沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第4章 特征值与特征向量 4.2 方阵的特征值与特征向量

S 4. 2特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的性质四、小结

§4.2 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 三、特征值与特征向量的性质 二、特征值与特征向量的求法 四、小结

特征值与特征向量的概念一、定义1设A是n阶矩阵，如果存在非零向量n和数An=an几使得关系式成立，则几称为A的特征值，非零向量为矩阵A的属于特征值孔的特征向量

一、特征值与特征向量的概念 定义1 设A是n 阶矩阵，如果存在非零向量 和数 使得关系式   A    成立，则 称为A的特征值，非零向量 为矩阵 A的属于特征值 的特征向量.   

An= 改写为(A-E)n=0其中 ≠0容易看出，n为齐次线性方程组(2)(A-E)x= 0的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是[A-E|=0若记n阶矩阵A=(a），则00108

改写为  A E     0 其中   0 容易看出，  为齐次线性方程组  A E x     0 的非零解，而方程组（2）有非零解的充要条件是 （2） A E    0 若记n阶矩阵 A  aij ，则 A   

an-a12aina22 -元a21a2n=0[A-E|-..:.一元anlan2ann定义2称矩阵 A-aE为A的特征矩阵，称几的n次多项式A-E为 A的特征多项式，记为f(a)；称以 为未知元的n次方程AE=0 为A的特征方程定义3若为特征方程星A-E=0的 k重根，称几为A的k重特征值00108

11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a           A E 定义2 称矩阵 A E  为A的特征矩阵, 称  的n次多项式 A E  为 A 的特征多项 f ( )  ；称以  为未知元的n A E    0 为 A 的特征方程. 式，记为 次方程 定义3 若  为特征方程 A E    0 的 k 重根，称  为 A 的 k 重特征值

bbbebbha例1求特征值与特征向量A=bh6a.bbbabb1ba+(n-1)bbb1ha+(n-1)b-=a+(n-1)bbbba+(n-1)bO..+b1bbα+(n-1)b所以 α+(n-1)b 是A的一个特征值,A =[a+(n -1)b]是A的属于特征值直 α+(n-1)b 的特征向量。注意：若n阶方阵A的每一行之和为常数K，则K是A的特征值5[1,1,..,1]是A的属于K的特征向量

1 1 1 1 a b b b b a b b A b b a b b b b a                                   A a n b       ( 1) ,  所以 a n b   ( 1) 是A的一个特征值，  是A的属于特征值 a n b   ( 1) 的特征向量。 例1 求特征值与特征向量 a b b b b a b b A b b a b b b b a                    1 1 ( 1) 1 1 a n b                    ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) a n b a n b a n b a n b                          注意：若n阶方阵A的每一行之和为常数K，则K是A的特征值。 1,1, ,1 T   是A的属于K的特征向量

特征值与特征向量的求法二求n阶矩阵A的特征值和特征向量的方法（1）写出矩阵 A 的特征多项式 f()=A-E（2）求特征方程A-^E=0的根，由此得到 A的特征值（共n个，这其中可能有重复的根也可能有复数根）：000?

二、特征值与特征向量的求法 求n阶矩阵 A 的特征值和特征向量的方法 （2）求特征方程 的根，由此得到 的特征值（共n个，这其中可能有重复的根， 也可能有复数根）； A E    0 A （1）写出矩阵 A 的特征多项式 f ( )     A E ；

（3）对于每一个特征值孔，求解齐次线性方程组(A-αE)x=0 的基础解系，从而得到属于特征值 的特征向量.设(A-E)x=0的一个基础解系为S,52，,Sr，则矩阵A的属于特征值的全部特征向量为k+k2+..+k,5其中k,k2,,k,不全为零001018

不全为零.  A E x     0   A E x     0 1 2 , , ,    r A  1 1 2 2 r r k k k       1 2 , , , r k k k （3）对于每一个特征值  ，求解齐次线性方程组 的基础解系，从而得到属于特 征值 的特征向量.设 的一个基 础解系为 ，则矩阵 的属于特征值 的全部特征向量为 其中

注意：(1)由求解过程可以注意到，，每个特征向量只能属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属于相同的特征值(2)求特征值就是求特征方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解

(1)由求解过程可以注意到，每个特征向量只能 注意： (2)求特征值就是求特征方程的根；求特征向 属于唯一的特征值，而许多特征向量可以属 于相同的特征值. 量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解

2例2求矩阵 A=的特征值与特征向量-2O解A的特征多项式为21-2(2-3)ZE-25-所以 A的特征值为 ==3

例2 求矩阵 1 2 2 5        A = 的特征值与特征向量. A 的特征多项式为 2 1 2 ( 3) 2 5            A E A 的特征值为 1 2     3 解 所以

2A=4=2 =3(A-aE)x= 05-2-22A-3E=-22一个基础解系为n于是，属于 ==3的全部特征向量为kn（k0)

2 2 1 1 3 2 2 0 0                  A E = 一个基础解系为 1 1         于是，属于 的全部特征向量为 （ ）. 1 2     3 k k  0 1 2 2 5        A =  A E x     0 1 2     3