沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.3 向量组的线性相关性

x +2x, +3x, +4x4 = 5复习求解方程组2x+4x2+4x，+6x4=8(-xi -2x2 - x - 2x4 = -334151223415解00-2-2 : -224486A=02022-2-1-1-2-30112)522341100011011110000000000R(A)= R(A)=2<4，所以Ax=b有无穷多解

复习 求解方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 2 4 4 6 8 2 2 3 x x x x x x x x x x x x                    解 1 2 3 4 5 2 4 4 6 8 1 2 1 2 3                 A 1 2 3 4 5 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2               1 2 3 4 5 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0            1 2 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0            R R ( ) ( ) 2 4 A A    ，所以Ax  b有无穷多解

02211X +2x2 + X4 = 20011+x4 =1X30000-X = 2-2x2 -x4EK得到一般解[x =1X4x = 2-2kj -kzX2 = ki（k,k,为任意常数）.xg =1-k,[x4=k

1 1 2 2 1 3 2 4 2 2 2 1 x k k x k x k x k               （ 1 2 k k, 为任意常数）. 令 2 1 4 2 x k x k      ，得到一般解 1 2 4 3 4 2 2 1 x x x x x         1 2 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0            1 2 4 3 4 2 2 1 x x x x x        

8 3.3向量组的线性相关性向量组的线性组合一（一个向量与多个向量的关系）二、向量组的线性相关与线性无关（向量组中向量之间的关系)三、小结

§3.3 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 （一个向量与多个向量的关系） 二、向量组的线性相关与线性无关 三、小结 （向量组中向量之间的关系)

复习：aianar2Qa21a22a2nA=azj·.aam2amlmnamj按列分块A=[β β2... β,]n个m维列向量

按列分块 ｎ个ｍ维列向量. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a                A  1  2   n                mj j j j a a a β  2 1 复习：

一、向量组的线性组合定义1若干个同维数的列向量(或同维数行向量所组的集合叫做向量组如一个mXn矩阵的全体列向量是一个含n个m维列向量的向量组：它的全体行向量含m个n维行向量的向量组

一、向量组的线性组合 定义1 若干个同维数的列向量(或同维数行向量) 所组的集合叫做向量组. 如一个m×n矩阵的全体列向量是一个含n个 m维列向量的向量组; 它的全体行向量含m个n维行向量的向量组

给定向量组A:αα,αn,若有一组数k,.,k定义2使得β=kα +…+k,α，，称β为αi,…,α的线性组合,或可由αi,,αn为组合系数线性表示,称k,kz,",k，或表示系数。(0)(0)1（2）001则α, =,α, =,α, =1-1如 α=(00(1)1 α=2α, -α, +α组合系数为2,-1,1

定义2 给定向量组 , 若有一组数 使得 , 称 为 的线性组合, 或 可由 线性表示,称 为组合系数 或表示系数 . A   n : , , 1 2  1 , , n k k 1 1 n n       k k   n , , 1    n , , 1  1 2 , , , n k k k 如 2 1 1             1 2 3 1 0 0 0 , 1 , 0 , 0 0 1                                     则 1 2 3        2 组合系数为2,-1,1

线性表示注意：1、零向量0可经任意一组向量αα..α因为 O=0α +0α2 +:·+0α,a,』 均可经向量组2、任意n元向量 α=[aα2…．[oTo[1]001线性表示.Y=8....1L0000ai001a2+a2aQ因为:1001a2、任意向量可由单位经向量组线性表示

注意：1、零向量O可经任意一组向量 1  2   r 线性表示 因为 O     0 0 0 α1 2 α αr 2、任意n元向量   a a an T  1 2  均可经向量组              0 0 1 1                0 1 0 2                1 0 0  n .  线性表示. 因为                                                       r r a a a a a a      2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2、任意向量可由单位经向量组线性表示

讨论：向量β能用αi，α2，…．,α，线性表示的条件设β=[b，b2，…，bh]向量组α,=[au，αzi，，ami]则β能（否）用α，α2，,αr线性表示相当于能（否）找到数域中的数k，k2，…：,k,使得kk,αi +k,α2+...+k,α,=βb,aa12ayrb,a22a2ra21k+k2.bnanrN0

线性表示的条件。   T b b bn , , ,   1 2    T i i i n i a , a , , a   1 2     r , , , 1 2  r k , k , ,k 1 2  设 向量组 则  能（否）用 线性表示相当于能（否）找到数域中的数 使得 k1 1  k2  2  kr  r   11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 r r r n n nr n a a a b a a a b k k k a a a b                                                     ,    r , , , 讨论： 向量 能用 1 2 

ark +azk, +..+ark, =bbaik +ak +..a,k, =b,b,ana.O22+k.S..:anki+ank, +...+amk,=b6Oan2ki, k2, ... ,k,使得该式成立，写成矩阵形式6a22在数162a21X2a22azr域中[α α2 .. α,=β是否bn有解。anan2.. q

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 r r r r n n nr r n a k a k a k b a k a k a k b a k a k a k b                    r k , k , ,k 1 2  使得该式成立， 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 r r n n nr n r a a a b x a a a b x a a a b x                                      在数 域中 是否 有解。   1 2 1 2 r r x x x                  11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 r r r n n nr n a a a b a a a b k k k a a a b                                                     写成矩阵形式

向量β可由向量组α…,α，纟线性表示的定理1充要条件是R(A)= R(A,β）,其中 A=(α,,αn)例1 设α =(1,1,1)T， α2 =(0,1,1)T， α, =(0,0,1)T,β=(1,3,4)"，问β能否由α,α2,α,线性表示?解：方法一由定义，β能由α,α,α,线性表示> 存在 kj,k2,k, 使 β=kα +k,αz +kαk, = 1,k, = 2,ks = 1即=k成立，3=k+k2[4=+k,+k，故β能由α,α2,α,线性表示

解：方法一 由定义，  能由 1 2 3    , ,  1 2 3 k , k , k 线性表示 存在 使 1 1 2 2 3 3        k k k 成立，即 1 1 2 1 2 3 1 3 4 k k k k k k            k1 1, k2  2, k3 1 例 1 设 T 1   (1,1,1) ， T 2   (0,1,1) ， T 3   (0,0,1) ， T   (1,3, 4) ，问  能否由 1 2 3    , , 线性表示？ R R ( ) ( , ) A A   定理1 向量  1 , , 可由向量组  n 线性表示的 1 ( , , ) A   n 充要条件是 ,其中 ，故  能由 1 2 3    , , 线性表示