沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量 4.4 实对称矩阵的对角化

$4.4实对称矩阵的对角化实对称矩阵的性质二、用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法三、小结

§4.4 实对称矩阵的对角化 一、 实对称矩阵的性质 二、用正交矩阵使实对称矩阵对 角化的方法 三、小结

复习：对称矩阵的定义（39页实对称矩阵的性质一、定理1实对称矩阵的特征值都是实数定理2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交定理3设2为实对称矩阵的n，重的特征值，则矩阵A-,E的秩R(A-a,E)=n-n,，从而恰好有 n,个属于特征值几，的线性无关的特征向量任意实对称矩阵，必可以对角化

一、实对称矩阵的性质 定理1 实对称矩阵的特征值都是实数. 定理2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. 定理3 设 i 为实对称矩阵的 i n 重的特征值，则矩阵 A E  i 的秩 ( ) i i R A E    n n ，从而恰好有 i n 个属于特 征值 i 的线性无关的特征向量. 复习：对称矩阵的定义（39页） 任意实对称矩阵,必可以对角化

21121对角化1例1 试将矩阵 A=21解由于 A为实对称矩阵,所以必可以对角化2-21112-元1A-AE=-(α-1)2(α-4)-12-1故 A 的特征值为 =, =1, = 4001018

解 由于 A 为实对称矩阵,所以必可以对角化. 2 2 1 1 1 2 1 ( 1) ( 4) 1 1 2                A E 故 A 的特征值为 1 2 3       1, 4 例1 试将矩阵 2 1 1 1 2 1 1 1 2            A 对角化

对于 = =1，求解齐次线性方程组(A-1E)x=0000A-E=00得基础解系为0n =,n2 =00108

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0                        A E 得基础解系为 1 2 1 1 1 , 0 0 1                           对于 1 2    1 ，求解齐次线性方程组 ( 1 ) A E x   0

对于 =4，求解齐次线性方程组(A-4E)x=0-2-21101.0301-21-3-1A-4E=1-0000-2-337得基础解系为N3 =001018

对于 3   4 ，求解齐次线性方程组 ( 4 ) A E x   0 2 1 1 1 1 2 1 0 1 4 1 2 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 0 3 3 0 0 0                                           A E 得基础解系为 3 1 1 1            

1-1==1,=40Tns =,n2ni =1-1011n110有 P-IAP:

 1 2 3  1 1 1 1 0 1 0 1 1               P    有 1 1 1 4             P AP 1 2 1 1 1 , 0 0 1                           3 1 1 1             1 2 3       1, 4

定理4设A为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q使得元元Q-"AQ=其中,，,,为 A 的特征值001018

定理4 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q ， 使得 1 1 2 n                  Q AQ 其中 1 2 , , ,   n 为 A 的特征值

二、用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤：（1）求出特征方程aE-A=0的全部实特征值：（2）对每一个n重的特征值2，解齐次线性方程组(a,E-A)x=0，得到 n.个线性无关的特征向量：

二、用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法 用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤: （1）求出特征方程 E A  0 的全部实特征值； （2）对每一个 i n 重的特征值 i ，解齐次线性方程组 ( ) i E A x   0 ，得到 i n 个线性无关的特征向量；

（3）利用施密特正交化方法，把属于的n个线性无关的特征向量正交化，再单位化（4）将总共得到的n个单位正交特征向量作为矩阵Q的列向量，则Q为所求正交矩阵（5）Q-A为对角矩阵，其主对角线上的元素为A的全部特征值，它的排列顺序与Q中正交单位向量的排列顺序相对应00018

阵 Q 的列向量，则 Q 为所求正交矩阵； （5） 1 Q AQ 为对角矩阵，其主对角线上的元素为A 的全部特征值，它的排列顺序与 Q 中正交单位 向量的排列顺序相对应. （3）利用施密特正交化方法，把属于 i 的 ni 个线性 无关的特征向量正交化，再单位化； （4）将总共得到的 n 个单位正交特征向量作为矩

例2用正交矩阵将例1中的矩阵对角化解在例1中已经求出矩阵A的特征值为 ==1,=4，对应的特征向量为110n2ni =n3001018

例2 用正交矩阵将例1中的矩阵对角化. 解 在例1中已经求出矩阵 A 的特征值为 1 2 3       1, 4 ，对应的特征向量为 1 2 1 1 1 , 0 , 0 1                           3 1 1 1            