f t e dt j t j t ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) (7-1) (7-2) 为了了解信号的局部特征，人们最初想到的是通过预先加窗 的办法使频谱反映时间局部特征，通常称为短时Fourier变换 （STFT）或加窗Fourier变换（WFT）。以符号g(t-b) 表示以b为 中心的窗函数g(t)的复共轭，记作 j t b S t g t b e 0 0 ( ) ( ) , − = − (7-3)
第?章信号的时频表示与小波变换 定义短时 Fourier变换(STFT)为 STFT /16, j 2)=(g(t-beedt=[f(sa, (odt (7-4) 时刻b的STFT是信号f(1)与可移动窗函数g(-b)乘积的 Fourier 变换。设窗函数g(1b)的有效宽度为D,由于窗函数过滤了作用 范围外的信号,因此在一定程度上可以反映信号在时间域 b-D,b+D的频谱信息。图7-1是窗口傅里叶变换的时 域示意图
第7章 信号的时频表示与小波变换 定义短时Fourier变换（STFT）为 STFT f b j f t g t b e dt f t S t dt b j t s + − + − − [ ]( , ) = ( ) ( − ) = ( ) ( ) 0 , (7-4) 时刻b的STFT是信号f(t)与可移动窗函数 g(t-b) 乘积的Fourier 变换。设窗函数g(t-b) 的有效宽度为Dt，由于窗函数过滤了作用 范围外的信号，因此在一定程度上可以反映信号在时间域 的频谱信息。 图 7 - 1 是窗口傅里叶变换的时 域示意图。 b − Dt b + Dt 2 1 , 2 1
第?章信号的时频表示与小波变换 f(og(t g()1 f() g(t-9 图71窗口 Fourier变换的时域示意图
第7章 信号的时频表示与小波变换 图7.1 窗口Fourier变换的时域示意图 f (t)g (t) b g (t) 1 g (t－ b) f (t) o t
第?章信号的时频表示与小波变换 设g(1)的傅里叶变换为G(jΩ),在复频域的有效宽度为Da b。ao()的傅里叶变换为GjΩ2jg)e-1990),根据 Parseval恒等式可 得 +0 [STFT J(6,jQ2)= f(g(t-ble /dt f2te[F(/G(/2-1gkg2(75) +0 也就是说,在时域范围内考察的是以b为中心,宽度为 b-D,b+D的局部信号信息;在频域范围内考察的是以g2 为中心,宽度为92-1D292+D的局部信息。换句话说, 2 2 经过加窗, Fourier变换保留了信号的时间特征
第7章 信号的时频表示与小波变换 设g(t)的傅里叶变换为G(jΩ), 在复频域的有效宽度为DΩ， 则 Sb , Ω0 (t)的傅里叶变换为G(jΩ-jΩ0 )e-j(Ω-Ω0)b ，根据Parseval恒等式可 得 = − = − + − − + − − e F j G j j e d STFT f b j f t g t b e dt j t j t j t s ( ) ( ) 2 1 [ ]( , ) ( ) ( ) 0 0 (7-5) 也就是说，在时域范围内考察的是以b为中心，宽度为 的局部信号信息; 在频域范围内考察的是以Ω0 为中心，宽度为 的局部信息。换句话说， 经过加窗，Fourier变换保留了信号的时间特征。 b − Dt b + Dt 2 1 , 2 1 − D + D 2 1 , 2 1 0 0
第?章信号的时频表示与小波变换 首先,为了保证 Fourier变换的有效性,窗函数必须是 限的;以(R)表示能量有限的信号的全体,则必有g(t)∈L2(R)。 其次,为了具有时间和频率定位能力,它必须具有时域和频域范 围内的有限宽度,也即同时满足条件g()∈L2(R)和G(j9)∈L2(R), 这里G(j2)是g(1)的傅里叶变换。当然,也要求G(?)和g()是连续 的 从前面的分析可以看出,对于给定的窗函数,其分辨力是特 定的。窗函数只能在时间和频率轴上平移,这就意味着无论高频 还是低频,都使用一种尺度来衡量,这是不利于研究高频和低频 信号的。而且可以证明,时域窗和频域窗乘积恒定,不能同时取 任意窄的窗函数。在取高斯函数 e 4a 7-6) 2√
第7章 信号的时频表示与小波变换 首先，为了保证Fourier变换的有效性，窗函数必须是能量有 限的; 以L 2 (R)表示能量有限的信号的全体，则必有g(t)∈L 2 (R)。 其次，为了具有时间和频率定位能力，它必须具有时域和频域范 围内的有限宽度，也即同时满足条件tg(t)∈L 2 (R)和ΩG(jΩ)∈L 2 (R)， 这里G(jΩ)是g(t)的傅里叶变换。当然，也要求G(jΩ)和g(t)是连续 的。 从前面的分析可以看出，对于给定的窗函数，其分辨力是特 定的。 窗函数只能在时间和频率轴上平移，这就意味着无论高频 还是低频，都使用一种尺度来衡量，这是不利于研究高频和低频 信号的。 而且可以证明，时域窗和频域窗乘积恒定，不能同时取 任意窄的窗函数。在取高斯函数 a t a e a g t 4 2 2 1 ( ) − = （7-6）
第?章信号的时频表示与小波变换 时,宽D与频宽D的乘积达到最小值的12,窗函数的性质灯 信号八()的STFT成为 [STFT f]b,jQ2)=f(0g(t-bles"dt (7-7) 这就是有名的 Gabor变换。 现在,让我们换一个角度来思考信号的变换。首先介绍几 基本概念: 函数空间:满足一定条件的函数组成的集合称函数空间 例如,全体平方可积函数构成信号处理的典型空间L(R),定义在 (0,2)的全体平方可积函数构成空间L2(0,2π)。在空间上定义向 量加法与向量乘法则构成线性空间
第7章 信号的时频表示与小波变换 时，宽Dt与频宽DΩ的乘积达到最小值的1/2，窗函数的性质最好。 信号f(t)的STFT成为 STFT f b j f t g t b e dt j t g a + − − [ ]( , ) = ( ) ( − ) (7-7) 这就是有名的Gabor变换。 现在，让我们换一个角度来思考信号的变换。 首先介绍几 个基本概念： 函数空间：满足一定条件的函数组成的集合称函数空间。 例如, 全体平方可积函数构成信号处理的典型空间L 2 (R)，定义在 (0, 2π)的全体平方可积函数构成空间L 2 (0, 2π)。在空间上定义向 量加法与向量乘法则构成线性空间
第?章信号的时频表示与小波变换 基:线性空间中的一个极大线性无关组称为该空间的一组基。 该空间的任一元素均是基的惟一线性组合。如e是函数空间 L2(0,27)的一组基,所有函数均可由它惟一线性表出,表出系数 称为该函数在基上的坐标。 内积:在函数空间上常定义内积=(goab) 是函数八)与g(1)的定义域),内积表征了两信号的关系,信号与 基的内积实质上就是信号在相应基上的投影
第7章 信号的时频表示与小波变换 基: 线性空间中的一个极大线性无关组称为该空间的一组基。 该空间的任一元素均是基的惟一线性组合。如e -jΩt是函数空间 L 2 (0, 2π)的一组基，所有函数均可由它惟一线性表出，表出系数 称为该函数在基上的坐标。 内积： 在函数空间上常定义内积 是函数f(t)与g(t)的定义域），内积表征了两信号的关系，信号与 基的内积实质上就是信号在相应基上的投影。 f (t), g(t) f (t)g(t)dt(a,b) b a =
第?章信号的时频表示与小波变换 标准正交基:设a(O),a2(D,,an(0)是函数空间的一红, a1(),a2(2…,a1()为基函数。如果任意两互异基函数的内积为 0,即(a(O),a(0)=0,,则称这组基是正交基。若每一基 函数长度为1,即y=1,则这组基是该函数空间的 标准正交基。显然e是函数空间L(0,27)的标准正交基。 令h()=e,则傅里叶变换和反变换可表示为 F(jQ2)=f(e dt= (78) 1(y too F(g2)eg2=(79 2丌 2丌
第7章 信号的时频表示与小波变换 标准正交基：设a1 (t), a2 (t), …, an (t)是函数空间的一组基， a1 (t), a2 (t), …, an (t)称为基函数。如果任意两互异基函数的内积为 0， 即〈ai (t), aj (t)〉=0，i≠j， 则称这组基是正交基。 若每一基 函数长度为1，即 ，则这组基是该函数空间的 标准正交基。显然e -jΩt是函数空间L 2 (0, 2π)的标准正交基。 令h(t)=ejΩt，则傅里叶变换和反变换可表示为: ai (t), aj (t) = 1 = = = = + − + − − ( ), ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) F t F j e d F j h t F j f t e dt f t h t j t j t (7-8) (7-9)
第?章信号的时频表示与小波变换 傅里叶变换的 Paseval恒等式可表示为 =(7-10 2丌 令h(1)=ga(1b)e后, Gabor变换或窗口变换的定义可表示为 + [STFT],jQ2)=f(tga(t-b)e dt= 这表明,忽略基函数的具体形式,变换具有统一性。我们希 望变换手段在考察信号的时候能根据信号的性质而相应地改变。 如果能构造出一种基函数具备这种适应性,则利用变换的统一形 式可构造出一种新型的变换。幸运的是,我们找到了这种变换
第7章 信号的时频表示与小波变换 傅里叶变换的Paseval恒等式可表示为 = ( , ( ) 2 1 f (t), g(t) F j G j (7-10) 令h(t)=ga (t-b)ejΩt后， Gabor变换或窗口变换的定义可表示为 = − = − + − [STFT f ](b, j ) f (t)g (t b)e dt f (t),h(t) j t g a 这表明，忽略基函数的具体形式，变换具有统一性。我们希 望变换手段在考察信号的时候能根据信号的性质而相应地改变。 如果能构造出一种基函数具备这种适应性，则利用变换的统一形 式可构造出一种新型的变换。幸运的是，我们找到了这种变换
