沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.2 向量及其运算

$ 3.2向量及其运算向量定义2、几种特殊的向量3、向量与矩阵的关系4、向量的运算相关知识点

1、 向量定义 2、 几种特殊的向量 3、 向量与矩阵的关系 §3.2 向量及其运算 4、 向量的运算

一、向量定义n个数a,a,,a,组成的有序数组[aα2... an]称为一个n元向量其中a，称为第i个分量向量含有分量的个数也叫向量的维数向量一般用希腊字母 α，β，等来表示

一、向量定义 ｎ个数 a a a 1 2 , , , n 组成的有序数组 其中 ai 称为第 i 个分量. 向量一般用希腊字母α,β,γ等来表示.   a1 a2  an 称为一个ｎ元向量 向量含有分量的个数也叫向量的维数

α=a,a21.二、特殊向量1、元素全为零的向量称为零向量.O=[00.…．0ai2、行向量列向量a2α =.α=α α...aan3、负向量记作[-ai-anj-a24、对应分量相等的向量相等

1、元素全为零的向量称为零向量. 二、特殊向量 4、对应分量相等的向量相等 O0 0  0 T 3、负向量记作   a a an T  1  2   2、行向量 列向量   n α a a  a  1 2              an a a α  2 1   a a an T  1 2 

三、向量与矩阵的关系αai1ainar2n按行分块A=a21a22ann.·A=··α.maam2amlmnm个n维行向量其第个行向量记作按列分块α, =[aiαi2A=[ββ ... βn]inaj矩阵与向量的关系中n个m维列向量注意什么是向量的个azj其第j个列向量记作β,=数、什么是向量的维数，二者必须分清a.mj

三、向量与矩阵的关系 其第ｊ个列向量记作 ｍ个ｎ维行向量. 按行分块 按列分块 ｎ个ｍ维列向量. 其第ｉ个行向量记作 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a                             αm α α A  2 1   A  1  2   n   αi  ai1 ai2  ain                mj j j j a a a β  2 1

四、向量的运算anJβ=[b b2 ... bh]1、加法α=α1α2规定 α+β=[αi+bi.... an,+bn]a2 +b2称为α与β的和向量an-b,Jα-β=α+(-β)=ai-bia2-b2称为α与β的差向量，an，keR2、数乘 α=[a α2·... kanJ规定kα=αk=ka,ka2称为数k与向量α的数量积向量的加法与数乘合称为向量的线性运算

四、向量的运算 1、加法 规定 2、数乘 规定 称为数ｋ与向量α的数量积. 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 称为α与β的和向量. 称为α与β的差向量.   a a an T  1 2    β b b bn T  1 2   1 1 2 2  T n n       a b a b a b ( )  1 1 2 2  T n n             a b a b a b   a a an T  1 2  ，k R   n k k ka ka ka T   1 2 

a3、转置anα=a,α2... αnα =4、乘法an对于 n 维行向量0a原来向量是可以这a,样来运算的呀，好a2像很熟悉呢aαTaxanα'α=[x X, ...为一阶方阵，即一个数x

4、乘法 对于ｎ维行向量 为一阶方阵，即一个数. 为ｎ阶方阵； 1 2 1 2 T n n x x x x x x                   3、转置              n a a a α  2 1   n T α  a1 a2  a   1 2 1 2 T n n a a a a a a                 n T α  a1 a2  a 原来向量是可以这 样来运算的呀，好 像很熟悉呢

5、运算规律（设α，β，均是n维向量,k,t为实数(1)α+β=β+α加法交换律)(2）(α+β)+=α+(β+)加法结合律)(3)α+0=α(4)α+(-α)=0(5)α-β=α+(-β)（减法)(6)1α = α易见，向量的运算性质和矩阵的运算性质是一致的。(7)(kt)α = k(tα) =t(kα)所以也可以从矩阵的运算性质推出向量中的这些运(8)(k+t)α = kaα+tα算性质。(9)k(α+β)=kα+kβ特别kα=0 =k=0 .r. α=0

5、运算规律 （1）        （加法交换律） （2） ( ) ( )            （加法结合律） （3)     O （4）      ( ) O （5）        ( ) （减法） (设α,β,γ均是ｎ维向量,k,t为实数) （6） 1  （7） ( ) ( ) ( ) kt k t t k      （8） ( ) k t k t       （9） k k k ( )        k O     k 0 . . or O   易见，向量的运算性质和 矩阵的运算性质是一致的。 所以也可以从矩阵的运算 性质推出向量中的这些运 算性质

例1 设 α =(1,-1,1)T,α, =(-1,1,1)T求2α, -3α2解2α -3α,=(2, -2,2)T -(-3,3,3)T = (5, -5, -1)例2 设 3(α -α)+2(α, +α)=5(α; +α), 其中 α =(2,5,1)T,α, =(10,1,5), α, =(4,1,-1)T, 求α可3α+2αz-5α,=6α，即解原式可整理为(6,15,3)T +(20, 2,10)T -(20,5, -5)T = (6,12,18)T = 6α故 α=(1,2,3)

T T 1 2       (1, 1,1) , ( 1,1,1) 1 2 例1 设 求 2 3    1 2 2 3    T T T 解        (2, 2, 2) ( 3,3,3) (5, 5, 1) 1 2 3 3( ) 2( ) 5( ),            T 1   (2,5,1) , T 2   (10,1,5) , T 3    (4,1, 1) ,  例2 设 其中 求 .解 原式可整理为 1 2 3 3 2 5 6        ，即 T T T (6,15,3) (20, 2,10) (20,5, 5)    T  (6,12,18)  6 故 T   (1, 2,3)

例3 设向量 α=[1 -1 0 5],β=[2 0 ７ -3](1)计算3α+2β（2）计算αTβ和αβI解（1)3α+2β=3[1 -1 0 5] +2[2 0 7 -3]=[3 -3 0 15] +[4 0 14 -6]′ =[7 -3 14 9]20=2+0+0-15=-13(2) αβ=[1 1-1057[-3 [1207-303-2-70 7 -3]200000501035-15

例3 设向量 解   T   1 1 0 5 ，   T   2 0 7  3 (1) 计算 3  2 （2）计算 T 和 T    (1) 3 2    3 1 1 0 5 2 2 0 7 3     T T     3 3 0 15 4 0 14 6    T T     7 3 14 9 T   (2)   2 0 1 1 0 5 7 3 T α β                      2 0 0 15 13   1 1 2 0 7 3 0 5 T                 2 0 7 3 2 0 7 3 0 0 0 0 10 0 35 15                 