沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义，共五章，授课教师：罗敏娜）

线性代数教案第1章行列式C计算机与数学基础教学部O《线性代数》教案C罗敏娜授课教师：O.--计算机与数学基础教学部罗敏娜1

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 1 - 计算机与数学基础教学部 《线性代数》教案 授课教师： 罗敏娜

线性代数教案第1章行列式授课题目81.1预备知识课次：11.了解排列、逆序数，奇偶排列、对换的性质教学目的2.掌握逆序数的概念教学重点逆序数的求法教学难点逆序数的求法教学手段板书、多媒体、学习通平台结合教学时数1课时教学过程备注一、复习引入排列的定义二、讲授新课（一）和号和积号1.和号n如a,=a+a,+…a,，表示a,a,,a,的连加和=其中i称为下标，下标是虚拟变量，可由任意字母替代，如n1万a.a=Za+11=0i=1k=l在本课程中，我们还要采用双重和号，如"AZZa,=a+a2+.+am合司+a21+a22+..a2n..+am+am2+...+a表示m·n个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,…,n)的连加和2.积号在学习中还要用到求积的符号，如a,=aa"a，表示aaza,a,的i=l连乘积．再如II (x -x)=(2 -x)(-) (x -x) ( -x)(x, -)( ---)SJSIS表示所有可能的(x,-)(i>)的连乘积。（二）排列和逆序数1.n级排列计算机与数学基础教学部罗敏娜2

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 2 - 授课题目 §1.1 预备知识 课次：1 教学目的 1.了解排列、逆序数，奇偶排列、对换的性质 2. 掌握逆序数的概念 教学重点 逆序数的求法 教学难点 逆序数的求法 教学手段 板书、多媒体、学习通平台结合 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 排列的定义 二、讲授新课 （一）和号和积号 1.和号 如 1 2 1 n i n i a a a a       ,表示 1 2 , , , n a a a 的连加和. 其 中 i 称 为 下 标 , 下 标 是 虚 拟 变 量 , 可由任意字母替代 , 如 1 1 1 1 0 n n n i k t i k t a a a           . 在本课程中,我们还要采用双重和号,如 11 12 1 1 1 m n ij n i j a a a a         21 22 2n    a a a  m m mn 1 2     a a a , 表示 m n 个数 a i m j n ij    1,2, , ; 1,2, ,  的连加和. ２.积号 在学习中还要用到求积的符号,如 1 2 1 n i n i a a a a    , 表示 1 2 3 n a a a a 的 连乘积．再如   1 i j j i n x x               x x x x x x x x x x x x 2 1 3 1 1 3 2 2 1    n n n n         表示所有可能的  x x i j i j     的连乘积. （二）排列和逆序数 1. n 级排列

线性代数教案第1章行列式定义1：由自然数1,2,3,,n组成的一个无重复有序数组ii2，.i，称为-个n级排列例1：由自然数2,3,4可组成几级排列？分别是什么？解：可以组成三级排列，它们是234.243324,342.423.4322.逆序及逆序数定义2在一个n级排列i,i2，i中，如果较大数i排在较小数i之前，即，>i，则称这一对数；构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数.可表示为T(i,·.）例2：求(21534），T(32541)两种方法解：在五级排列21534中，构成逆序数对的有21,53,54，因此t(21534)=3在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31,21,54,51,41，因此t(32541)=6.3.偶排列与奇排列定义3：如果排列i,i2，…i，的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的逆序数为奇数，则称它为奇排列。例3:试求t(123n）T(n(n-1).321),并讨论其奇偶性.解：n阶排列1,2,3,.·n中没有逆序，所以t(123..·n)=0,这是一个偶排列，它具有自然顺序，故又称为自然排列.在n,n-1,.3,2,1中，只有逆序，没有顺序，故有t(n(n-1)...21)=(n-1)+(n-2)+2+1==n(n-1)2从而当n=4k或n=4k+1时这个排列为偶排列，否则为奇排列4.对换定义4:排列i，2，i，中，交换任意两数与i的位置，称为一次对换，记为(i,1).如：21534（3）→23514t(21534)=3，所以21534是奇排列：t(23514)=4，所以23514是偶排列;一般地有以下结论定理1：任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性定理2：在一个n级排列中，奇偶排列各占一半三、巩固练习排列13...(2n-1)(2n)(2n-2)·.42，求逆序数计算机与数学基础教学部罗敏娜3

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 3 - 定义 1：由自然数 1,2,3, ,n 组成的一个无重复有序数组 n i ,i , i 1 2 称为一 个 n 级排列. 例 1：由自然数 2,3,4 可组成几级排列？分别是什么？ 解：可以组成三级排列,它们是 234,243, 324,342,423,432 . 2.逆序及逆序数 定义 2：在一个 n 级排列 n i ,i , i 1 2 中，如果较大数 s i 排在较小数 t i 之前，即 s t i i  ，则称这一对数 st ii 构成一个逆序，一个排列中逆序的总数，称为它的逆序 数.可表示为 1 2 n  ( , , ) i i i . 例 2：求   （21534 32541 ）,（ ）. 解：在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有 21,53,54 ，因此 （21534 =3 ） . 在五级排列 32541 中，构成逆序数对的有 32,31,21,54,51,41 ，因此 （32541 =6 ） . 3.偶排列与奇排列 定义 3:如果排列 n i ,i , i 1 2 的逆序数为偶数，则称它为偶排列；如果排列的 逆序数为奇数，则称它为奇排列. 例 3:试求  123 n  n n( 1) 321   ,并讨论其奇偶性. 解: n 阶排列 1,2,3, n 中没有逆序,所以  123 0 n  ,这是一个偶排 列,它具有自然顺序,故又称为自然排列. 在 n n, 1, 3,2,1  中,只有逆序,没有顺序,故有 1 ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 2  n n n n n n          从而当 n k  4 或 n k   4 1 时这个排列为偶排列,否则为奇排列. 4.对换 定义 4:排列 n i ,i , i 1 2 中，交换任意两数 t i 与 s i 的位置，称为一次对换，记 为 t ( , ) s i i . 如: 1,3 21534 23514  ,  21534 3   ,所以 21534 是奇排列;  23514 4   ,所以 23514 是偶排 列; 一般地有以下结论. 定理 1:任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性. 定理 2:在一个 n 级排列中，奇偶排列各占一半. 三、巩固练习 排列 13(2n 1)(2n)(2n  2)42, 求逆序数． 两种方法

线性代数教案第1章行列式四、小结1.排列；2.逆序数。五、作业1.学习通1.1视频2.学习通1.1课后练习题3.学习通1.1作业教学反思：让学生一定要掌握排列、逆序数，奇偶排列的定义及基本性质，这是非常重要的。1.2.让学生多做题，熟悉逆序数的求法，这在二阶、n阶行列式的定义的求法计算机与数学基础教学部罗敏娜- 4 -

线性代数教案 第 1 章行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 4 - 四、小结 1.排列； 2.逆序数。 五、作业 1.学习通 1.1 视频 2.学习通 1.1 课后练习题 3.学习通 1.1 作业 教学反思： 1. 让学生一定要掌握排列、逆序数，奇偶排列的定义及基本性质，这是非常重要的。 2. 让学生多做题，熟悉逆序数的求法，这在二阶、n阶行列式的定义的求法

线性代数教案第1章行列式授课题目81.2行列式的定义课次：11.了解二、三阶行列式教学目的2掌握行列式的定义教学重点n阶行列式的定义教学难点n阶行列式的定义教学手段板书、多媒体、学习通结合教学时数1课时教学过程备注一、复习引入中学学过解二元一次方程组[ax+ay=c][b,x+b2y=C2如果有解，它的解完全可由他们的系数(a,a2,b,bzCi,cz)表示出来。[ax+ay=C(1)(1)xb(3)abx+aby=cb(2al[b,x+b,y=c2(2)(4)abx+aby=ac2(4)(3)=(a,b, -a,b,)=(ac2 -b,c.)Jarcac, -bci=b, cl若ab-a,b0，则y=(2)aaa,b,-a,b[b b2ca2b同理x=(3)a a2[b1 b,其中a均称为二阶行列式。bc1bb112b2二、讲授新课（一）二阶、三阶行列式定义1：由2=4个数，按下列形式排成2行2列的方形[41 2记作D2[a21a22]aa2其被定义为一个数：=aia22-a12a21a21a22计算机与数学基础教学部罗敏娜1:

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 1 - 授课题目 §1.2 行列式的定义 课次：1 教学目的 1.了解二、三阶行列式 2 掌握行列式的定义 教学重点 n 阶行列式的定义 教学难点 n 阶行列式的定义 教学手段 板书、多媒体、学习通结合 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 中学学过解二元一次方程组        1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 如果有解，它的解完全可由他们的系数   1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c ,c 表示出来。        (2) (1) 1 2 2 1 2 1 b x b y c a x a y c 1 1 (1) (2) b a           (4) (3) 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 a b x a b y a c a b x a b y c b     1 2 2 1 1 2 1 1 (4) (3)  a b  a b y  a c b c  . 若 a1b2  a2b1  0 ，则 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 b b a a b c a c a b a b a c b c y      （2） 同理 1 2 1 2 2 2 1 2 b b a a c b c a x  （3） 其中 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , c b c a b b a a b c a c 均称为二阶行列式。 二、讲授新课 （一）二阶、三阶行列式 定义 1：由 2 4 2  个数，按下列形式排成 2 行 2 列的方形 21 22 11 12 a a a a ， 记作 D2 其被定义为一个数： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a  

线性代数教案第1章行列式由33=9个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数aa2a3a212223=2233+22331+3232D, =a31a32a3322—23322233一般2阶，3阶行列式的计算可按对角线法则得到。30111-510的值。23=0的根。例1（1）计算(2) 求X12-1x2491300= 221 -5解(1)1-121 1123(2)x= (x- 2)(x- 3) = 049x?三阶行列式定义的特征：(1)共有3！=6项相加，其结果是一个数；(2)每项有3个数相乘：aip2p,p，而每个数取自不同行不同列，即行标固定为123，列标则是1，2，3的某个排列PiP2P3；每项的符号由列标排列P-PzP,的奇偶性决定，即符号是（-1)(ppap)。(3)故三阶行列式可写成a1a2a13(-1)r(PiP2P3D, =二a2a22a23a2p.a3p3a31a3233注意对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式，下面我们介绍n阶行列式的定义及其计算方法.（二）n阶行列式定义2由n2个数排成n行n列，写成计算机与数学基础教学部罗敏娜2

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 2 - 由 3 9 3  个数组成的 3 行 3 列的 3 阶行列式，则按下列形式定义为一个数 D3 = 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a       一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法则得到。 例 1 （1）计算 1 2 1 1 5 0 3 0 1   的值。 （2）求 0 4 9 2 3 1 1 1 2  x x 的根。 解 （1） 22 1 2 1 1 5 0 3 0 1    （2） ( 2)( 3) 0 4 9 2 3 1 1 1 2  x  x   x x 三阶行列式定义的特征： （1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数； （2） 每项有 3 个数相乘： 1p1 2 p2 3 p3 a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行 标固定为 123，列标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ； （3） 每项的符号由列标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 ( ) 1 2 3 ( 1)  p p p  。 故三阶行列式可写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3! ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a D      注意 对角线法则仅适用于 2 阶和 3 阶的行列式,下面我们介绍 n 阶行列式 的定义及其计算方法. （二） n 阶行列式 定义 2 由 2 n 个数排成 n 行 n 列，写成

线性代数教案第1章行列式ana2..ana2a22.. a2nD=(1)[anan2am称为n阶行列式，其中α为第i行，第j列的元素：其值为n!项，每一项取自不同行不同列的n个元素的连乘积，即a,a2im.的代数和.其中jj.j构成一个n级排列.若用D表示行列式，则D=Z（-1)hax2am(2)iia-J.2（-1)ha,2a%.表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列jiv2--J.所确定的项求和。（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到n阶行列式的另一种定义形式：定义3D=(-1)(-)a1ar2-agnii2-l.即把列标写成标准排列i2i，为行标的一个n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式定义4 D=Z(-1)(b-(-)au%u.,其中i..i,为行标的一个n阶排列，jiJ.J,为列标的一个n阶排列强调：（1）n阶行列式的定义具有类似的三项特征，（2）位置与位置上的元素区别。若行标不按照自特别，定义一阶行列式（即n=1）为：[a/ = a o然顺序排列，如何确定符号？a421a22a23a24例 2四阶行列式D=共有多少项？乘积s12aa4ara4243a4i22432是D中的项吗？解共有4!=24项.乘积α2α24α32α4,不是D中的一项，因为其中有两个元素ai2，agz均取自第2列计算机与数学基础教学部罗敏娜-3

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 3 - 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a D  （1） 称为 n 阶行列式,其中 ij a 为第 i 行,第 j 列的元素；其值为 n! 项,每一项取自不同 行不同列的 n 个元素的连乘积,即 1 2 1 2 . n j j nj a a a 的代数和.其中 1 2. n j j j 构成一个 n 级排列. 若用 D 表示行列式，则 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a  D    （2） 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a    表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列 所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到 n 阶行 列式的另一种定义形式： 定义 3 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n i i i i i i n i i i a a a  D    ， 即把列标写成标准排列 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列.由此，得到行列式更一般 的定义形式. 定义 4 1 2 1 2 1 1 2 2 ( . ) ( . ) ( 1) . n n n n i i i j j j i j i j i j a a a   D    ， 其中 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列， 1 2. n j j j 为列标的一个 n 阶排列. 强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征， （2）位置与位置上的元素区别。 特别，定义一阶行列式（即 n 1 ）为： a11  a11 。 例 2 四阶行列式 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a D  共有多少项？乘积 12 24 32 41 a a a a 是 D 中的项吗？ 解 共有 4! 24  项. 乘积 12 24 32 41 a a a a 不是 D 中的一项，因为其中有两个元 素 12 a ， 32 a 均取自第 2 列. 若行标不按照自 然顺序排列，如何 确定符号？

线性代数教案第1章行列式x1121x1-1例3已知D=，求x的系数.132x[1 1 2xX1解由行列式的定义，展开式的一般项为(-1)(axa2,s,a4,要出现x的项，则α需三项取到x.显然行列式中含x的项仅有两项，它们是：即xx.x-1=x及(-1)r(1234)aa2243a44 及 (-1)(1243)aia2234a43(-1)-x-x-1.2x = -2x3故x的系数为1+(-2)=-1.（三）特殊行列式下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式1.对角行列式Ja090...00..00a22称D=为对角行列式：1：lo0..amm根据行列式的定义得[a100..0000anD==aua22am..:+000..am2.上三角形行列式aa2..ain0a22.a2n为上三角形行列式称D=...:00.am根据行列式的定义得aai2：ain0a22..a2nD==aa22**.am....oo..am3.下三角形行列式计算机与数学基础教学部罗敏娜- 4 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 4 - 例 3 已知 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 x x x x  D  ，求 3 x 的系数. 解 由行列式的定义，展开式的一般项为 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 ( 1) j j j j j j j j a a a a   要出现 3 x 的项，则 i ij a 需三项取到 x .显然行列式中含 3 x 的项仅有两项，它们是： (1234) 11 22 33 44 ( 1) a a a a   及 (1243) 11 22 34 43 ( 1) a a a a   即 3 x x x x    1 及 3 ( 1) 1 2 2        x x x x 故 3 x 的系数为 1 ( 2) 1     . （三）特殊行列式 下面利用行列式的定义来计算几种特殊的 n 阶行列式. 1．对角行列式 称 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a D  为对角行列式. 根据行列式的定义得 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a D  11 22 nn  a a a 2. 上三角形行列式 称 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a D  为上三角形行列式. 根据行列式的定义得 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a D  11 22 nn  a a a 3. 下三角形行列式

线性代数教案第1章行列式Jai0000.a21a220称D=下三角形行列式.:::...an3am[anian2同理可得Ja000·00a2ia22D==aa22"*.am.......::an3.amanan24.副对角行列式00an00..a2,n--称D=为副对角行列式.....:a..o根据行列式的定义得00αm00·n(n-1)a2,n-1D==(-1)2aina2,n-1*..an-1,2anl::..00an三、巩固练习J00040431.计算行列式4324321[k342.k=?时,-1 k0=0.0l0k1四、小结1.行列式的定义；2.四种特殊行列式。五、布置作业1.学习通1.2视频2.学习通1.2课后练习题；3.学习通1.2作业教学反思：1.利用n阶行列式的定义求出行列式的项的正负号，这是学习的重点。2.对于上（下）三角形行列式的形式及值一定要熟悉。计算机与数学基础教学部罗敏娜- 5-

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 5 - 称 11 21 22 1 2 3 0 0 0 0 0 n n n nn a a a a a a a D  下三角形行列式. 同理可得 11 21 22 1 2 3 0 0 0 0 0 n n n nn a a a a a a a D  11 22 nn  a a a 4. 副对角行列式 称 1 2, 1 1 0 0 0 0 0 0 n n n a a a  D  为副对角行列式. 根据行列式的定义得 1 2, 1 1 0 0 0 0 0 0 n n n a a a  D    ( 1) 2 1 2, 1 1,2 1 1 n n n n n n a a a a      三、巩固练习 1.计算行列式 0 0 0 4 0 0 4 3 0 4 3 2 4 3 2 1 ； 2. 3 4 ? , 1 0 0 0 1 k k k k    时 ． 四、小结 1.行列式的定义； 2.四种特殊行列式。 五、布置作业 1.学习通 1.2 视频 2.学习通 1.2 课后练习题；3.学习通 1.2 作业 教学反思： 1.利用n阶行列式的定义求出行列式的项的正负号，这是学习的重点。 2.对于上（下）三角形行列式的形式及值一定要熟悉

线性代数教案第1章行列式授课题目81.3行列式的性质课次：21.掌握行列式的性质教学目的2.会用行列式的性质计算行列式教学重点行列式的性质教学难点用性质计算行列式教学手段板书与多媒体结合教学时数2课时教学过程备注一、复习引入ai2.anoa22..a2nD=等于主对角线上元素的乘积。:oo..am二、讲授新课（一）行列式的性质aa2.ainaa21..an举小例子说明各个性质a2a22..a2ma12a22...an2DT =D=从例子出发引出..性质[alan2amm[aina2n.ann转置行列式行列式D的行与列对应互换得到的新行列式，记作DT，若记D中(i,j)位置上的元素为b,，即成立b,=aj。D=DT。性质1性质1表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。性质2任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。推论1两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零。anauai2..auna12ain...................（给出具体三阶性质3NaNas2Nasn=astas2...asn.............-.-an2...amanannanan2行列式解释）推论2若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。计算机与数学基础教学部罗敏娜- 6

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 6 - 授课题目 §1.3 行列式的性质 课次：2 教学目的 1.掌握行列式的性质 2.会用行列式的性质计算行列式 教学重点 行列式的性质 教学难点 用性质计算行列式 教学手段 板书与多媒体结合 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a D  等于主对角线上元素的乘积。 二、讲授新课 （一）行列式的性质 n n n n n n a a a a a a a a a D        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  n n n n n n T a a a a a a a a a D        1 2 12 22 2 11 21 1  转置行列式 行列式 D 的行与列对应互换得到的新行列式，记作 T D ， 若记 T D 中 (i, j) 位置上的元素为 bij ，即成立 bij = aji 。 性质 1 T D  D 。 性质 1 表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。 性质 2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。 推论 1 两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零。 性质 3 n n n n s s s n n n n n n s s s n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a                       1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1      。 （给出具体三阶 行列式解释） 推论 2 若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。 举小例子说明各 个性质 从例子出发引出 性质