沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第2章 矩阵及其运算 2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵

S 2.5矩阵的初等变换与初等矩阵一、初等变换（4个定义、1个定理）二、初等矩阵（定义1、定理2、推论2)三、求逆矩阵的初等变换法四、小结

一、初等变换 (4个定义、1个定理) §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 二、初等矩阵（定义1、定理2、推论2） 三、求逆矩阵的初等变换法 四、小结

一、初等变换定义1对矩阵的行（列）实施下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换互换：互换矩阵的两行（列），记作(1）r台ri(c,台c)(2)数乘:以数k≠0乘某行（列），记作kr，（kc）;(3）倍加：把某行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去，记作r+kr；（c,+kc,）;矩阵的这三种初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换

一、初等变换 定义1 对矩阵的行（列）实施下列三种变换称为 矩阵的初等行（列）变换. （1）互换: ( i j i j 记作 r r c c   ）； 以数k≠0乘某行（列）, 把某行（列）的k倍加到另一行（列）的 矩阵的这三种初等行变换和初等列变换，统称 为矩阵的初等变换. 互换矩阵的两行（列）, （2）数乘: ( i i 记作 kr kc）； （3）倍加: 对应元素上去, ( i j i j 记作 r kr c kc   ）；

002-1-11402例用初等行变换把矩阵-1A=20-4-1-182)(211402)1-1解002-1-1i2→A-20-1-4-182)(211(1204-120r+i0-1-1'4-2ri021-10031(0-2)

例 用初等行变换把矩阵 0 0 1 1 2 1 4 1 0 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2                    A 解 1 2  r r  A 3 1 4 1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 3 1 2 r r r r                    1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2                  

定义2如果矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵B则称矩阵A与矩阵B等价，记为A=B等价矩阵具有如下性质A=A（1）反身性:(2)如果 A=B那么B=A对称性：(3）传递性：如果 A=B，B=C，那么A=C

定义2 如果矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵B， 则称矩阵A B 与矩阵 等价， 等价矩阵具有如下性质： （1）反身性: A A  （2）对称性：如果 A B B A   那么 （3）传递性：如果 A B B C A C    ， ，那么 。 A B 记为

0100[1142例1 设 A=0020001,B=1[21-100010问：矩阵A和B是否等价？24121[1 14r3+3r202010A'3-021[L00-2-3-30-8-3000-41-11112+r3ri+2r31-1200-3-301010-200-30-2-3

例1 设 1 1 4 2 0 1 2 0 , 2 1 0 1 A             问：矩阵A和B是否等价？ 3 2 3 1 1 4 2 0 1 2 0 0 0 2 3 r r              2 3 1 3 2 1 1 0 4 0 1 0 3 0 0 2 3 r r r r                  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 B            3 1 2 1 1 4 2 0 1 2 0 0 3 8 3 r r A               1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 2 3 r r                

0000100-31ri-120-310003I00-2-300[10000C4+CiC4-3c20010C4-3c3B =0001 00010001所以A=B

所以 A B  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 B            1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 2 3 r r                 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3  c               4 1 4 2 4 3 3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 c c c c c c             

定义3行阶梯形矩阵是指具有下列特点的矩阵：（1)矩阵若有零行（元素全为零的行），应位于非零行的下方；(2)矩阵每个非零行的非零首元均在上一行非零首元的右下方3②370042例如，矩阵是一个行阶梯形矩阵3002000000

定义3 行阶梯形矩阵是指具有下列特点的矩阵:                0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 2 4 2 1 2 3 7 0 3 例如，矩阵 是一个行阶梯形矩阵. 的右下方. (2)矩阵每个非零行的非零首元均在上一行非零首元 的下方； (1)矩阵若有零行（元素全为零的行），应位于非零行

定义4若行阶梯形矩阵还满足下列条件则称为行最简形矩阵：(1)非零行的非零首元均为1;(2)非零首元1所在列的其他元素均为01030是一个行最简形矩阵例如，矩阵4-200A定理1任何一个非零矩阵总可经过行初等mxn变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵

定义4 若行阶梯形矩阵还满足下列条件则称 (2)非零首元1所在列的其他元素均为0. (1)非零行的非零首元均为1; 为行最简形矩阵:                0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 0 1 0 3 0 1 0 0 0 1 例如，矩阵 是一个行最简形矩阵. 定理1 任何一个非零矩阵 A m n 变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵． 总可经过行初等

(002-1-14012-1例1用初等行变换把矩阵A:2-4-10-182)112化成行阶梯形进而化成行最简形(1024-1解(1240-10r3+ri20-1-1002-1-1r4-2riAi0012-102-1-4-10(0318-2)2)211(1024-1r3+r2020-1-1r4+3r20040-24)00(0-2

例1 用初等行变换把矩阵 0 0 1 1 2 1 4 1 0 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2                    A 化成行阶梯形进而化成行最简形. 解 1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 1 4 2 1 0 2 8 1 1 2 r r                    A 3 2 4 2 3 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 4 0 0 0 2 4 r r r r                    3 1 4 1 2 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 3 1 2 r r r r                   

204-10140112×(-1)0r3+r202-1-1000013x14+3r0004-20001-2400-200000020ri-13-2

2 3 ( 1) 1 ( ) 2 1 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0                  r r 1 3 1 4 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 r r               . 3 2 4 2 3 1 4 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 0 2 4 0 0 0 2 4 r r r r                   