沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义二，共八章，授课教师：孟宪吉）

授课题目2学时$8.1不定积分概念与基本积分公式1.深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；教学内容2.掌握不定积分的线性运算法则；3.熟练掌握不定积分的基本积分公式教学目标掌握不定积分的概念会熟练的运用不定积分的基本公式教学重点理解不定积分的概念教学难点原函数与不定积分的概念及其之间的区别教学方法“系统讲授”结合“问题教学”课程导入讲授新课思考练习小结与作业6'25'10'4'教学过程本章所学的内容，在是在上学期微分学基础上进行研究和学习，是微分学的逆设计运算。本节主要是让学生正确的理解不定积分的概念，并能掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别，并运用基本积分公式求解简单的不定积分，注释教学过程及授课内容课回顾上学期所学微分的内容，正如加法运算有逆运算，微分法也有其逆程运算一一积分法。通过物理学中加速度与速度之间的互相求解引出本文内导入容。一原函数与不定积分定义1设函数与F在区间I上都有定义.若F(x)=f(x),xel则称F为f在区间1上的一个原函数，定理8.1若函数在区间I上连续.则在I上存在原函数F，即讲F'(x)= f(x),xel.授新定理8.2设F是f在区间1上的一个原函数.则课(i)F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数：(ii）f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.证(i)这是因为[F(x)+C}=F(α)=f(x),xeI（ii）设F和G是f在I上的任意两个原函数，则2

2 授课题目 §8.1 不定积分概念与基本积分公式 2 学时 教学内容 1.深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别； 2.掌握不定积分的线性运算法则； 3.熟练掌握不定积分的基本积分公式. 教学目标 掌握不定积分的概念.会熟练的运用不定积分的基本公式. 教学重点 理解不定积分的概念. 教学难点 原函数与不定积分的概念及其之间的区别. 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”. 教学过程 设计 课程导入 讲授新课 思考练习 小结与作业 6’ 25’ 10’ 4’ 本章所学的内容，在是在上学期微分学基础上进行研究和学习，是微分学的逆 运算。本节主要是让学生正确的理解不定积分的概念，并能掌握原函数与不定积分 的概念及其之间的区别，并运用基本积分公式求解简单的不定积分. 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 回顾上学期所学微分的内容，正如加法运算有逆运算，微分法也有其逆 运算——积分法。通过物理学中加速度与速度之间的互相求解引出本文内 容。 讲 授 新 课 一 原函数与不定积分 定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义.若 F x f x x I      , 则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数. 定理 8.1 若函数 f 在区间 I 上连续.则 f 在 I 上存在原函数 F ,即 F x f x x I      , . 定理 8.2 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数.则 (i) F C 也是 f 在 I 上的原函数,其中 C 为任意常量函数; (ii) f 在 I 上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数. 证（i）这是因为 F x C F x f x x I      ,           （ii）设 F 和 G 是 f 在 I 上的任意两个原函数，则

有[F(x)-G(x)}=F(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0,xeI根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道F(x)-G(x)=C,xeI。定义2函数f在区间1上的全体原函数称为f在1上的不定积分，记作[f(x)dx()，其中称了为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量.尽管记号（1)中各个部分都有其特定的名称，但在使用时必须把它们看作一整体.由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F是f的一个原函数，则于的不定积分是一个函数族(F+C)，其中C是任意常数.为方便起见，写作[f(x)dx= F(x)+C. (2)这时又称C为积分常数，它可取任一实数值.于是又有[(x)dx'=[F(μ)+c]'=f(x) (3)[d f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx (4)按照写法（2)，本节开头所举的个例子可以写作1[xdx=↓r+C;[sin 2xdx = --cos2x+C23J arctan xdx = x arctan x - in(1+x )+C不定积分的几何意义若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.于是，的不定积分在几何上表示厂的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族（图8-1).显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作韧线，则这些切线互相平行.y=F(a+y=F(x)m

3 有 F x G x F x G x f x f x x I             0,               根 据 第 六 章 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 论 ， 知 道 F x G x C        ,x I 。 定义 2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积 分 , 记 作 f x dx   1  ，其中称  为积分 号, f x  为 被 积 函 数, f x dx   为被积表达式, x 为积分变量. 尽管记号(1)中各个部分都有其特定的名称,但在使用时必须把它 们看作一整体.由定义 2 可见,不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若 F 是 f 的一个原函数,则 f 的不 定积 分是一个 函数族 F C ，其 中 C 是任意常数.为方便起见,写作 f x dx F x C ( ) ( )   .  2 这时又称 C 为积分常数,它可取任一实数值.于是又有 f x dx F x C f x ( )               3 d f x dx d F x C f x dx      [ ( ) ] ( )  4 按照写法(2),本节开头所举的个例子可以写作   2 3 2 1 1 sin 2 cos 2 3 2 1 arctan arctan ln 1 2 x dx x C xdx x C xdx x x x C             ； 不定积分的几何意义 若 F 是 f 的一个原函数,则称 y F x    的图象为 f 的一条积分曲线.于是, f 的不定积分在几何上表示 f 的某一积分曲线 沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族(图 8-1).显然, 若在每一条积分 曲 线 上 横 坐 标 相 同 的 点 处 作 切 线 ,则这些切线互相 平行

二基本积分表1 J dx =C.2.J1dx=J dx =X+C[ara-ca-o4.J -dx =In|+C(#0)5.Je'dx=e' +C.6.Ja'dx=+C(a>0,a * 1),Inacos axdx= =sin ax +C(a # 0)a8.Jsinaxdx=-cosax+C(a0)a9. sec’ xdx = tan x +C.10.J csc° xdx = -cot x+ C.11. J sec x· tan xdx = sec x +C.12. J csc x·cot xdx = -csc x+C.dx13.[=arcsinx+C=-arccosx+C,/-xdx14=arctan x+C=-arc cot x+C1+x?定理8.3：若函数与g在区间I上都存在原函数，k、k,为两个任意常数，则kf+kg在1上也存在原函数.即(5)[[kf(x)+kg(x)]=k[/(x)dx+k,Jg(x)dx证：这是因为[KJr()dx+kJ g(x)ds] =k (J (x)ds) +k (Jg(n)ds)=kf(x)+kzg(x)根据线性法则，（5）的一般形式为[dx=ZkJf(x)d)k.f.(x(i=i=根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分4

4 二 基本积分表           1 2 2 1. . 2. 1 3. 1, x 0 . 1 1 4. ln 0 . 5. . 6. 0, 1 . ln 1 7. cos sin 0 . 1 8. sin cos 0 . 9. sec tan . 10. csc cot . 11. sec tan x x x x dx C dx dx x C x x dx C dx x C x x e dx e C a a dx C a a a axdx ax C a a axdx ax C a a xdx x C xdx x C x x                                                 1 2 2 1 sec . 12. csc cot csc . 13. arcsin arccos . 1 14. arctan cot . 1 dx x C x xdx x C dx x C x C x dx x C arc x C x                      定理 8.3: 若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, 1 k 、 2 k 为两个任意常数, 则 1 2 k f k g  在 I 上也存在原函数.即   k f x k g x k f x dx k g x dx 1 2 1 2            5      证：这是因为                 1 2 1 2 1 2 k f x dx k g x dx k f x dx k g x dx k f x k g x                 根据线性法则，（5）的一般形式为     1 1 n n i i i i i i k f x dx k f x dx              根据上述线性运算法则和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分

例1. p(x)=aox"+ax"**+.+an-ir+an[ p()x=++an-l x?+a,x+cn+l2ncx4 +12例2:x+1x+113x+2arctanx+C3例 3:cos"x+sin"xdxcos?xsinxcosxsin’x= J(csc* x+ sec* x)dx=-cot x+ tan x+C例4:cos 3x-sin xdx =[(sin 4x -sin 2x)dx21(1cos4x+cos2x2( 42(cos4x-2cos2x)+C8例5:[(10* -10) dx= [(102 +10-2 -2)dx-[(10') +(10-) -2 x(102* -10-2)2x +C2ln10例6：求不定积分[Ix-1dx.解 (t)={x--{-1- x≥1[1-x, x≤1.因为f(x)在(-00,+)上连续，所以不定积分[lx-1dx在(-0,+)上存在.易见号-x是(1)在[,+o)上的一个原函数.易见2设F(x)为f(x)的一个原函数，且满足x2-x,F(x):xe[1, +0]25

5 例 1.   1 0 1 1 n n n n p x a x a x a x a          0 1 1 2 1 1 2 n n n a a a p x dx x x a x C n n           4 2 2 2 3 1 2 1 1 1 1 2arctan 3 x dx x dx x x x x x C                   例2： 例 3：   2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos sin csc sec cot tan dx x xdx x x x x x x dx x x C            例 4：     1 cos 3 sin sin 4 sin 2 2 1 1 1 cos 4 cos 2 2 4 2 1 cos 4 2cos 2 8 x xdx x x dx x x C x x C                   例 5：           2 2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 2 10 10 2 1 10 10 2 2ln10 x x x x x x x x dx dx dx x C                         例 6：求不定积分 x dx 1  . 解 设   1, 1 1 1 , 1. x x f x x x x           因为 f x  在   ,  上连续，所以不定积分 x dx 1  在   ,  上存 在. 易见 1 2 2 x x  是 f x  在 1, 上的一个原函数. 设 F x  为 f x  的一个原函数，且满足     1 2 , 1, 2 F x x x x    

则，当xE(-0,1时，F(x)=1-x，所以存在常数C，使得1F(x)+x+Cxe(-00, 1]2因为F(x)在(-,+)上连续，所以在x=1处连续，从而有11+1+C,.122即C,=-1,因此1xe[1, +o0),2F(x)=+x-1, xe(-00,1],2JIx-1 dx = F(x)+C验证课后习题第1题思考与练习1.掌握原函数、不定积分的概念能明确原函数与不定积分之间的关系2.小结3.明确不定积分几何意义，能运用基本积分公式计算不定积分与作课后作业：P166:5(1)一(10)业教学反思6

6 则，当 x   ,1 时, F x x    1 ,所以存在常数 C1 ,使得     2 1 1 , ,1 2 F x x x C x       . 因为 F x  在   ,  上连续,所以在 x 1 处连续,从而有 1 1 1 1 1 2 2      C , 即 1 C  1,因此       2 2 1 , 1, , 2 1 1, ,1 , 2 x x x F x x x x              x dx F x C    1 .    思 考 与 练 习 验证课后习题第 1 题. 小 结 与 作 业 1. 掌握原函数、不定积分的概念. 2. 能明确原函数与不定积分之间的关系 3. 明确不定积分几何意义，能运用基本积分公式计算不定积分. 课后作业：P166: 5(1)—(10) 教 学 反 思

授课题目88.2换元积分法与分部积分法5 学时教学内容熟练掌握换元积分和分部积分的公式。1.掌握换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分）教学目标2.分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积教学重点熟练地应用换元积分公式：熟练地应用分部积分公式教学难点换元积分与分部积分的运用教学方法以问题教学为主，结合练习.注释教学过程及授课内容课程导入由直接积分的局限性引入。换元积分法定理8.4（第一换元积分法）设函数f(x)在区间1上有定义，g(t)在区间J上可导，且β(J)eI。如果不定积分[F(x)dx=F(x)+C在I上存在，则不定积分[(o(0)p'()dt在J上也存在，且[ F(g(t)p'(0)dt = F(p(0) +C()证（i）用复合函数求导法进行验证：因为对于任何teJ有讲%(F(0(0)=F(0(0)(0)= (0(0)(0)授新所以f(()()以F(()）为其原函数，(1)式成立课例1求[ tan xdx.(cos.x) sinx dx = -tanxaxcos.xcos.x可令u=cosx,g(μ)=二,则得1[ tan xdx=-J -du=-In| u +C=-In| cos x +C

7 授课题目 §8.2 换元积分法与分部积分法 5 学时 教学内容 熟练掌握换元积分和分部积分的公式。 教学目标 1.掌握换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数 （或凑微分）. 2. 分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被 积表达式分成两部分的乘积. 教学重点 熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式. 教学难点 换元积分与分部积分的运用. 教学方法 以问题教学为主，结合练习. 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 由直接积分的局限性引入。 讲 授 新 课 一 换元积分法 定理 8.4（第一换元积分法） 设函数 f x  在区间 I 上有定义，  t 在 区间 J 上可导，且   J I  。如果不定积分 f x dx F x C ( ) ( )    在 I 上存在， 则不定积分 f t   t t d  在 J 上也存在，且 f t t F t C    t  d 1         证（i）用复合函数求导法进行验证：因为对于任何 t J  有              , d F t F t t f t t dt           所以 f t t       以 F t    为其原函数，(1)式成立. 例1 求 tan xdx  . 解 sin cos  tan . cos cos x x xdx dx dx x x        可令   1 u x g u cos , , u   则得 1 tan ln ln cos . xdx du u C u x C          

例2d+aduarctanu+Ca1+u?a1t=-arctan-+CaQdx例3求[>= arcsin =+Cadx例4求[(a+0dxx-a2"2a(x-a){d(x+a)2ax-Qrta[n ×-α [-In| ×+a ]+C2g11nx-a+Cn2ax+asec xdx.例5 解［解法一]利用例4的结果可得d(sinx[se dt= cos dx =cos"xJ1-sin'x1 ,/1+ sin x+-n21-sinx[解法二]X

8 例2 例 2 求   2 2 0 dx a a x    2 2 2 2 1 1 1 1 arctan 1 1 arctan x d dx x a u a x a a x a du u C a u a x C a a                                令 例3 例 3 求   2 2 0 . dx a a x    2 2 2 2 1 1 1 arcsin x d dx dx a a x a x x a a x C a                             例4 例 4 求   2 2 0 . dx a x a        2 2 1 1 1 2 1 2 1 ln ln 2 1 ln 2 dx dx x a a x a x a d x a d x a a x a x a x a x a C a x a C a x a                                         例5 求 sec xdx  . 解 [解法一]利用例 4 的结果可得   2 2 cos sin sec cos 1 sin 1 1 sin ln 2 1 sin x d x xdx dx x x x C x           [解法二]

[Jsecxd- ee (etanasecx+tan d(sec x + tan x)sec x+tanx= In sec x+ tan x |+C定理8.5（第二换元积分法）设函数(x)在区间1上有定义，(u)在区间J上可导，且(J)el。如果x=p(t)在J上存在反函数t=β(x),xel,且不定积分[F(x)dx在I上存在，则当不定积分[(p(0)p()dt=G(0)+C在J上存在时，在I上有[ f(x)dx=G(β(x)+C证明：设F(x)dx=F(x)+C对于任何teJ有(F((0)-G(0)= F'(∞(0)p'(t)-G'(0)= f (()p (0)- f (g(t)g'(t)=0所以存在常数CI，使得F(o(u)-G()=C,对于任何tEJ成立,从而G(-'()=F(x)-C,对于任何xeI成立.因此，对于任何xeI有会(0(0)-F()- ()即G(g(x)）为f(x）的原函数，（2）式成立.注1定理中“不定积分「(x)dx存在”是（ii）成立的一个必需条件，否则结论可能不成立.例如：设(x)-/1: ×e(0.8)[0, x=0(1)=t,te[0,2]则x=(1)在[0,2]上存在反函数，且在[0,2]上不定积分9

9     sec sec tan sec sec tan sec tan sec tan ln sec tan x x x xdx dx x x d x x x x x x C            定理 8.5（第二换元积分法） 设函数 f x  在区间 I 上有定义，  t 在 区间 J 上可导，且   J I  。如果 x=(t)在 J 上存在反函数 1 t x x I  ( ),    , 且不定积分 f x dx    在 I 上存在，则当不定积分 f t t t G t C ( ( )) d =        在 J 上存在时,在 I 上有 1 f x dx G x C ( ) ( ( ))      证明：设 f x dx F x C       .  对于任何 t J  有                        0 d F t G t F t t G t dt f t t f t t                 所以存在常数 C1 ,使得 F t G t C        1 对于任何 t J  成立,从而      1 G x F x C  1    对于任何 x I  成立.因此，对于任何 x I  有         d 1 G x F x f x dx      即    1 G x   为 f x  的原函数，（2）式成立. 注 1 定理中“不定积分 f x dx    存在”是（ii）成立的一个必需条件， 否则结论可能不成立.例如：设   1 x 0,8   x = 0 x=0 f     ， ，     3  t t t  , 0,2 则 x t    在 0,2 上存在反函数，且在 0,2 上不定积分

J(o(0)0'(0)dt = [ 3°'dt =t +C存在.但是f(x)在[0,8]上有第一类间断点x=0，所以在区间[0,8]上不定积分[(x)dx不存在注2如果在（ii)中将条件“x=p(）在J上存在反函数t=β"(x),xeI"换成更强的条件，“β(t)+0，xEJ，且(J)=I”，则当不定积分[((t)()dt=G(t)+C在J上存在时，不定积分[(x)dx在1上也存在，且有J (x)dx=G(g'(x)+C这是因为在条件“()0,xEJ，且(J)=”下，x=p(t）在J上存在可导的反函数t=β"(x),xeI，然后直接用复合函数和反函数求导法可得(c(()= (0()(() (0),( - ()上述换元积分法中的公式（1）与（2）反应了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式（1）与（2）分别称为第一换元公式与第二换元公式）：求[du例6u+u解令u=dtx+1Ju+u=+x2-=2/u-3/u+69/u-61n|su+1+10

10      2 3 f t t dt t dt t C      3   存在.但是 f x  在 0,8 上有第一类间断点 x  0 ，所以在区间 0,8 上不定积 分 f x dx    不存在. 注 2 如果在（ii）中将条件“ x t    在 J 上存在反函数 t=   1  x x I ,   ” 换成更强的条件，“ t 0 x    ， J ，且   J I   ”, 则当不定积分        ' f t t dt G t C      在 J 上存在时，不定积分 f x dx    在 I 上也存在， 且有      1 f x dx G x C      这是因为在条件“   '  t x J   0, , 且   J I   ”下， x t    在 J 上存在 可导的反函数 t    1  x x I ,   ，然后直接用复合函数和反函数求导法可得                       1 1 1 1 1 1 x x t t d G x G x x dx t t f x   t                       . 上述换元积分法中的公式（1）与（2）反应了正、逆两种换元方式，习 惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式（1）与（2）分别称 为第一换元公式与第二换元公式）. 例6 求 3 du u u   . 解令 6 u x  5 2 3 3 2 3 2 3 6 6 6 1 6 1 1 6 ln 1 3 2 2 3 6 6ln 1 du x dx x x dx u u x x x x x x x C u u u u C                                   

例7求[Va-xdx(a>0)解令x=asint,[≤(这是存在反函数t=arcsin二的一个单调区间).于是aJ Va2-x dx=Jacos td(asint)=a'fcos'idt[(+ 0 2)/- (++sin 2)+ ca?2J(2arcsin三+三+C2a+xya?-x?aarcsin-dx例8(a>0)令x=asect,00+a令x=atan,[<号,于是有解11

11 例7 求   2 2 a x dx a   0  解 令 sint, 2 x a t    (这是存在反函数 arcsin x t a  的一个单调区间).于是     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos 1 = 1 cos 2 sin 2 2 2 2 arcsin 1 2 1 arcsin 2 a x dx a td a t a tdt a a t dt t t C a x x x C a a a x a x a x C a                                              例8 求   2 2 0 dx a x a    . 解 令 x a t  sec , 0 2 t    (同理可考虑 t  0 的情况), 于是有 2 2 sec t tan t sec tan t = ln sec tan dx a dt tdt x a a t t C          借助辅助直角三角形,便于求出 2 2 sec , tan x x a t t a a    ,故得 2 2 2 2 2 2 1 ln ln + + dx x x a C x a a a x x a C         例9 求     2 2 2 0 dx a x a    解 令 tan , 2 x a t t    ,于是有