沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第1章 行列式 1.5 线性方程组与克拉默法则

1判断题答对获得课程积分5I2行列式20中，a的余子式的值为4.932对错

7填空题答对获得课程积分01行列式第1空abcd+ab+cd+ad+1

(列)复习：行列式按一行展开定理a12ana定理n 阶行列式 D=amaiai2行ana.a.n2nn等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D = a,Ai, + aiz2Ai2 +... + ain Ain(i=1,2,...,n)或 D=aujA,+a2,A2, +.+amAu, (j=1,2,.,n)引理在n阶行列式D中，如果第i行的元素仅aα≠0其余的为零,则 D=ajA

复习：行列式按一行（列）展开定理 n 阶行列式 1 2 11 12 1 1 2 i i in n n n nn a a a a D a a a a a  等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式的乘积之和，即 1 1 2 2 ( 1, 2, , ) D a A a A a A i n i i i i in in      i行 1 1 2 2 ( 1, 2, , ) D a A a A a A j n j j j j nj nj 或      定理 引理 在n阶行列式D中，如果第i行的元素仅 0 ij a  其余的为零,则 ij ij D  a A

推论行aiaai2n阶行列式D=s行asnOO的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即ai A,i+ai2 As2 +...+ain A=0msn或α,A,αz1,,+...+anA=0(i±t2nt

n 阶行列式 1 2 1 2 i i in s s sn a a a D a a a  的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子 式的乘积之和为零， 推论 i行 s行 1 1 2 2 0 ( ) j t j t n j n t 或 a A a A a A j t      i1 a A s1 即 i2 a A s2 in   a  A sn  0

1&15711.设D=则A1+A42+A+A=306234A.2B、-1C.0D、1

01-21B知D则2A+Ag-d+A=0-131

称为n阶范德蒙证明n（n>1）阶行列式例-德行列式a,a2anaza.a?D(aj,a....an)=:1.-ale"~13A11所有右边(a, -a)(a, -a)...(a, -a)元素减去(ag -a,)...(an -a,)左边元素的乘积记为II (a,-a,).(an-an-1)n≥j>i≥1证利用数学归纳法,n=2时结论成立，DII (a,-a,).1 =2≥j>i≥1II(a,-a,)假设对n一1时结论成立，即D(aj,a,……an-)=n-12j>i21

例 证明n（n>1)阶行列式 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ( , ,., ) n n n n n n n a a a D a a a a a a a a a     所有右边 元素减去 左边元素 的乘积 2 1 3 1 1 3 2 2 1 ( )( ).( ) ( ).( ) . . ( ) n n n n a a a a a a a a a a a a         1 ( ). j i n j i a a    记为   称为n阶范德蒙 德行列式 证 利用数学归纳法，n＝ 2时结论成立， 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ). j i j i D a a a a a a          假设对n－1时结论成立，即 1 2 1 1 1 ( , , ., ) ( ). n j i n j i D a a a a a        

则n阶范德蒙德行列式111:11R,-a,Ru-1...0a,-ana,-anaiazcanR.-1 -a,R.-20a, -a,ana?a,-a,ana?a.··......·.R,-a.R11-23431-0n-134aa1aaP111按n列展开，a,an-l2252并提取公因子(-1)*"(a,-a,)(a,-an).(an-1-anan-1........34n-2an-1(-1)I+"(a, - a,)(a, - a,).. (an- - an) D(a,,a2....an-1)-(-1)*"(a,-a,)(a, -a,) (an--a.) II (a,-a,).n-1≥j>i21-II (a,-a,).nzj>i≥l

则n阶范德蒙德行列式 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n n n n R a R a a a a R a R a a a a a a R a R a a a a a a                 1 2 1 1+n 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n (-1) ( )( ) ( ) n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a           按 列展开, 并提取公因子 1+n 1 2 1 1 2 1 (-1) ( )( ) ( ) ( , , ., ) n n n n n a a a a a a D a a a      1+n 1 2 1 1 1 (-1) ( )( ) ( ) ( ). n n n n j i n j i a a a a a a a a           1 ( ). j i n j i a a      1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n n a a a a a a a a a   

例-12计算行列式D91278-11解113-12 D (1, -1,3, -2) =(-1-1)(3 -1)(-2 -1)D941(3 + 1)(-2 + 1)27-8-1(-2 -3)= 240范德蒙德行列式是一类重要的行列式结果要记住哦To

计算行列式 例 解 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 9 4 1 1 27 8 D         D (1 , 1 , 3 , 2 ) ( 1 1)(3 1)( 2 1) (3 1)( 2 1) ( 2 3)             240 范德蒙德行列式是一类重要的行列式， 结果要记住哦 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 9 4 1 1 27 8 D     

S1.5克莱姆（Cramer）法则一、线性方程组的基本概念二、克莱姆（Cramer）法则三、小结

§1.5 克莱姆(Cramer)法则 一、线性方程组的基本概念 二、克莱姆(Cramer)法则 三、小结