沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.6 矩阵的秩

矩阵第二章$2.6矩阵的秩矩阵的秩的概念一、二、用初等变换求矩阵的秩三、小结0101018

第二章 矩阵 §2.6 矩阵的秩 一、矩阵的秩的概念 二、用初等变换求矩阵的秩 三、小结

2.6K阶子式矩阵的秩定义在mxn矩阵中，任取k行k列（k<m，k<n位于这些行列交又处的元素按原来位置构成的阶行列式称为一个阶子式例如122-1-1m行n列矩阵的kA=2-31-1 2阶子式有几个呢39-9？11D=是A的一个二阶子式-31mxn矩阵A的k阶子式有CkCk个

一、K阶子式 定义 在 m n 矩阵中，任取k行k列（k≤m，k≤n 位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式， 称为一个k阶子式.           1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 A  例如           1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 A  mn 矩阵 A 的 k 阶子式有 k n k Cm C 个 D 是A的一个二阶子式 1 1 3 1 m行n列矩阵的k 阶子式有几个呢 ? 2.6 矩阵的秩

二、矩阵的秩一个矩阵A中不为零的子式的最大阶数，称为矩阵的秩记为：R(A)阶梯形矩阵例如1一般矩阵的秩，如果C2,r+1根据定义计算，工作量将很大，那该如何计算它的秩呢？C0D02阶梯形矩阵的秩，，即为不全为零行的行数子式013=6±0,所有4阶子式都为零64故秩为3.05

二、矩阵的秩 一个矩阵A中不为零的子式的最大阶数，称为矩阵的秩. 记为：R(A) , , , , , , 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r r n c c c c c c          例如 秩为r 1 4 1 3 0 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 3 0 0 6                阶梯形矩阵 1 4 0 子式 0 1 3＝6 0， 0 0 6  所有4阶子式都为零， 故秩为3. 阶梯形矩阵的秩，即为不全为零行的行数. 一般矩阵的秩，如果 根据定义计算，工作 量将很大，那该如何 计算它的秩呢?

例1求矩阵A,B的秩，其中0(114-1(123220-2432-5A=B=0001171 4(00000解?在矩阵A中,名容易看出一个2阶子式[1202 3而A 的3阶子式只有一个，即A，计算可知[A|=0,因此R(A)=2 。O0108

A,B 1 2 3 2 3 5 4 7 1             A 1 1 0 1 4 0 2 2 4 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 B                例1 求矩阵 的秩，其中 A 1 2 0 2 3  A A A  0 R A( ) 2  解 在矩阵 中，容易看出一个2阶子式 而 的3阶子式只有一个，即 ，计算可知 ，因此

01-14120-242B =0001100000B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，可知B的所有4阶子式全为零，而3阶子式1-102±0400I因此R(A) =3

B B 1 1 1 0 2 4 0 001   R A( ) 3  是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， 的所有4阶子式全为零，而3阶子式 。 可知 因此 1 1 0 1 4 0 2 2 4 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 B               

三、关于矩阵秩的定理初等行（列）变换不改变矩阵的秩定理1：说明了，要计算一般矩阵的秩，只要通过初等变换化为阶梯形矩阵，此时阶梯形矩阵不全为零行的行数即为原矩阵的秩定理2：定理2.2.1秩（A）=r的充要条件为A有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式(如果有）全为零

定理1： 说明了，要计算一般矩阵的秩 ，只要通过初等变换化为阶梯 形矩阵，此时阶梯形矩阵不全 为零行的行数即为原矩阵的秩. 三、关于矩阵秩的定理 定理2：

注意，矩阵前后变例题：求下面矩阵的秩换必须用箭头一>，A而不能用等号=10解：F1121R2 - 2R14000R244R3 + RA00030R4- R1000111121211-11R4 -4R10001.0001- 1030000030000000.0004-4所以秩（A）=3

例题:求下面矩阵的秩 解: A 注意，矩阵前后变 换必须用箭头－>， 而不能用等号=. 4 2 R R  4

因此我们可以用初等变换求矩阵的秩．步骤如下：（1）用一系列初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，（2）所得阶梯形矩阵的非零行数就是矩阵的秩练习的秩，其中求矩阵A002-1-12401-1A=220-4-1-182121解对 A施行初等行变换

A 0 0 1 1 2 1 4 1 0 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2                    A A 练习 求矩阵 的秩，其中 解 对 施行初等行变换 （1）用一系列初等行变换将矩阵 A （2）所得阶梯形矩阵的非零行数就是矩阵的秩. 化为阶梯形矩阵， 因此我们可以用初等变换求矩阵的秩．步骤如下：

(1402-1(002-1-1002-1-1rir24102-1A=02-4-1-120-4-1-18(212)182(211(1204-1(104-12002-1-1002-1-113+rir+r2r4+3r2r4-210201004-10-2(03-2)014)(000-2(1024-100-1-12由此得14-1R(A)=3 :000-2400)00(0olololg

1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2 r r                    0 0 1 1 2 1 4 1 0 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2                    A 3 1 4 1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 3 1 2 r r r r                    3 2 4 2 3 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 4 0 0 0 2 4 r r r r                    4 3 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 r r                  由此得 R( ) 3 A 

定义3设 A为 n阶方阵，若 R(A)=n，则称 A为满秩矩阵；若 R(A)<n ，则称 A为降秩矩阵设A为 ㎡×n矩阵，当 R(A)=m，则称 A为行满秩矩阵；当R(A)=n，则称 A为列满秩矩阵。定理2：A为满秩方阵.A±0A可逆的充分必要条件是0l008

A n R n  A  A R n  A  A A m n  R m  A  A R n  A  A 定义3 设 为 阶方阵，若 ，则称 为满秩矩阵；若 ，则称 为降秩矩阵. 为 矩阵，当 ，则称 为行满秩矩阵；当 ，则称 为列满秩矩阵。 设 A A 定理2： 可逆的充分必要条件是 为满秩方阵. A  0