沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.1 线性方程组有解的判定定理

第三章向量与线性方程组83.1线性方程组有解的判定定理线性方程组的求解一二、非齐次线性方程组解法三、齐次线性方程组解法001018

§3.1 线性方程组有解的判定定理 一、线性方程组的求解 二、非齐次线性方程组解法 三、齐次线性方程组解法 第三章 向量与线性方程组

线性方程组的求解一aX +ai2X2 +... +ainxn =b若全为0a21X +a22X2 +.. +a2nXn b2否则，为非齐次线性方程组称为齐次线性方程组b一++axam1X +am2X2mmnn其中X,X2.x常数项第i个方程第i个未知量x，的系数未知量，特征：由m个方程n个未知量的线性方程构成的方程组

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    其中 n x , x , , x 1 2  未知量, ij a 第i个方程第j个未知量xj的系数, 常数项 若全为0 称 为 齐 次 线 性 方 程 组 否 则 ， 为 非 齐 次 线 性 方 程 特征：由m个方程n个未知量的线性方程构成的方程组 组 一、线性方程组的求解

ala21(n)amannA=方程组的系数矩阵.aaamJm2mnbanla12增广矩阵A=b2a21a22d1am2ammnm

11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             A= 1 2 m b b b 方程组的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              增广矩阵

aix +ai2x2 +...+ainxn = ba21X + a22X2 +... +a2nXn = b,nhx+aaamX +am2X2 +mnmn写成矩阵形式xb.a.a.a12111nb.xa.aa2122222nbaaLamlm2m或者矩阵形式Ax=b

写 成 矩 阵 形 式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             1 2 n x x x             1 2 m b b b              或者矩阵形式 Ax b  11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                   

二、非齐次线性方程组的求解例解线性方程组不能用克拉默21 - 32 + 3 =- 5,法则求解1 - 2α2- 3 =- 2,4α1-2α2+ 73 =- 7,α1-2+23=-3.解互换①、②两个方程得到同解的方程组

例 解线性方程组 不能用克拉默 法则求解. 解 互换①、②两个方程得到同解的方程组， 二、非齐次线性方程组的求解

1 - 2α2 - α3 =- 2,(I)2 - 32 + α3 =- 5,4xi -22 + 73 =-7,4αl- 2 + 2α3 =- 3.同+解①*(-2)+②、①*（-4） +③、(-1)消去x11= - 2,α122- 3x2+ 33 =- 1,(III)6x2+ 11α3= 1,7+ 33 =- 1.ci

①*（-2）+②、 ①*（-4）+③、 ①*（-1）+④，消去x1 同 解 (Ⅱ) (Ⅲ)

=- 2,α1-22- 333 =- 1,C2+35(II)6α2+ 11α3 = 1,3℃3 =—℃2同解+③、③*（-1）+消去x25*(-6)2,1- 22 — 3 =-2+33=- 15(IV)8- 7α3 = 7,90x3 = 0

⑤*（-6）+⑥、 ⑤*（-1）+⑦消去x2 同 解 (Ⅳ) (Ⅲ)

=-2-2x,x,-x3= 2(V)=-1X3= 00x3同解=1X= 2X2(VI)=-1解为：x=1,X3X2= 2, X3=-1=00x3

1 2 3 2 33 2 221 0 0 x x x x xx             (Ⅴ) (Ⅵ) 1 2 3 3 121 0 0 x x xx          解为： x 1 = 1 ， x 2 = 2 ， x 3 = - 1 同解

上述消元法过程，对线性方程组施行了三种变换：1）交换两个方程的位置(2)用一个不等于零的数乘某一个方程：（3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上称这三种变换为线性方程组的初等变换消元法的实质，就是利用初等变换化简线性方程组进一步观察一下消元法的过程可以发现，消元法中作的变化仅仅是对方程组的系数和常数项作的变化，可把系数项和常数项单独拿出来处理

上述消元法过程，对线性方程组施行了三种变换： 称这三种变换为线性方程组的初等变换. (1)交换两个方程的位置； (2)用一个不等于零的数乘某一个方程； (3)用一个数乘某个方程后加到另一个方程上. 消元法的实质,就是利用初等变换化简线性方程组. 进一步观察一下消元法的过程可以发现，消元 法中作的变化仅仅是对方程组的系数和常数项 作的变化，可把系数项和常数项单独拿出来处 理

2x -3rz + α3 =- 52-5-311-2α2 - 3 = - 2,取出系数和常数21-2-1-2项组成矩阵(I)34x1-2x2 +73=-7,47-2-712-3④-1(1-2+23=-3.消元法的两衣程翌接样的数表是相互难阵的两络工换-22- 3=-2,-221-2-1取出系数和常数2x1- 32 + α3 =- 5,-5-31项组成矩阵21(I)-74l-2x2+7α3 =-7,4-272-3-1④α2+2x3=-311消冠法的倍这样的数表是相矩阵第位某倍加到其他行

            (Ⅰ) 取出系数和常数 项组成矩阵 2 3 1 5 1 2 1 2 4 2 7 7 1 1 2 3          方程组跟这样的数表是相互唯一对应的 (Ⅱ)             取出系数和常数 项组成矩阵 1 2 1 2 2 3 1 5 4 2 7 7 1 1 2 3          这方程组跟这样的数表是相互唯一对应的 消元法的两个方程互换 矩阵的两行互换 消元法的倍加 矩阵第1行某倍加到其他行