沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第5章 二次型 5.2 二次型的标准形与规范形

第五章二次型85.2 二次型的标准形与规范形化二次型为标准形的方法二次型的规范形、三、 小结001018

§5.2 二次型的标准形与规范形 一、 化二次型为标准形的方法 二、 二次型的规范形 第五章 二次型 三、 小结

一、化二次型为标准形的方法1.配方法例1用配方法将二次型f(x,x2,x3)=x +2x2 +3x -4xx2 +2xX -8x2x3化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵解原式=(x-2x,+x) -2x +2x -4xzx=(x -4xx2 +2xx)+2x +3x2 -8x2x=(x -2x +x,) -2(x +2x2x)+2x3=(-2x, +x) -2( +x+4008

1.配方法 例1 用配方法将二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 2 3 4 2 8       解 原式 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 3       ( 4 2 ) 2 3 8 x x x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3       ( 2 ) 2 2 4 x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3       ( 2 ) 2( 2 ) 2 x x x x x x x 2 2 2 1 2 3 2 3 3       ( 2 ) 2( ) 4 x x x x x x 一、化二次型为标准形的方法 化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵

Ayi = Xi -2x2 +X3J2 =X2 +X31y3X3I即0X2y20t00108

令 1 1 2 3 2 2 3 3 3 y x x x 2 y x x y x          即 1 1 2 2 3 3 1 2 1 0 1 1 0 0 1 y x y x y x                           

则xi = yi+2y2 -3y3Y2 - y3x, =y3X3 =即Xy200108

则 1 1 2 3 2 2 3 3 3 x y y y 2 3 x y y x y           即 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 1 1 0 0 1 x y x y x y                            

即经过线性可逆线性变换32yyX0-1xy2X3二次型化成标准型f =y-2y2+4y3相应的线性变换矩阵为12-3一001018

即经过线性可逆线性变换 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 1 1 0 0 1 x y x y x y                             二次型化成标准型 2 2 2 1 2 3 f y y y    2 4 相应的线性变换矩阵为 1 2 3 0 1 1 0 0 1              C

例2用配方法将二次型f(x,x2,x)= 2x,x2 +4xx3化成标准形，并写出相应的线性变换解由于二次型中不含变量的平方项，只含混合项，故先作线性变换Xi=Ji+y2X2 = yi - y2Jy3X =001018

例2 用配方法将二次型 1 2 3 1 2 1 3 f x x x x x x x ( , , ) 2 4   化成标准形，并写出相应的线性变换. 解 由于二次型中不含变量的平方项，只含混 合项，故先作线性变换 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y          

即101xyi01-12y2-00则原二次型化为f = 2y? +4yiy3 -2y2 +4y2y3= 2(y1 + y3)? -2y2 +4y23 -2y3= 2(y +ys)? -2(y2 - ys)20101018

即 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y                            则原二次型化为 2 2 2 4 2 4 1 1 3 2 2 3 f y y y y y y     2 2 2 2( ) 2 4 2 1 3 2 2 3 3      y y y y y y 2 2 2( ) 2( ) 1 3 2 3     y y y y

再令Z1 = y1+y3Y2Z2-y3=y3Z3=0yi即01J2Z00f =2z -2z则原二次型化为标准形0101018

1 1 3 2 2 3 3 3 z y y z y y z y           1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 z y z y z y                            再令 即 则原二次型化为标准形 2 2 1 2 f z z   2 2

相应的线性变换为10y0-112J200Y3X010)(110011-11220000110Z-1-21220000108

相应的线性变换为 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y                            1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 z z z                        1 2 3 1 1 0 1 1 2 0 0 1 z z z                       

方法总结（1）如果二次型f中含有变量 x,的平方项，则先把含有x的项集中，按x,配方，然后按此法对其他变量逐步配方，直至将f配成平方和形式001018

方法总结 先把含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按 平方和形式 此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成 f i （1）如果二次型 中含有变量 x 的平方项，则