沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第2章 矩阵及其运算

线性代数教案第2章矩阵及其运算$2.1矩阵授课题目课次：51.知识目标（1）理解矩阵的概念。（2）了解单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，三角矩阵，对称矩阵的概念2. 能力目标（1）培养逻辑推理能力：通过学习矩阵的概念，学生能够培养自己的逻辑推理能力，教学目标学会从已知条件出发，通过逻辑推理得出正确的结论。3.情感与态度目标（1）激发学习兴趣：通过生动有趣的矩阵应用案例和实践活动，激发学生的学习兴趣和好奇心，使他们愿意主动探索和学习矩阵的相关知识。（2）培养严谨的数学态度：在学习矩阵的过程中，学生需要保持严谨的数学态度，认真对待每一个数学概念和运算规则，确保自己的解题过程和结果准确无误。教学重点矩阵的概念教学难点矩阵的概念教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法讲授法、实例演示法、问题驱动法教学时数2课时教学过程备注一、复习引入引例某班有10名学员，第一学期开设了微积分、英语、线性代数、计算机等4门课程，期中考试结束后，班主任手中有如下一张表格，期中考试成绩表成绩课程名称微积分英语线性代数计算机学号8969721902709080693786270664956679805707080826669078807608070908507088609807070881070706466此表由表头和数字组成．去掉表头，将表中的数字抽象出来，按原来在表格中的顺序排列形成一个10行4列的矩形数表，用方括号或圆括号括起来，称为矩阵：则上述表格可表示为矩阵：计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §2.1 矩阵 课次：5 教学目标 1.知识目标 （1）理解矩阵的概念。 （2）了解单位矩阵,对角矩阵,数量矩阵,三角矩阵,对称矩阵的概念 2.能力目标 （1）培养逻辑推理能力：通过学习矩阵的概念，学生能够培养自己的逻辑推理能力， 学会从已知条件出发，通过逻辑推理得出正确的结论。 3.情感与态度目标 （1）激发学习兴趣：通过生动有趣的矩阵应用案例和实践活动，激发学生的学习兴 趣和好奇心，使他们愿意主动探索和学习矩阵的相关知识。 （2）培养严谨的数学态度：在学习矩阵的过程中，学生需要保持严谨的数学态度， 认真对待每一个数学概念和运算规则，确保自己的解题过程和结果准确无误。 教学重点 矩阵的概念 教学难点 矩阵的概念 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 讲授法、实例演示法、问题驱动法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 引例 某班有 10 名学员，第一学期开设了微积分、英语、线性代数、计算 机等 4 门课程，期中考试结束后，班主任手中有如下一张表格． 期中考试成绩表 成绩 课程名称 学号 微积分 英语 线性代数 计算机 1 90 89 69 72 2 70 90 80 69 3 78 62 70 66 4 95 66 79 80 5 70 70 80 82 6 66 90 78 80 7 60 80 70 90 8 50 70 88 60 9 70 80 70 88 10 70 70 64 66 此表由表头和数字组成．去掉表头，将表中的数字抽象出来，按原来在表格 中的顺序排列形成一个 10 行 4 列的矩形数表，用方括号或圆括号括起来，称为 矩阵．则上述表格可表示为矩阵：

线性代数教案第2章矩阵及其运算(90896972)7090806978627066956679807070808266907880807090607088605070807088(70706466二、讲授新课定义1（矩阵）由mxn个实数a,排成的一个m行n列的矩形数表(a2aa21a22.a2n....(amlam2..amn)称之为mxn矩阵，位置（i，j）上的元素，一般用a表示（强调两个足标的意义)。矩阵可简记为Am或A=(a,}或A=(a,mxn：例1含有n个未知数x，2，,x、m个方程的线性方程组a, +a2x+..+ann=ba2+a22+.+a2nx,=b........amlj+am2/2+...+amr,=bm把aj和b,按原顺序可以组成一个mx(n+l)矩阵：.ab(ana12b2a2na21a22任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反...amnbm)(amlam一个矩阵也完全刻划了一个方程组。之，方矩阵车若m=n，称A为n阶（方）矩阵，也可记作A：（强调矩阵的（主）对角线，）而ai，a22…，a称之为对角元素；（反主对角线）。计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜                                 70 70 64 66 70 80 70 88 50 70 88 60 60 80 70 90 66 90 78 80 70 70 80 82 95 66 79 80 78 62 70 66 70 90 80 69 90 89 69 72 二、讲授新课 定义 1（矩阵） 由 m n 个实数 ij a 排成的一个 m 行 n 列的矩形数表               m m m n n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 ， 称之为 m n 矩阵，位置（ i , j ）上的元素，一般用 aij 表示（强调两个足 标的意义）。矩阵可简记为 Amn 或 { } A = aij 或 A = aij mn { } . 例 1 含有 n 个未知数 n x , x , , x 1 2  、m 个方程的线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b       1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 把 aij 和 i b 按 原 顺 序 可 以 组 成 一 个 m  (n +1) 矩 阵 ：               m m m n m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反 之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。 方矩阵 若 m = n ，称 A 为 n 阶（方）矩阵，也可记作 An . （强调矩阵 的（主）对角线，）而 a a ann , , , 11 22  称之为对角元素；（反主对角线）

线性代数教案第2章矩阵及其运算当m=n=1时，即A=(a)，此时矩阵退化为一个数ai同型矩阵具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。矩阵相等若同型矩阵A=(ag)mxn和B={(b,)mxn在对应位置上的元素都相等，即ag=by，i=1,,m,j=1,,n,零矩阵所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O；或O注意，不同型的零矩阵是不相等的。三角矩阵设A=(a）是n阶矩阵。1）若A的元素满足a,=0，i>j，称A是上三角矩阵；a,=0, Vi<j称A是下三角矩阵；2）若A的元素满足(a)00(aa2..an0a22... a2n0a22.C21A=和A=...00ann(anan2...an对角矩阵若元素满足a,=0，ij；其形状是(an0000a22A=00...ann记作A=diag(au1a22.,a.m)=diag(au)数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作K，即K=diag(k)单位矩阵对角元素为1的对角矩阵，记作「或I，（n阶），即10..001..000...零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。三、巩固练习计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 当 m = n =1 时，即 ( ) A = a11 ， 此时矩阵退化为一个数 11 a . 同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。 矩阵相等 若同型矩阵 A = aij mn { } 和 B = bij mn { } 在对应位置上的元素都 相等，即 a b , i 1, , m; j 1, , n, ij = ij =  =  零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作 O；或 Omn . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。 三角矩阵 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵。 1）若 A 的元素满足 a i j ij = 0,   ，称 A 是上三角矩阵； 2）若 A 的元素满足 a i j ij = 0,   称 A 是下三角矩阵；               = nn n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 和               = n n nn a a a a a a A        1 2 21 22 11 0 0 0 。 对角矩阵 若元素满足 a i j ij = 0,   ；其形状是               = nn a a a A        0 0 0 0 0 0 22 11 ， 记作 { , , } { } A = diag a11 a22,  an n = diag aii . 数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作 K， 即 K = diag(k) 单位矩阵 对角元素为 1 的对角矩阵，记作 I 或 n I （ n 阶），即               = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        I 。 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所 起的作用。 三、巩固练习

线性代数教案第2章矩阵及其运算(22-1232-3已知某方程组对应于下列矩阵10，写出该方程组。311(1四、小结1.矩阵的定义；2.几种常见的矩阵。五、布置作业学习通上作业教学反思：一、教学内容与方法的反思1.教学方法的多样性：我采用了讲授法、实例演示法、问题驱动法和多媒体辅助教学等多种方法，以激发学生的学习兴趣和主动性。这些方法在一定程度上取得了成功，但我也注意到，有些学生在面对复杂的矩阵运算时仍感到困惑。因此，我需要进一步探索更适合学生理解和掌握的教学方法，如游戏化教学和互动式教学等。二、学生学习情况的反思1.学生的参与度与理解程度：在课堂上，我通过提问、讨论和练习等方式鼓励学生积极参与。然而，我注意到部分学生在理解矩阵的某些概念，如对称矩阵等。这提示我在未来的教学中需要更加注重这些难点和易混淆点的讲解和练习。2.学生的应用能力：虽然学生能够通过练习掌握基本的矩阵运算，但在将矩阵应用于实际问题时仍显得力不从心。这可能是因为我在教学中过于注重理论知识的讲解，而忽视了实际应用能力的培养。因此，我需要增加更多与矩阵应用相关的案例和练习题，帮助学生提高应用能力。三、教学策略与改进的反思1.加强理论与实践的结合：在未来的教学中，我将更加注重理论与实践的结合，通过更多的实际问题和案例来演示矩阵的应用，使学生更加直观地理解其重要性和实用性。同时，我也会鼓励学生自己寻找和解决实际问题，以提高他们的应用能力和创新思维。2.提供多样化的学习资源：为了帮助学生更好地理解和掌握矩阵的概念，我将提供多样化的学习资源，如教学视频、习题集、在线课程等。这些资源可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，并拓展他们的视野。3.加强师生互动与反馈：在课堂上，我将更加注重与学生的互动和反馈，鼓励学生积极提问和讨论，及时解答他们的疑问和困惑。同时，我也会定期收集学生的学习反馈和意见，以便及时调整教学策略和方法。计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 已知某方程组对应于下列矩阵           − − 1 3 1 1 1 2 3 0 2 1 2 3 ，写出该方程组。 四、小结 1.矩阵的定义； 2.几种常见的矩阵。 五、布置作业 学习通上作业 教学反思： 一、教学内容与方法的反思 1.教学方法的多样性：我采用了讲授法、实例演示法、问题驱动法和多媒体辅助教学等多种方法， 以激发学生的学习兴趣和主动性。这些方法在一定程度上取得了成功，但我也注意到，有些学生在 面对复杂的矩阵运算时仍感到困惑。因此，我需要进一步探索更适合学生理解和掌握的教学方法， 如游戏化教学和互动式教学等。 二、学生学习情况的反思 1.学生的参与度与理解程度：在课堂上，我通过提问、讨论和练习等方式鼓励学生积极参与。然而， 我注意到部分学生在理解矩阵的某些概念，如对称矩阵等。这提示我在未来的教学中需要更加注重 这些难点和易混淆点的讲解和练习。 2.学生的应用能力：虽然学生能够通过练习掌握基本的矩阵运算，但在将矩阵应用于实际问题时仍 显得力不从心。这可能是因为我在教学中过于注重理论知识的讲解，而忽视了实际应用能力的培养。 因此，我需要增加更多与矩阵应用相关的案例和练习题，帮助学生提高应用能力。 三、教学策略与改进的反思 1.加强理论与实践的结合：在未来的教学中，我将更加注重理论与实践的结合，通过更多的实际问 题和案例来演示矩阵的应用，使学生更加直观地理解其重要性和实用性。同时，我也会鼓励学生自 己寻找和解决实际问题，以提高他们的应用能力和创新思维。 2.提供多样化的学习资源：为了帮助学生更好地理解和掌握矩阵的概念，我将提供多样化的学习资 源，如教学视频、习题集、在线课程等。这些资源可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，并 拓展他们的视野。 3.加强师生互动与反馈：在课堂上，我将更加注重与学生的互动和反馈，鼓励学生积极提问和讨论， 及时解答他们的疑问和困惑。同时，我也会定期收集学生的学习反馈和意见，以便及时调整教学策 略和方法

线性代数教案第2章矩阵及其运算授课题目82.2矩阵的运算（1）课次：5教学目标掌握矩阵的加法，数乘，乘法。教学重点矩阵的运算教学难点矩阵的乘法教学手段板书与多媒体结合教学时数1课时备注教学过程一、复习引入田忌赛马是一个广为人知的故事.传说战国时期，齐王与其手下大将田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜.田忌采用了孙的建议：用下等马对付齐王的上等马，用上等马对付齐王的中等马，用中等马对付齐王的下等马.结果三场比赛完后，田忌1负2胜，最终赢得齐王的千金赌注事实上这是一个对策问题，在比赛中，齐王和田忌的马匹可以随机出阵，每次比赛双方的胜负情况，要根据双方的对阵情况来定.双方出阵的可能策略为：策略1（上、中、下）：策略2（中、上、下）：策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）；策略5（中、下、上)：策略6（下、上、中）说明：策略1（上、中、下）表示按先后出阵的顺序派上等马、中等马、下等马，其他策略解释类似每场比赛中，如果齐王的马匹三战全胜，则用数3表示；如果两胜一负，则用数1表示；如果一胜两负，则用数-1表示.如果齐王和田忌依次使用上面6种策略进行比赛，那么齐王的胜、负情况就可以用下面的矩形数表来表示.其中齐王采用的策略用横向行表示，田忌采用的策略用纵向列表示田忌策略13456计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §2.2 矩阵的运算（1） 课次：5 教学目标 掌握矩阵的加法,数乘,乘法。 教学重点 矩阵的运算 教学难点 矩阵的乘法 教学手段 板书与多媒体结合 教学时数 1 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 田忌赛马是一个广为人知的故事.传说战国时期，齐王与其手下大将田忌各 有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.但田忌的上、中 等马分别比齐王的中、下等马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛 三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜.田忌采用了孙膑的建 议：用下等马对付齐王的上等马，用上等马对付齐王的中等马，用中等马对付齐 王的下等马.结果三场比赛完后，田忌 1 负 2 胜，最终赢得齐王的千金赌注. 事实上这是一个对策问题，在比赛中，齐王和田忌的马匹可以随机出阵， 每次比赛双方的胜负情况，要根据双方的对阵情况来定.双方出阵的可能策略为： 策略 1（上、中、下）；策略 2（中、上、下）；策略 3（下、中、上）； 策略 4（上、下、中）；策略 5（中、下、上）；策略 6（下、上、中）. 说明：策略 1（上、中、下）表示按先后出阵的顺序派上等马、中等马、下 等马，其他策略解释类似.每场比赛中，如果齐王的马匹三战全胜，则用数 3 表 示；如果两胜一负，则用数 1 表示；如果一胜两负，则用数-1 表示.如果齐王和 田忌依次使用上面 6 种策略进行比赛，那么齐王的胜、负情况就可以用下面的矩 形数表来表示.其中齐王采用的策略用横向行表示，田忌采用的策略用纵向列表 示. 田 忌 策 略

线性代数教案第2章矩阵及其运算13111-1)1齐211-1131王3111-11311-1114策-1131115略(11-13116二、讲授新课（一）加（减）法定义1（矩阵加法）设A=(a）和B=(b,）是mxn的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个m×n的矩阵(ai+bai2+bi2...ain+bma2+b21 a22+b22 ... a2n+b2nC= (c,)= A+B =.........+(am+bmlam2+bm2..amn+bmn例1设5-1C:4=B=020计算A+B；若已知C=A+B，求出a,b,c,d负矩阵设A=(a,）mx，称矩阵车-A={-a,）为矩阵A的负矩阵。(a-ba2-b2.. a,-bna2-b21a22-b22.. a2n-b2n矩阵的减法 A-B=A+(-B)=....(aml-bmlam2-bm2...amm-bmn）由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中A,B,C,O为同型矩阵）。（1）交换律A+B=B+A(2）结合律（A+B)+C=A+(B+C）(3) A+O=A(4) A-A=O计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3   −   − − − −   − . 二、讲授新课 （一）加（减）法 定义 1 （矩阵加法）设 { } A = aij 和 { } B = bij 是 m n 的矩阵，A 与 B 的加法（或称和），记作 A+B，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A+ B               + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 . 例 1 设         − = 0 2 5 1 A ,        − = 0 4 2 1 B ,         = b d a c C ， 计算 A+ B ；若已知 C = A + B ， 求出 a,b,c,d . 负矩阵 设 A = aij mn { } ，称矩阵 { } − A = −aij 为矩阵 A 的负矩阵。 矩阵的减法 A − B = A + (−B)               − − − − − − − − − = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中 A, B, C, O 为同型 矩阵）。 （1）交换律 A + B = B + A （2）结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3） A + O = A （4） A − A = O 齐 王 策 略

线性代数教案第2章矩阵及其运算（二）数乘定义2（矩阵数乘）数与矩阵A=(aj）mxn的乘积（称之为数乘），记作A或Aa，定义为一个mxn的矩阵(NauNai2.. NanAa21 Ja22.. Ja2nC=(c,)= A = AL =(Aamlam2..Namn由定义，数乘运算满足下列运算法则（设A,B，O是同型矩阵，2，μ是数）：(1）数对矩阵的分配律2(A+B)=2A+2B(2）矩阵对数的分配律(+μ)A=A+μA（3）结合律(Aμ)A= (μA)(4)0.A=0(1-20)7826例2设A：B :且有2A+X=B-2X,求(435)(5 3X.解由2A+X=B-2X得X=:(B-2A)3-18-43 9Y:所以31-[3 9-6 8]-( : 2-(312)724（三）乘法定义3（矩阵乘法）设A=(a）是一个m×s矩阵，B=(b,）是一个s×n矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个m×n的矩阵C=AB=(c,}，其中计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 （二）数乘 定义 2 （矩阵数乘） 数  与矩阵 A = aij mn { } 的乘积（称之为数乘），记作 A 或 A ，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A = A               = m m m n n n a a a a a a a a a                 1 2 21 22 2 11 12 1 。 由定义，数乘运算满足下列运算法则（设 A, B, O 是同型矩阵， ,  是数）： （1）数对矩阵的分配律 (A + B) = A + B （2）矩阵对数的分配律 ( + )A = A + A （3）结合律 ()A = (A) （4） 0  A = O 例 2 设 1 2 0 4 3 5   − =     A , 826 5 3 4   =     B ，且有 2 2 A X B X + = − , 求 X . 解 由 2 2 A X B X + = − 得 1 ( 2 ) 3 X B A = − 所以 X               − −        = 4 3 5 1 2 0 2 5 3 4 8 2 6 3 1               − −        = 8 6 10 2 4 0 5 3 4 8 2 6 3 1         − − − = 3 3 6 6 6 6 3 1         − − − = 1 1 2 2 2 2 . （三）乘法 定义 3（矩阵乘法） 设 { } A = aij 是一个 m s 矩阵， { } B = bij 是一个 s  n 矩阵，A 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 m n 的矩阵 { }ij C = AB = c ， 其中

线性代数教案第2章矩阵及其运算C,=a.b,+azb2,+..+a.b,=Zaibk=l(i=1,2,",m, j=1,2,,n)由定义，不难看出（强调）：（1）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB：（2）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；（3）矩阵C=AB在（i，j）位置上的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和。(100)-11120例3设AB=，求AB0解(3x1+(-1)×1+1x23×0+(-1)×2+1x1 3×0+(-1)×0+1x3)AB=-2×1+0×1+2×2-2×0+0×2+2×1-2×0+0×0+2×3(4 -1 3)(22 6)注意这里BA是无法计算的(4-2例4设A=求AB及BA-2 32解AB:3BA=-2(10)(00)00,B=例5设A求AB及AC01(1000107001700解 AB==同样AC=(10。但是B￥C由上述例子可知：（1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，因为AB与BA可能一个有意义，一个没有意义：也可能二者都有意义，但AB≠BA.当AB=BA时，称A与B是可交换的计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 = = + + + = s k ij ai b j ai b j aisbsj aikbkj c 1 1 1 2 2  (i =1, 2,  , m; j =1, 2,  , n ). 由定义，不难看出（强调）： （1）只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB； （2）矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数； （3）矩阵 C=AB 在 (i , j ) 位置上的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。 例 3 设 3 1 1 2 0 2   − =     − A ， 1 0 0 1 2 0 2 1 3     =       B ， 求 AB. 解 3 1 ( 1) 1 1 2 3 0 ( 1) 2 1 1 3 0 ( 1) 0 1 3 2 1 0 1 2 2 2 0 0 2 2 1 2 0 0 0 2 3    + −  +   + −  +   + −  +  =     −  +  +  −  +  +  −  +  +  AB         − = 2 2 6 4 1 3 注意 这里 BA 是无法计算的. 例 4 设 4 2 2 1   − =     − A ， 3 6 2 4   =     − − B ，求 AB 及 BA. 解 4 2 3 6 16 32 2 1 2 4 8 16      − = =           − − − − − AB 3 6 4 2 0 0 2 4 2 1 0 0      − = =           − − − BA 例 5 设 1 0 1 0   =     A ， 0 0 0 1   =     B ， 0 0 1 0   =     C ，求 AB 及 AC ． 解 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0                AB = = 同样 0 0 0 0       AC = 但是 B C 由上述例子可知： （1）一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律．因为 AB 与 BA 可能一个有 意义，一个没有意义；也可能二者都有意义，但 AB  BA ．当 AB = BA 时， 称 A 与 B 是可交换的．

线性代数教案第2章矩阵及其运算由定义可知，EA=AE=A，BE=EB=B，即单位矩阵和任何矩阵都可交换（2）矩阵中存在A±0，B≠0，有BA=0：反之BA=O，不一定有A=0或B=0（3）矩阵乘法不满足消去律，即AB=AC，且A±O，不能导出B=C.矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，入是数）(1）结合律A(BC)=（AB)C(2)分配律A(B+C)=AB+AC：(A+B)C=AC+BC(3）数乘结合律(AB)=(αA)B=A(aB)例6证明n阶数量矩阵与所有n阶方阵都可交换(k0...o0k..0证明设n阶数量矩阵为K=(oo...k)aa2..a21a22..a2nA=又设：(amlan2....amm(kau kai2 ..kaun)kazika2.. kazn则KA== kA.：(kamkan2..kamm同样可得AK=kA，所以有AK=KA，即n阶数量矩阵与n阶方阵可交换.矩阵的幕幂设A是n阶矩阵，定义：A'=A, A? =AA, -., A*+I =A(A*),其中，k是正整数：特别规定A°=I由于乘法成立分配律结合律，有A*+I = A*A', (A*)'=A",但由于不成立交换律，故一般（AB)*≠A*Bk。(1 1)"例7算(0 1)计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 由定义可知， EA AE A = = ， BE EB B = = ，即单位矩阵和任何矩阵都 可交换. （2）矩阵中存在 A O ，B O ，有 BA O= ；反之 BA O= ，不一定有 A O= 或 B O= . （3）矩阵乘法不满足消去律，即 AB = AC ，且 A O ，不能导出 B C= . 矩阵的乘法运算满足下列的运算律：（假定运算是可行的，  是数） （1）结合律 A BC AB C ( ) = ( ) （2）分配律 A B C AB AC ( ) + = + ； ( ) A B C AC BC + = + （3）数乘结合律    ( ) AB A B A B = = ( ) ( ) 例 6 证明 n 阶数量矩阵与所有 n 阶方阵都可交换. 证明 设 n 阶数量矩阵为 0 0 0 0 0 0 k k k       =       K 又设 A=               n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 则 KA =               n n nn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 = kA. 同样可得 AK A = k ，所以有 AK KA = ，即 n 阶数量矩阵与 n 阶方阵可交 换. 矩阵的幂 设 A 是 n 阶矩阵，定义： , , , ( ) 1 2 k 1 k A = A A = AA A = A A  + , 其中， k 是正整数；特别规定 A = I 0 . 由于乘法成立分配律结合律，有 k l k l A = A A + ， k l kl (A ) = A ， 但由于不成立交换律，故一般 k k k (AB)  A B 。 例 7 算 1 1 0 1 n       ．

线性代数教案第2章矩阵及其运算1解设4--6 06 D-C6 3)则4-6 308 -6 )(1 n-1)A"I=[假设(o1(1 n-1)(1 1) (1A"=A"-IA=((1n则()J(o 1于是由归纳法知，对于任意正整数n，有(68-6 )三、巩固练习1024(214)B=3-101已知矩阵3，求：AB及BA.(536(0213)四、小结1.矩阵的加法；2.矩阵的数乘；3.矩阵的乘法。五、布置作业学习通作业教学反思：计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 2 章矩阵及其运算 计算机与数学基础教学部 王娜 解 设 1 1 0 1   =     A 则 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1      = = =           A AA 3 2 1 2 1 1 1 3 0 1 0 1 0 1      = = =           A A A 假设 1 1 1 0 1 n n −   − =     A 则 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 n n n n −      − = = =           A A A 于是由归纳法知，对于任意正整数 n ，有         =         0 1 1 0 1 1 1 n n . 三、巩固练习 已知矩阵         = 5 3 6 2 1 4 A ，           = − 0 2 1 3 3 1 0 1 1 0 2 4 B ，求： AB 及 BA． 四、小结 1.矩阵的加法； 2.矩阵的数乘； 3.矩阵的乘法。 五、布置作业 学习通作业 教学反思：