沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型 5.1 二次型及其矩阵表示

第五章二次型s5.1二次型及其矩阵表示二次型的基本概念线性变换与合同矩阵二、三、 小结001018

§5.1 二次型及其矩阵表示 一、 二次型的基本概念 二、 线性变换与合同矩阵 第五章 二次型 三、 小结

平面上形如；ax? +bxy+ y? +dx +ey+ f =0(1)的方程的图形是圆锥曲线.我们熟悉的圆锥曲线包括圆椭圆、抛物线和双曲线等.它们的标准方程我们在中学就接触过，那么不是标准形式的圆锥曲线如何画出呢？比如方程：3x2 +2xy+3y2-8=0表示一个什么图形？它的具体位置在哪单呢？0001?

平面上形如 ； 2 2 ax bxy y dx ey f       0 (1) 的方程的图形是圆锥曲线.我们熟悉的圆锥曲线包括圆 椭圆、抛物线和双曲线等.它们的标准方程我们在中学 比如方程: 就接触过，那么不是标准形式的圆锥曲线如何画出呢？ 2 2 3 2 3 8 0 x xy y     表示一个什么图形？它的具体位置在哪里呢？

二次型的基本概念定义1 含有n个变量Xi，X2，···，Xn 的二次齐次多项式:f(xi,x2,"-, xn)=ax +a2x2 +....+annxn1+2a2xx2+2ai3Xxg+...+2ainXixn+2a23X2Xg +...+2a2nX2Xn(2)+... +2an-1,nXn-1Xn称为n元二次型，当α,中有复数时，称之为复二次型当αi全为实数时称之为实二次型00108

2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x x a x a x a x         2 2 2 a x x a x x a x x 12 1 2 13 1 3 1 1 n n    2 2 a x x a x x 23 2 3 2 2 n n  1, 1 2 n n n n a x x    定义1 含有n个变量 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式： （2） 一、 二次型的基本概念 称为n元二次型，当 aij 中有复数时，称之为复二次型， 当 aij 全为实数时称之为实二次型

在上述二次型（2）中规定a, =aj, Vi, j =1,2,...,n则2a,xx, =a,xx, +ajrxjx;于是（2）式可以写成：f(x,X2,, Xn) =aix? +ai2Xx2 +...+ainXixn+a21xx, +a2x2+...+a2nXxn+anxX,X, +anX,X +...+ammnnZa,x,x31i,j=l00108

在上述二次型（2）中规定 , , 1,2, , a a i j n ij ji    则 2 ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x   于是（2）式可以写成： 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x     2 21 2 1 22 2 2 2 n n     a x x a x a x x  2 n n n n nn n 1 1 2 2     a x x a x x a x , 1 n ij i j i j a x x    （3）

记ala2XinX2a21a22a2nx :ananYann则二次型（3）可记作：auX2ana22annf(xi,x2,",xn)=(x)AXX,...nann000?

记 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 , n n n n n nn x a a a x a a a x a a a                           x A 则二次型（3）可记作：   11 12 1 1 21 22 2 2 T 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x                     x Ax

其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型的矩阵，把f称为对称矩阵A的二次型，A的秩称为二次型的秩记作R（f）：00018

记作R（ f ）. 其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型f的矩阵，把 f称为对称矩阵A的二次型， A的秩称为二次型f的秩

例1写出三元二次型f(x1,x2,x)= x +5x2 +9x +6xx +10xx +14x2x的矩阵和矩阵表示式解　因为a1 =1,a22 = 5,a33 = 9,a2 =a21 =3,a13 =a31 = 5,a23 = 32 = 7所以f(x,x2,x)的矩阵513735A=579200108

例1 写出三元二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 5 9 6 10 14       的矩阵和矩阵表示式 解 因为 11 22 33 12 21 13 31 23 32 a a a a a a a a a          1, 5, 9, 3, 5, 7 所以 1 2 3 f x x x ( , , ) 的矩阵 135 3 5 7 5 7 9            A

其矩阵表达式为：35X357f(x,X2,x)=(xX2 X3X2579X000?

其矩阵表达式为：   1 1 2 3 1 2 3 2 3 135 ( , , ) 3 5 7 5 7 9 x f x x x x x x x x                

例2设对称矩阵2335A=4则矩阵 A所对应的二次型为3x345f(x,X2,x)= xAx =(x x2X2-5= 2x2 +4x +x +6xx2 #2xx3 +10xx0001?

2 3 1 3 4 5 1 5 1            A 例2 设对称矩阵 则矩阵 A 所对应的二次型为   1 T 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 ( , , ) 3 4 5 1 5 1 x f x x x x x x x x                  x Ax 2 2 2 2 4 6 2 10 1 2 3 1 2 1 3 2 3       x x x x x x x x x

例3二元二次型f(x,x2)= x2 +5x2 +6xiX2求 R()解?二次型的矩阵3A:35显然R(A) = 2故R(f)= 200108

2 2 1 2 1 2 1 2 f x x x x x x ( , ) 5 6    R f ( ) 1 3 3 5        A 例3 二元二次型 求 解 二次型的矩阵 R( ) 2 A  R f ( ) 2  显然 故