沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.3 逆矩阵

设A、B均为n（n≥3)阶可逆矩阵，C表示方阵C的件随矩阵则（AB）=（AB*AAB. B[AB (AB)DC. C[AB|-(AB)B*A*D. D

D

设A为n阶方阵，A是A的伴随矩阵，则AA等于（...）AAPB. [A"DC.AD

D

矩阵第二章$ 2. 3逆矩阵一、伴随矩阵（定义和性质）二、逆矩阵（定义、可逆条件、5个性质）三、小结

第二章 矩阵 §2.3 逆矩阵 一、伴随矩阵(定义和性质） 三、小结 二、逆矩阵（定义、可逆条件、5个性质）

一、伴随矩阵1、定义方阵A的行列式Al的各元素的代数余子式Ai所构成的方阵AulA42Ar2A22An2AnAznA...nn称作方阵A的伴随矩阵简记A*注求矩阵A的伴随矩阵A*时,要注意A*的第行元素是A中的第元素的代数余子式

1、定义 方阵A的行列式 A 的各元素的代数余子式 Aij 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn              A A A A A A A A A A 一、伴随矩阵 所构成的方阵. 称作方阵A的伴随矩阵 . 简记  A 注 求矩阵 , i A A A 的伴随矩阵   时要注意 的第 行元素 是 A中的第i列元素 的代数余子式

21例1设矩阵求 A*A=34A2 = -3解A=4AA21A*A22A=2A21 = -1A224-1所以A*2-3

2 1 3 4        A  A 11 A  4 4 1 3 2           A 例1 设矩阵 求 ． 解 ， 所以 12 A  3 21 A  1 22 A  2 11 21 12 22 A A A A         A

练习：求下列方阵的伴随矩阵[13221221(2) A=(1)A :43334解-24(1)A*=-31(2)A11=2， A12=-3 ， A13=2 ,26-45-3-6A21=6, A2=-6 A23=-2，A'=212-2A31=-4 ， A32=5 ， A33=-2

练习： 求下列方阵的伴随矩阵 1 2 (1) 3 4 A      解   4 2 (1) * 3 1 A          1 2 3 2 2 2 1 . 3 4 3            （ ）A （2） A11=2， A12 =-3 ， A13=2 ， A21=6 ，A22= - 6 A23=2 ， A31= -4 ， A32=5 ，A33= -2， 2 6 4 3 6 5 2 2 2                 A

2、伴随矩阵的性质对于任何方阵Ax(n≥2),以下成立性质1AA*=A*A=A|E证：aa,dnan1a22aan12n2AA2anlan2a12nnnInnn00TA同理可得，A*A=AE00IA=AIE..00[A

性质1 * * ( 2), | | A n n n AA A A A E     对于任何方阵 以下成立 证： * AA  | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A A              11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A a a a A A A                         2、伴随矩阵的性质 * 同理可得，A A A E  | | A E

性质2设A为n阶方阵，「A|≠O 则「A*=(IA)n-1由性质1得到证明：AA" = A'A=|A|E→|A|A|=|A|E|=|A"|E|=|A"→[A|A|=|A→[4|=[A"-

证明： 1 * n A A    性质2 设A为n阶方阵,|A| 0  * 1 | (| |)n A A  则 |  * * AA A A A E   *   A A A E n n   A E A * n   A A A 由性质1得到

逆矩阵概念的引入在数的运算中，除法可以看成是乘法的逆运算，有d-a=d×==dxa-1(a±0)a上式说明，只要定义了数的倒数a，除法可以通过乘法来实现。若记b=a-,则数的倒数由下式唯一确定可以把这种通过倒数来实施除法ab = ba = 1的思想延拓到矩阵中来哦矩阵乘法中单位矩阵相当于数的乘法运算中的1：，使得那么，对于n阶方阵A，如果存在一个n阶矩阵B,AB=BA=E逆矩阵相当于数则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵中的倒数哦

1 1 d a d d a a       AB BA E   , 则称A为可逆矩阵，B 为A的 在数的运算中，除法可以看成是乘法的逆运算， ( 0) a  有 矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于n阶方阵A，如果存在一个 n阶矩阵B, 使得 逆矩阵概念的引入 上式说明，只要定义了数的倒数 ，除法可以通过乘法来实现。 1 a  若记 1 b a ,   则数的倒数由下式唯一确定， ab ba   1 可以把这种通过 倒数来实施除法 的思想延拓到矩 阵中来哦 逆矩阵. 逆矩阵相当于数 中的倒数哦 ^_^

逆矩阵的定义定义:对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得AB= BA= E,则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的一个逆矩阵例设AB=数的倒数是唯一的，那矩阵: AB= BA= E.的逆矩阵是不是唯一的呀.B是A的一个逆矩阵

定义: 对于 阶方阵 ，如果有一个 阶方阵 ， 则说方阵 是可逆的，并把方阵 称为 的一个逆矩阵. n A B AB  BA  E, B A n A 使得 例 设 1 1 1 2 1 2 , , 1 1 1 2 1 2 A B                  AB  BA  E, B是A的一个逆矩阵. 数 的 倒 数 是 唯 一 的 ， 那 矩 阵 的 逆 矩 阵 是 不 是唯一的呀 二、逆矩阵的定义