教案用微积分推导Newton的万有引力定律复旦大学於崇华Newton万有引力定律宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数为了推导内在的定量关系即数学规律，先要将行星运动定律用数学形式表达出来Kepler第一定律：行星圈绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。rsinercose以太阳为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为p1-ecose'b2是焦参数，这里p=是离心率，α和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。设在t时刻：行星与太阳的距离为r=r(t)，它们的连线与极轴的夹角为0=0(t），则行星的坐标可以用向量记号表示成
教案 用微积分推导 Newton 的万有引力定律 复 旦 大 学 於 崇 华 Newton 万有引力定律 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 为了推导内在的定量关系即数学规律，先要将行星运动定律 用数学形式表达出来。 Kepler 第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭 圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 以太阳为极点，椭圆的长轴 为极轴建立极坐标，则行星的轨 道方程为 r p e = 1 c − os θ ， 这里 p b a = 2 是焦参数，e 是离心率，a 分别是椭圆的半 长轴和半短轴。 b a = −1 2 2 b r cos 和 rsin θ r θ θ 设在 t 时刻： 行星与太阳的距离为 r = r (t)，它们的连线与极轴的夹角 为θ = θ(t) ，则行星的坐标可以用向量记号表示成
r=(r cos0, r sin0)。先从Newton第二运动定律F=ma入手将r分解成水平分量rcosθ和垂直分量rsinθ，利用运动的独立性原理，用Newton第二运动定律d?rF=madt2,分别求它们的二阶导数后再合成。d r=讠（称为径向速度）记行星沿极径方向的速度dtd?r=讠（称为径向加速度），加速度dr?dodo=0の角加速度：角速度：dtdt利用复合函数的求导法则(r和e都是t的函数），行星在x方向和方向上的加速度分量分别为d?(r cos0)= cos0-2ro sino-r[o sino+ 2 cos]dt=(r-ro)cos0-(2ro +ro)sin0;d-(rsin0)rsin+2io cos0+r[ cos0-? sin0]dt=(2r +ro)cos0+(i -ro?)sin0记r方向上的单位向量r=二=(coso,sin)，则加速度向量dr=(r-r0)ro+(210+0)Dr(1)0
r=( c r os θ, r sin θ) 。 先从 Newton 第二运动定律F = ma 入手 将 r 分解成水平分量 r cos θ 和垂直分量 rsin θ ，利用运动 的独立性原理，用 Newton 第二运动定律 F = ma 2 2 d d t r = ， 分别求它们的二阶导数后再合成。 记行星沿极径方向的速度: t r d d ≡ r （称为径向速度） 加速度: 2 2 d d t r ≡ r（称为径向加速度）， 角速度: ≡ θ d t d ω 角加速度: ≡ ω ω d t d 利用复合函数的求导法则(r 和θ都是 t 的函数)，行星在x方向和 方向上的加速度分量分别为 y d r dt r r r 2 2 2 ( cos ) cos sin [ sin cos ] θ = − θ ω θ − ω θ +ω θ = − (r rω )cosθ−( rω+rω )sinθ 2 2 ； d r dt r r r 2 2 2 ( sin ) sin cos [ cos sin ] θ = +θ ω θ+ ω θ−ω θ = (2 + )cos + (− )sin 2 r r ω ω θ r rω θ 。 记 r 方向上的单位向量 r r 0 = r = (cosθ,sinθ)，则加速度向量 a = 2 2 d d t r = (r r − ω ) + ( 2 0 r ω 2rω + rω ) r0 （1）
2ro +ro为了得到行星运动规律，必须求出讠-r2与0而求这两个量只能借助其它的关系式试着将Kepler的行星运动第二定律用数学形式表达出来：Kepler第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的面积是常数。记dA是极径转过角度dθ所扫过的那块椭圆的面积，则由极坐标下的面积公式的微分形式，1r?de,dA=2因此，单位时间中扫过的面积dA1r2の=常数。dt=2记行星绕太阳运行一周的时间为T，则经过T时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积元ab，由定积分的定义和性质，利用微元法，即得dA1r?oTdt元ab2dt因此常数2元abr20T两边求导后得到(r2)= 2rr0 +r2 = 0即2r0+r@=0这样，（1）的最后一项就去掉了，等式成为
为了得到行星运动规律，必须求出r r − ω2 与 ω 2rω + rω ， 而求这两个量只能借助其它的关系式 试着将 Kepler 的行星运动第二定律用数学形式表达出来： Kepler 第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的 面积是常数。 记 d A 是极径转过角度 d θ 所扫过的那块椭圆的面积，则由 极坐标下的面积公式的微分形式， d A = d θ 2 1 2 r ， 因此，单位时间中扫过的面积 dA dt = r 1 2 2ω = 常数。 记行星绕太阳运行一周的时间为 ，则经过 时间极径所 扫过的面积恰为整个椭圆的面积 T T πab ，由定积分的定义和性 质，利用微元法，即得 πab = ∫ = dA dt dt r T T 0 2 1 2 ω ， 因此常数 r a b T 2 2 ω π = ， 两边求导后得到 ( ) r rr r 2 2 ω ′ = 2 0 ω + ω = ， 即 2 0 r r ω + ω = 。 这样，（1）的最后一项就去掉了，等式成为
dr=(r-ro2) ro(2)dt2这表示：行星在任一点的加速度的方向（也就是受力的方向）恰与它的极径同向。从求加速度分量的过程可以发现，加速度的值讠-ro?来自对rcosθ（或rsin）求二阶导数，而椭圆方程p=r(l-ecos0)中恰含有rcos项。这提示我们，可能可以通过对椭圆方程两边求二阶导数来计算出-ro?。d ?(r cos 0)O=p=i-edt=-(-ro2)ecos=(i- ro2)(1- ecos0)+ro2i-ro2'p+ro?r所以1(r20)24元2α?b2 a1r-ro2r2T2b2r2p1a34元2(3)r2T2Kepler第三定律：椭圆的半长轴a的三次方和运行周期a3T的平方成正比，即常数，记太阳的质量为M，有T2Mm4元2α3F = ma =mr-ro)ro=roT2Mr2
a = 2 2 d d t r = (r r − ω2 ) r 0 （2） 这表示：行星在任一点的加速度的方向（也就是受力的方向）恰 与它的极径同向。 从求加速度分量的过程可以发现，加速度的值 来自 对 （或 ）求二阶导数，而椭圆方程 r r − ω2 r cos θ r sin θ p r = ( c 1− e osθ) 中恰含有 项。这提示我们 ．．．．．，可能可以通过对椭圆方程两 边求二阶导数来计算出 r cos θ r r − ω2。 0 = p = r−e dt d (r cos ) 2 θ = −r r(− rω ) c e osθ 2 = − (r rω2 2 )(1 − e cos θ) + rω = − ⋅ + r r r p r ω ω 2 2 ， 所以 ( ) r r r r p a b T a b r − = ω − ⋅ = − ⋅ ω π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 = −4 ⋅ ⋅ 1 2 3 2 π a T r 2 。 （3） Kepler 第三定律：椭圆的半长轴 a 的三次方和运行周期 T 的平方成正比，即 a T 3 2 = 常数，记太阳的质量为 M ，有 F = ma = − mr( rω )2 0r = −( ) ⋅ ⋅ 4 2 3 2 2 π M a T Mm r r 0
记万有引力常数4元2α3~ 6.67 ×10-ll(m / kg: s2) ,G=M T2便得到万有引力定律的数学表示MmroF =-G-r2宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数说明1）以上只是论证了万有引力定律对太阳-行星系统是正确的。但以后的科学工作者（包括Newton本人）一系列的观测和实验数据证实，它确实“放之四海而皆准”，适用范围从天体运动延展到微观世界，令人信服地定量地解释了许多物理现象，并成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子：计算出哈雷彗星的轨道和运行周期：发现海王星和冥王星；●正确解释了潮汐的起因和规律；计算出第一、第二和第三宇宙速度，指导人类宇航活动。(②）数学的产生与发展离不开外部世界的推动，是和解决实际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模型之一。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无法估量，因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。3）一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的，因此学好前人的科学总结，即打好基础对于培养创新精神极为重要。（4）通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容，如：高阶导数、复合函数求导法则、微元法等，并进一步学会如何具
记万有引力常数 G M a T = 4 2 3 2 π ≈ × ⋅ − 667 10 11 3 2 . (m k/ g s )， 便得到万有引力定律的数学表示 F = −G Mm r 2 r0 。 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在 两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 说 明 (1) 以上只是论证了万有引力定律对太阳-行星系统是正确 的。但以后的科学工作者（包括 Newton 本人）一系列的观测和 实验数据证实，它确实“放之四海而皆准”，适用范围从天体运 动延展到微观世界，令人信服地定量地解释了许多物理现象，并 成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子： ●计算出哈雷彗星的轨道和运行周期： ●发现海王星和冥王星； ●正确解释了潮汐的起因和规律； ●计算出第一、第二和第三宇宙速度，指导人类宇航活动。 (2) 数学的产生与发展离不开外部世界的推动，是和解决实 际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模 型之一。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无 法估量，因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。 (3) 一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的，因此 学好前人的科学总结，即打好基础对于培养创新精神极为重要。 (4) 通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容，如： 高阶导数、复合函数求导法则、微元法等，并进一步学会如何具
体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。(5）若承认Newton万有引力定律，用微积分作为工具，也可导出Kepler的行星运动三大定律，这说明两者存在着深刻的内在联系（今后在其它课程，如常微分方程、数学模型中学习）
体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。 (5) 若承认 Newton 万有引力定律，用微积分作为工具，也可导 出 Kepler 的行星运动三大定律，这说明两者存在着深刻的内在 联系（今后在其它课程，如常微分方程、数学模型中学习）