沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第3章 向量与线性方程组

线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目83.1线性方程组解的判定定理课次：111.知识目标（1）理解线性方程组有解的判定定理。（2）掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。2.能力目标（1）计算能力：学生能够准确计算系数矩阵和增广矩阵的秩，并据此判断线性方程组是否有解以及解的个数。（2）应用能力：学生能够将线性方程组解的判定定理应用于实际间题中，如工程、物理、经济等领域的实际问题。（3）问题解决能力：通过学习和实践，学生能够独立解决与线性方程组解的判定相关的复杂间题。教学目标（4）逻辑思维能力：通过学习线性方程组解的判定定理，培养学生的逻辑思维和辩证思维能力，使他们能够严谨地分析和解决问题。3.情感与态度目标（1）学习兴趣：激发学生对线性代数和数学的兴趣，使他们愿意主动学习和探索相关知识。（2）学习态度：培养学生认真、严谨的学习态度，使他们能够积极面对学习中的困难和挑战。（3）合作精神：通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生的团队合作精神和沟通能力。（4）创新意识：鼓励学生勇于质疑、敢于创新，培养他们的创新意识和实践能力。教学重点线性方程组有解的判定定理教学难点初等变换法求方程组通解的方法教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法讲授法、启发式教学法、案例教学法、归纳总结法教学时数2课时教学过程备注一、复习引入第一章中介绍的克莱姆法则，适用于含有n个方程，n个未知量的线性方程组.当系数行列式D≠0时，方程组有唯一解.而当D=0或未知量的个数和方程个数不相等时，则方程组的解就会出现多样性，我国古代算书《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱伍：鸡母一，值钱三：鸡三，值钱一：凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、各几何？其意思为公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱.现在用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？其解法如下：设公鸡、母鸡、小鸡分别为X、J、Z只，由题意得：计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §3.1 线性方程组解的判定定理 课次：11 教学目标 1.知识目标 （1）理解线性方程组有解的判定定理。 （2）掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。 2.能力目标 （1）计算能力：学生能够准确计算系数矩阵和增广矩阵的秩，并据此判断线性方程 组是否有解以及解的个数。 （2）应用能力：学生能够将线性方程组解的判定定理应用于实际问题中，如工程、 物理、经济等领域的实际问题。 （3）问题解决能力：通过学习和实践，学生能够独立解决与线性方程组解的判定相 关的复杂问题。 （4）逻辑思维能力：通过学习线性方程组解的判定定理，培养学生的逻辑思维和辩 证思维能力，使他们能够严谨地分析和解决问题。 3.情感与态度目标 （1）学习兴趣：激发学生对线性代数和数学的兴趣，使他们愿意主动学习和探索相 关知识。 （2）学习态度：培养学生认真、严谨的学习态度，使他们能够积极面对学习中的困 难和挑战。 （3）合作精神：通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生的团队合作精神和沟通 能力。 （4）创新意识：鼓励学生勇于质疑、敢于创新，培养他们的创新意识和实践能力。 教学重点 线性方程组有解的判定定理 教学难点 初等变换法求方程组通解的方法 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 讲授法、启发式教学法、案例教学法、归纳总结法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 第一章中介绍的克莱姆法则，适用于含有 n 个方程，n 个未知量的线性方程 组．当系数行列式 D  0 时，方程组有唯一解．而当 D = 0 或未知量的个数和方 程个数不相等时，则方程组的解就会出现多样性． 我国古代算书《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一， 值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、 母、鶵各几何？其意思为公鸡每只值 5 文钱，母鸡每只值 3 文钱，而 3 只 小鸡值 1 文钱．现在用 100 文钱买 100 只鸡，问：这 100 只鸡中，公鸡、 母鸡和小鸡各有多少只？其解法如下： 设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x 、 y 、 z 只，由题意得：

线性代数教案第3章向量与线性方程组x+y+z=1001z=1005x+3y+=3[x=0x=4[x=8[x=12y=25,y=18，y=1l,y=4可求得符合题意的四组不同的整数解：S(z = 75= 78z=81z=84如果不考虑问题的实际背景，由于这个三元一次方程组中有两个方程，三个未知量，它有无穷多组解.在本节中将讨论m个方程，n个未知量组成的方程组在什么情况下有解，什么情况下无解，什么时候有无穷多解，有无穷多解时其解如何表示，以及怎样求方程组的解等问题。二、讲授新课（一）齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念ax +a2x2++anx,=ba21j+a22x2+..+a2nxn=b2在线性方程组中，若常数项均为0，即线性......[amx)+am2X2+*.+ammx,=bm方程组ai1x+a12X2+...+ainx,=0a2x+a2x2+..+a2nxn=0........[amlX)+am2X2+..+amrx,=0称为齐次线性方程组，若常数项不全为0，称方程组为非齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特殊情况，因而我们先研究非齐次线性方程组解的情况，再研究它的特殊情况一一齐次线性方程组解的情况，（二）非齐次线性方程组解的判定1、非齐次线性方程组有无解的判定4|3)(1 -2-9:0例106有唯一解 r(A)=3，r(A)=3，r(A)=r(A)号13(00(1 -2 4:3)例206910无解r(A)=2, r(A)=3, r(A)±r(A)0002计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 100 1 5 3 100 3 x y z x y z  + + =   + + =   ， 可求得符合题意的四组不同的整数解： 0 25 75 x y z  =   =   = ， 4 18 78 x y z  =   =   = ， 8 11 81 x y z  =   =   = ， 12 4 84 x y z  =   =   = 如果不考虑问题的实际背景，由于这个三元一次方程组中有两个方程， 三个未知量，它有无穷多组解． 在本节中将讨论 m 个方程， n 个未知量组成的方程组在什么情况下有解， 什么情况下无解，什么时候有无穷多解，有无穷多解时其解如何表示，以及怎样 求方程组的解等问题． 二、讲授新课 （一）齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念 在线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 中，若常数项均为 0，即线性 方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m m n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     称为齐次线性方程组． 若常数项不全为 0，称方程组为非齐次线性方程组． 显然，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特殊情况，因而我们先研究非 齐次线性方程组解的情况，再研究它的特殊情况——齐次线性方程组解的情况． （二）非齐次线性方程组解的判定 1、 非齐次线性方程组有无解的判定 例 1           − − 0 0 13 0 6 9 0 1 2 4 3 2 13 有唯一解 r(A) = 3，r(A) = 3， r(A) = r(A) ． 例 2           − − − 0 0 0 2 0 6 9 0 1 2 4 3 无解 r(A) = 2，r(A) = 3， r(A)  r(A) ．

线性代数教案第3章向量与线性方程组(1 -24 :3)例3106-90有无穷多个解 r(A)=2，r(A)=2，r(A)=r(A)(0。。o)由上述观察可知，当r(A)=r(A)时，线性方程组无矛盾方程，一定有解；当r(A)±r(A)时，r(A)=r(A)+1，有矛盾方程，线性方程组一定无解、反之亦然.定理1非齐次线性方程组有解的充分必要条件为r(A)=r(A)注意：此充要条件包括四个命题：(1) 有解 r(A)= r(A)(2) 有解r(A)= r(A)(3)无解= r(A)r(A)(4) 无解≤r(A)± r(A)当r(A)=r(A)时,这两个秩数恰为有效方程的个数.例1中r(A)= r(A)=3代表有3个有效方程，例3中r(A)=r(A)=2，代表有2个有效方程2、解的个数的判定非齐次线性方程组解的个数共有两种情况，有唯一解和有无穷多个解，关键取决于有效方程的个数和未知量个数间的关系.当有效方程的个数=未知量个数时，每个未知量都被唯一限定，因而方程组有唯一解；当有效方程的个数<未知量个数时，有未知量不被限制，产生自由未知量，方程组有无穷多个解，定理 2非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为r(A)=r(A)=n(其中，n为未知量的个数）定理3非齐次线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为r(A)= r(A)<n.综上：非齐次线性方程组r(A)±r(A)无解r(A)=r(A)=n有唯一解r(A)=r(A)<n有无穷多个解(有n-r(A)个自由未知量)例1判断下列线性方程组是否有解，若有解，有多少个解？计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 例 3           − − 0 0 0 0 0 6 9 0 1 2 4 3 有无穷多个解 r(A) = 2，r(A) = 2 ，r(A) = r(A) ． 由上述观察可知，当 r(A) = r(A) 时，线性方程组无矛盾方程，一定有解； 当 r(A)  r(A) 时， r(A) = r(A) +1 ，有矛盾方程，线性方程组一定无解．反之亦 然． 定理 1 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为 r(A) = r(A) ． 注意：此充要条件包括四个命题： (1) 有解  r(A) = r(A) (2) 有解  r(A) = r(A) (3) 无解  r(A)  r(A) (4) 无解  r(A)  r(A) 当 r(A) = r(A) 时，这两个秩数恰为有效方程的个数．例1中 r(A) = r(A) = 3， 代表有 3 个有效方程，例 3 中 r(A) = r(A) = 2 ，代表有 2 个有效方程． 2、 解的个数的判定 非齐次线性方程组解的个数共有两种情况，有唯一解和有无穷多个解，关键 取决于有效方程的个数和未知量个数间的关系． 当有效方程的个数=未知量个数时，每个未知量都被唯一限定，因而方程组 有唯一解； 当有效方程的个数<未知量个数时，有未知量不被限制，产生自由未知量， 方程组有无穷多个解． 定理 2 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为 r(A) = r(A) = n (其 中，n 为未知量的个数)． 定 理 3 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 个 解 的 充 分 必 要 条 件 为 r(A) = r(A)  n ． 综上：非齐次线性方程组        =   − = =    ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 有无穷多个解 有 个自由未知量 有唯一解 无解 r A r A n n r A r A r A n r A r A 例 1 判断下列线性方程组是否有解，若有解，有多少个解？

线性代数教案第3章向量与线性方程组X +2x -X, =1x -2x2 +X +x4 =12x, +X2 -x -x4 =2.(1) 322x-3x2 +x,=0;(2)2[4x +x2 -x, =-1[3x, - x2 = 3(1 2 -1:1)(12-11)-2n+r-45+5→31100-73-2解(I)A=-32(4 1 -1-1)(0-73-5(1 2-1:1)→-7 3-200-3)00：r(A)±r(A)，.线性方程组无解.(1 -211 :)(1 -211:1)2nth-1123n+>-1(2) A =21-3-3:00503)-3 3:0)-10075--(! -21 111n+→-3 -3;00510000(0：r(A)=r(A)=24-5: 34-5:31-+2>ri+r0-6910-6900→(o -6 9k-6)0ik-600：方程组有解，.r(A)=r(A)，：r(A)=2，r(A)=2，：k-6=0，即k=6时线性方程组有解.：r(A)=r(A)=2<n=3，：线性方程组有无穷多个解，有3-2=1个自由未知量.X+2x,+3x,+4x4=5例3求解方程组22x+4x+4x,+6x4=8[-x, -2x, -x, -2x, = -3解用初等行变换将增广矩阵化为行最简形计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 (1)      + − = − − + = + − = 4 1 2 3 0 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ； (2)      − = + − − = − + + = 3 3 2 2 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x ． 解 (1) A =           − − − − 4 1 1 1 2 3 1 0 1 2 1 1 ⎯−⎯⎯+ → − + 1 3 1 2 4 2 r r r r           − − − − − 0 7 3 5 0 7 3 2 1 2 1 1 ⎯−⎯r2⎯+r3→           − − − − 0 0 0 3 0 7 3 2 1 2 1 1 ∵ r(A)  r(A) ，∴线性方程组无解． (2) A =           − − − − 3 1 0 0 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ⎯−⎯⎯+ → − + 1 3 1 2 3 2 r r r r           − − − − − 0 5 3 3 0 0 5 3 3 0 1 2 1 1 1 ⎯−⎯r2⎯+r3→           − − − 0 0 0 0 0 0 5 3 3 0 1 2 1 1 1 ∵ r(A) = r(A) = 2  n = 4 ，∴线性方程组有无穷多个解，有 4 − 2 = 2 个自由未知量． 例 2 k 为何值时，线性方程组      + − = − + = + − = 4 5 3 2 4 3 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x k 有解，有多少个解？ 解 A =           − − − 1 4 5 3 1 2 4 3 2 2 1 k ⎯r⎯1⎯r3→           − − − 2 2 1 k 1 2 4 3 1 4 5 3 ⎯−⎯⎯+ → − + 1 3 1 2 2r r r r           − − − − 0 6 9 6 0 6 9 0 1 4 5 3 k ⎯−⎯r2⎯+r3→           − − − 0 0 0 6 0 6 9 0 1 4 5 3 k ∵方程组有解，∴ r(A) = r(A) ， ∵ r(A) = 2 ，∴ r(A) = 2 ，∴ k − 6 = 0 ，即 k = 6 时线性方程组有解． ∵ r(A) = r(A) = 2  n = 3 ，∴线性方程组有无穷多个解，有 3− 2 =1 个 自由未知量． 例 3 求解方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 2 4 4 6 8 2 2 3 x x x x x x x x x x x x  + + + =   + + + =  − − − − = − 解 用初等行变换将增广矩阵化为行最简形

线性代数教案第3章向量与线性方程组213415(1 234 5)A=4682400-2-2 2→0002212-2-1-2 /-3)-1(123415)112)(12（00011100111→Y(00000)(000010)显然，R(A)=R(A)=2<4，所以Ax=b有无穷多解，其同解方程组为[x=2-2x, -x4(x =1-X4[x=k得到一般解A[x = k,[x =2-2k-k,X, =ki（k，k,为任意常数）x=1-k[x =k)（三）齐次线性方程组解的判定由于齐次线性方程组是非齐次的特殊情况，因而非齐理论对齐次也适用.下面就用非齐次线性方程组解的理论就齐次线性方程组解的情况进行探讨，1、有无解的讨论0齐次线性方程组的增广矩阵A=：0在对A进行初等行变换化阶梯阵过程中，最后一列永远为0，因而齐次线性方程组的r(A)=r(A)，永远没有矛盾方程，所以齐次线性方程组一定有解，且X) = X2=.*·= X,= 0一定是齐次线性方程组的解，称其为零解。定理4齐次线性方程组定有零解2、解的个数的讨论由于齐次线性方程组中r(A)=r(A)，故仅用系数矩阵讨论即可r(A)=n有唯一解仅有零解计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 1 2 3 4 5 2 4 4 6 8 1 2 1 2 3     =       − − − − − A 1 2 3 4 5 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 r     → − − −       1 2 3 4 5 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r     →       1 2 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 r     →       显然， R R ( ) ( ) 2 4 A A = =  ，所以 Ax = b 有无穷多解，其同解方程组为 1 2 4 3 4 2 2 1 x x x x x  = − −   = − 令 2 1 4 2 x k x k  =   = ，得到一般解 1 1 2 2 1 3 2 4 2 2 2 1 x k k x k x k x k  = − −   =  = −    = （ 1 2 k k, 为任意常数）. （三）齐次线性方程组解的判定 由于齐次线性方程组是非齐次的特殊情况，因而非齐理论对齐次也适用．下 面就用非齐次线性方程组解的理论就齐次线性方程组解的情况进行探讨． 1、 有无解的讨论 齐次线性方程组的增广矩阵               = 0 0 0  A A ， 在对 A 进行初等行变换化阶梯阵过程中，最后一列永远为 0，因而齐次线性 方程组的 r(A)  r(A) ，永远没有矛盾方程，所以齐次线性方程组一定有解，且 x1 = x2 = = xn = 0 一定是齐次线性方程组的解，称其为零解． 定理 4 齐次线性方程组定有零解． 2、 解的个数的讨论 由于齐次线性方程组中 r(A)  r(A) ，故仅用系数矩阵讨论即可． r(A) = n  有唯一解  仅有零解．

线性代数教案第3章向量与线性方程组r(A)<n台有无穷多个解台除零解外，还有无穷多个非零解定理5齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件为r(A)=n.定理65齐次线性方程组除零解外还有无穷多个非零解的充分必要条件为r(A)<n.X+X2+X+X4+X=03x, +2x2+x-3xs=0例4求解齐次线性方程组X2+2xg+3x4+6xs=05x,+4x2+3x,+2x+6x,=0解用初等行变换将系数矩阵化为行阶梯形(11111(11111-332100-3-6-12A=0123612360(54 326-3 1(0 -1-2(1111111 110023 00123601r0000000001(0001)(00000)0显然R(A)=3<5，所以方程组有无穷多解.将上述行阶梯形继续化成行最简形：(1 0-1 -2001230rA→00001(000000其同解方程组为x=x,+2x4x2 = -2xg -3x4[xs =0[x =k]得到一般解取自由变量[x =k)x =k +2k,x2=-2k -3k,x=k（k，k,为任意常数）x=h(x, =0三、巩固练习计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 r(A)  n  有无穷多个解  除零解外，还有无穷多个非零解． 定理 5 齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件为 r(A) = n ． 定理 6 齐次线性方程组除零解外还有无穷多个非零解的充分必要条件为 r(A)  n． 例 4 求解齐次线性方程组        + + + + = + + + = + + − = + + + + = 5 4 3 2 6 0 2 3 6 0 3 2 3 0 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解 用初等行变换将系数矩阵化为行阶梯形 1 1 1 1 1 3 2 1 0 3 0 1 2 3 6 5 4 3 2 6     −   =       A r →               − − − − − − − 0 1 2 3 1 0 1 2 3 6 0 1 2 3 6 1 1 1 1 1 r →               0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 2 3 6 1 1 1 1 1 r →               0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 显然 R( ) 3 A =  5 ，所以方程组有无穷多解.将上述行阶梯形继续化成行最简形: 1 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0   − −   →        r A 其同解方程组为 1 3 4 2 3 4 5 2 2 3 0 x x x x x x x  = +   = − −   = 取自由变量 3 1 4 2 x k x k  =   = ，得到一般解 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 5 2 2 3 0 x k k x k k x k x k x  = +  = − −    =  =   = （ 1 2 k k, 为任意常数） 三、巩固练习

线性代数教案第3章向量与线性方程组x +2x2-2xg=0已知齐次线性方程组2x，+5x2-4x3=0有非零解，求入的值.3x+6x2+2x=0四、小结1.非齐次线性方程组有解的判定；2.齐次线性方程组有解的判定；3.求解线性方程组的通解。五、布置作业学习通作业教学反思：一、教学内容与方法的反思1.内容安排：在本次教学中，我详细介绍了线性方程组解的判定定理的内容、判定方法和应用。通过理论讲解、实例分析和实践操作相结合的方式，我试图帮助学生全面理解和掌握该定理。然而，我意识到在内容安排上，对于部分基础较弱的学生来说，定理的推导和证明过程可能过于复杂，导致他们难以跟上教学节奏。因此，在未来的教学中，我需要更加注重对定理推导过程的简化，或者采用更加直观的教学方法来帮助学生理解。2.教学方法：我采用了讲授法、多媒体教学法、启发式教学等多种教学方法。通过口头讲解、多媒体课件展示、问题引导和小组讨论等方式，我试图激发学生的学习兴趣和主动性。然而，我也发现，部分学生在课堂上仍然处于被动接受知识的状态，缺乏主动思考和探索的机会。因此，在未来的教学中，我需要更加注重培养学生的自主学习能力和创新精神，鼓励他们积极参与课堂讨论和实践活动。二、学生学习情况的反思1.掌握情况：通过课堂互动、课后作业和单元测试等方式，我了解到大部分学生能够理解线性方程组解的判定定理的基本内容和判定方法，但在实际应用时仍存在困难。特别是在解决与定理相关的实际问题时，部分学生往往难以将理论知识与实践相结合。这提示我在未来的教学中，需要更加注重培养学生的实践能力和解决问题的能力。2.学习态度：大部分学生对线性方程组解的判定定理表现出积极的学习态度，但也有部分学生感到困惑和挫败。他们觉得定理的内容抽象且难以掌握，导致学习兴趣下降。这要求我在未来的教学中，需要更加注重关注学生的个体差异和学习需求，采用因材施教的方法，为不同水平的学生提供适合他们的学习资源和支持。三、教学策略与改进的反思1.简化推导过程：针对部分基础较弱的学生，我将尝试简化线性方程组解的判定定理的推导过程来帮助学生理解定理的内容。同时，我也将注重培养学生的逻辑思维能力和数学素养，帮助他们更好地理解和掌握定理。2.增加实践环节：为了提高学生的实践能力和解决问题的能力，我将增加更多的实践环节。例如，可以设计一些与线性方程组解的判定定理相关的实际问题，让学生进行分析和解决。通过实践操作，学生可以更加深入地理解和掌握定理的内容和应用。3.关注个体差异：针对学生的个体差异和学习需求，我将采用因材施教的方法。对于基础较弱的学生，我将提供更多的辅导和支持：对于基础较好的学生，我将鼓励他们进行更深入的学习和研究。同时，我也将注重培养学生的自主学习能力和创新精神，帮助他们更好地适应未来的学习和工作。计算机与数学基础教学部主娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 已知齐次线性方程组      + + = + − = + − = 3 6 0 2 5 4 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x  有非零解，求  的值． 四、小结 1.非齐次线性方程组有解的判定； 2.齐次线性方程组有解的判定； 3.求解线性方程组的通解。 五、布置作业 学习通作业 教学反思： 一、教学内容与方法的反思 1.内容安排：在本次教学中，我详细介绍了线性方程组解的判定定理的内容、判定方法和应用。通 过理论讲解、实例分析和实践操作相结合的方式，我试图帮助学生全面理解和掌握该定理。然而， 我意识到在内容安排上，对于部分基础较弱的学生来说，定理的推导和证明过程可能过于复杂，导 致他们难以跟上教学节奏。因此，在未来的教学中，我需要更加注重对定理推导过程的简化，或者 采用更加直观的教学方法来帮助学生理解。 2.教学方法：我采用了讲授法、多媒体教学法、启发式教学等多种教学方法。通过口头讲解、多媒 体课件展示、问题引导和小组讨论等方式，我试图激发学生的学习兴趣和主动性。然而，我也发现， 部分学生在课堂上仍然处于被动接受知识的状态，缺乏主动思考和探索的机会。因此，在未来的教 学中，我需要更加注重培养学生的自主学习能力和创新精神，鼓励他们积极参与课堂讨论和实践活 动。 二、学生学习情况的反思 1.掌握情况：通过课堂互动、课后作业和单元测试等方式，我了解到大部分学生能够理解线性方程 组解的判定定理的基本内容和判定方法，但在实际应用时仍存在困难。特别是在解决与定理相关的 实际问题时，部分学生往往难以将理论知识与实践相结合。这提示我在未来的教学中，需要更加注 重培养学生的实践能力和解决问题的能力。 2.学习态度：大部分学生对线性方程组解的判定定理表现出积极的学习态度，但也有部分学生感到 困惑和挫败。他们觉得定理的内容抽象且难以掌握，导致学习兴趣下降。这要求我在未来的教学中， 需要更加注重关注学生的个体差异和学习需求，采用因材施教的方法，为不同水平的学生提供适合 他们的学习资源和支持。 三、教学策略与改进的反思 1.简化推导过程：针对部分基础较弱的学生，我将尝试简化线性方程组解的判定定理的推导过程来 帮助学生理解定理的内容。同时，我也将注重培养学生的逻辑思维能力和数学素养，帮助他们更好 地理解和掌握定理。 2.增加实践环节：为了提高学生的实践能力和解决问题的能力，我将增加更多的实践环节。例如， 可以设计一些与线性方程组解的判定定理相关的实际问题，让学生进行分析和解决。通过实践操作， 学生可以更加深入地理解和掌握定理的内容和应用。 3.关注个体差异：针对学生的个体差异和学习需求，我将采用因材施教的方法。对于基础较弱的学 生，我将提供更多的辅导和支持；对于基础较好的学生，我将鼓励他们进行更深入的学习和研究。 同时，我也将注重培养学生的自主学习能力和创新精神，帮助他们更好地适应未来的学习和工作

线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目83.2向量及其运算课次：121.知识目标（1）理解向量的概念。（2）掌握向量的加法和数乘运算法则。2.能力目标（1）培养数形结合能力：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，培养学生数形结合解决问题的能力；使学生能够借助图形直观地理解向量的运算和性质。（2）提高运算能力：通过具体的图形和实例，使学生能够熟练地运用三角形法则和平行四边形法则来计算两个向量的和向量；使学生能够运用向量数乘运算律进行向量教学目标运算。（3）培养问题解决能力：使学生能够运用向量的概念和运算来解决实际间题；培养学生的自主学习能力和合作能力，使其在问题的发现、分析、探讨中提高解决问题的能力。3.情感与态度目标（1）激发学习兴趣：通过生动的实例和图形，激发学生对向量及其运算的学习兴趣：创设和谐又有竞争的课堂教学气氛，使学生在轻松愉快的氛围中学习向量知识。（2）培养严谨态度：在教学过程中，注重培养学生的严谨态度，使其能够认真对待每一个向量运算和性质；鼓励学生提出问题、解决问题，培养其探究精神和创新精神。教学重点向量的概念教学难点向量的几何意义教学手段板书与多媒体结合、学习通教学方法讲授法、探究式教学法教学时数2课时教学过程备注一、复习引入在实际问题中，经常会遇到一些无法用一个数描述的量，如，某商店的某件商品同一天在5个不同的分销店销售，需要用5个有序数(x1,x2,X3，X4，x）表示该天的销售量；空间中的一个球体，要描述其球心的位置和半径需要用有序的4个数(x,y,=,R)构成的数组。这种例子举不胜举，作为它们的共同特征，有下面的概念，二、讲授新课（一）向量的概念定义1（向量）由n个（实）数αj,az.,a组成的有序数组，称作n维（实）向量（用希腊字母α，β.：来表示），记作计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 授课题目 §3.2 向量及其运算 课次：12 教学目标 1.知识目标 （1）理解向量的概念。 （2）掌握向量的加法和数乘运算法则。 2.能力目标 （1）培养数形结合能力：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，培养学生数 形结合解决问题的能力；使学生能够借助图形直观地理解向量的运算和性质。 （2）提高运算能力：通过具体的图形和实例，使学生能够熟练地运用三角形法则和 平行四边形法则来计算两个向量的和向量；使学生能够运用向量数乘运算律进行向量 运算。 （3）培养问题解决能力：使学生能够运用向量的概念和运算来解决实际问题；培养 学生的自主学习能力和合作能力，使其在问题的发现、分析、探讨中提高解决问题的 能力。 3.情感与态度目标 （1）激发学习兴趣：通过生动的实例和图形，激发学生对向量及其运算的学习兴趣； 创设和谐又有竞争的课堂教学气氛，使学生在轻松愉快的氛围中学习向量知识。 （2）培养严谨态度：在教学过程中，注重培养学生的严谨态度，使其能够认真对待 每一个向量运算和性质；鼓励学生提出问题、解决问题，培养其探究精神和创新精神。 教学重点 向量的概念 教学难点 向量的几何意义 教学手段 板书与多媒体结合、学习通 教学方法 讲授法、探究式教学法 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 在实际问题中，经常会遇到一些无法用一个数描述的量．如，某商店的某件 商品同一天在 5 个不同的分销店销售，需要用 5 个有序数 ( , , , , ) 1 2 3 4 5 x x x x x 表示 该天的销售量；空间中的一个球体，要描述其球心的位置和半径需要用有序的 4 个数 (x, y,z, R) 构成的数组．这种例子举不胜举，作为它们的共同特征，有下面 的概念． 二、讲授新课 （一）向量的概念 定义 1 （向量） 由 n 个（实）数 a a an , , 1 2,  组成的有序数组，称作 n 维 （实）向量（用希腊字母 ,,  来表示），记作

线性代数教案第3章向量与线性方程组α=(ai,a2,",an),其中第i个数a,称为向量α的(第i个)分量。或记作α=(a,)或α=(a,)用R”表示n维实向量的全体：用C”表示n维复向量的全体。n维行向量。n维列向量。（在讨论向量概念和性质时，行向量和列向量是完全一样的)。a,IXann维行向量即为1xn的矩阵，n维列向量是nx1矩阵。本课程采用列向量α形式aa利用转置，α表示一个行向量，也有α==(a a2(an)（联系三维空间中的有向线段或点的坐标，直观理解向量的概念）向量是矩阵的特殊形式，因此向量也有下列概念和性质。（二）向量的运算定义2设α=(a,)，β=(b,）是二个n维向量。1）向量相等若,=b,，i=1,",n，称向量α和向量β相等。2)零向量所有分量都为零的向量。一般记作；或注意，,±,3）负向量称向量-α={-a,)，为向量α的负向量。4）向量加法称向量=α+β=(a,+b)，为向量α和向量β的和，向量减法向量α和向量β的减法）定义为α和（-β）的加法：=α-β=α+(-β)。5）数乘向量设k是一个数。称向量kα=αk=ka,)，为向量α和数k计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 ( , , , )  = a1 a2  an ， 其中第 i 个数 i a 称为向量  的（第 i 个）分量。或记作 ai n  = { } 或 { }  = ai , 用 n R 表示 n 维实向量的全体；用 n C 表示 n 维复向量的全体。 n 维行向量。n 维列向量。（在讨论向量概念和性质时，行向量和列向量是完 全一样的）。               = n a a a  2 1  ， n 维行向量即为 1 n 的矩阵，n 维列向量是 n1 矩阵。本课程采用列向量  形 式 利用转置， T  表示一个行向量，也有 ( ) T n n a a a a a a   1 2 2 1 =                = 。 （ 联系三维空间中的有向线段或点的坐标，直观理解向量的概念） 向量是矩阵的特殊形式，因此向量也有下列概念和性质。 （二）向量的运算 定义 2 设 ai n  = { } ， bi n  = { } 是二个 n 维向量。 1）向量相等 若 ai = bi , i = 1,  , n ， 称向量  和向量  相等。 2）零向量 所有分量都为零的向量。一般记作  ；或  n . 注意，  2  3 . 3）负向量 称向量 ai n − = {− } 为向量  的负向量。 4）向量加法 称向量 ai bi n  =  +  = { + } 为向量  和向量  的和， 向 量 减 法 向 量  和 向 量  的 减 法 ） 定 义 为  和 (− ) 的 加 法 ：  =  −  =  + (−) 。 5）数乘向量 设 k 是一个数。称向量 i n k = k = {ka } 为向量  和数 k

线性代数教案第3章向量与线性方程组的数乘向量。把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上，同样成立：(1)α+β=β+α(2)(α+β)+=α+(β+)(3)α+0=αα-α=(4)k(α+β)=kα+kβ(k+I)α=kα+lα(5)(kl)α=k(lα)(6)1α=α;(-1)α=-α；0α=0：k=(7)若kα=,则或k=0或α=。(8)设I是n阶单位矩阵，则Iα=α。例 1 设 α,=(1 2 -1),α, =(2 -3 1),α,=(4 1 -1)", 计算2α,+α；并判别α与α,α的关系。解2α+α=(41-1。且α=2α+α2或等价地2α, +α2 +(-1)α = 0（三）向量的几何意义在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量.在平面上，以坐标原点为起点，以点P(x,J)为终点的有向线段表示向量OP=(x,y),我们称之为2维向量；在空间直角坐标系中，以坐标原点为起点，以点P(x,J,=)为终点的有向线段表示向量OP=[x,y,z)，我们称之为3维向量.当m>3时，m维向量就不再有这种几何形象，我们可以通过几何术语来表达三、巩固练习--10S设α=，求α+2β，2α-3β220（3）四、小结向量的概念及运算计算机与数学基础教学部王娜

线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部 王娜 的数乘向量。 把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上，同样成立： （1）  +  =  + . （2） ( + ) +  =  + ( +  ) . （3）  + =  ；  − =  . （4） k( + ) = k + k ； (k + l) = k + l . （5） (kl) = k(l). （6） 1 =  ； (−1) = − ； 0 =  ； k =  . （7） 若 k =  , 则或 k = 0 或  =  。 （8） 设 I 是 n 阶单位矩阵，则 I =  。 例 1 设 (1 2 1) , (2 3 1) , (4 1 1) , 1 2 3 T T T  = −  = −  = − 计算 1 2 2 + ；并判别 3 与 1 2  ,  的关系。 解 ( ) T 21 +2 = 4 1 −1 。 且  3 = 21 + 2 . 或 等 价 地 21 +2 + (−1)3 =  （三）向量的几何意义 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量.在平面上,以 坐标原点为起点,以点 P x y ( , ) 为终点的有向线段表示向量 OP x y =  ,  ,我们称 之为 2 维向量；在空间直角坐标系中,以坐标原点为起点,以点 P x y z ( , , ) 为终点 的有向线段表示向量 OP x y z = , ,  ,我们称之为 3 维向量.当 m  3 时,m 维向 量就不再有这种几何形象,我们可以通过几何术语来表达. 三、巩固练习 设 1 0 2 3       =        ， 1 3 2 0   −     =        ，求   + 2 ， 2 3   − ． 四、小结 向量的概念及运算