第十八章ARCH和 GARCH估计 EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模 型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的建立变量的条件 方差或变量波动性模型 我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先,我们 可能要分析持有某项资产的风险;其次,预测置信区间可能是时变性 的,所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间;第三,如果 误差的异方差是能适当控制的,我们就能得到更有效的估计
1 第十八章 ARCH和GARCH估计 EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模 型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件 方差或变量波动性模型。 我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因: 首先，我们 可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性 的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果 误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计
自回归条件异方差( Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model,ARCH模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的 因变量的方差被作为因变量的滞后值和自变量或外生变量的函数来建立 模型 ARCH模型是1982年由恩格尔( Engle,R.)提出,并由博勒斯菜文 ( Bollerslev,T,1986)发展成为 GARCH( Generalized arch)广义自回 归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金 融时间序列分析中。 按照通常的想法,自相关的问题是时间序列数据所特有,而异方差 性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中,会不会出现异方差呢? 会是怎样出现的?
2 自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 因变量的方差被作为因变量的滞后值和自变量或外生变量的函数来建立 模型。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R .)提出，并由博勒斯莱文 (Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回 归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金 融时间序列分析中。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差 性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？ 会是怎样出现的？
恩格尔和克拉格(Krat,D,1983)在分析宏观数据时,发现这样 些现象:时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔 的结论说明在分析通货膨胀模型时,大的及小的预测误差会大量出现, 表明存在一种异方差,其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研 究工作者,曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大 的变化。预测的误差在某一时期里相对地小,而在某一时期里则相对地 大,然后,在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波 动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而 说明预测误差的方差中有某种相关性 为了刻画这种相关性,恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型 ARCH的主要思想是时刻t的u的方差(=∞2)依赖于时刻(t1)的平方误 差的大小,即依赖于
3 恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一 些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔 的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现， 表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研 究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大 的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地 大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波 动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而 说明预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。 ARCH的主要思想是时刻 t 的 的方差（= ）依赖于时刻(t-1)的平方误 差的大小，即依赖于 。 t u 2 t 2 t−1 u
为了说得更具体,让我们回到k变量回归模型 y,=youyi + tur 并假设在时刻(4-1)所有信息已知的条件下,扰动项的分布是 a +a,u 也就是,遵循以0为均值,(a0+a2)为方差的正态分布。 由于(2)中u的方差依赖于前期的平方扰动项,我们称它为ARCH(1) 过程: Va(1)=a2=a0+a1l 然而,容易加以推厂
4 为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型： (1) 并假设在时刻 ( t-1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 的分布是： ~ (2) 也就是， 遵循以0为均值， 为方差的正态分布。 由于（2）中 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1) 过程： 然而，容易加以推广。 t t k k t ut y = 0 + 1 x1 ++ x + ut (0 ,( )) 2 0 + 1 t−1 N u ( ) 2 0 +1 ut−1 ut ut 2 0 1 1 2 var( )t = t = + t− u u ut
例如,一个ARCH(p)过程可以写为 O,=C+C1l.1+,l.,+……+C (3) 如果扰动项方差中没有自相关,就会有H021=c2 0 这时va(u2) 从而得到误差方差的同方差性情形 恩格尔曾表明,容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设: (4) 其中,讠表示从原始回归模型(1)估计得到的OLS残差
5 例如，一个ARCH (p)过程可以写为： （3） 如果扰动项方差中没有自相关，就会有H 0： 。 这时 ，从而得到误差方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设： （4） 其中， 表示从原始回归模型（1）估计得到的OLS残差。 2 2 2 2 2 0 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ut = + ut− + ut− ++ p ut− p ut ˆ 2 2 2 2 2 0 1 1 2 t t t p t p u u u = + − + − ++ − 1 = 2 == p = 0 0 2 var(ut ) = =
GARCH(1,1)模型 我们常常有理由认为l1的方差依赖于很多时刻之前的变化量(特别是 在金融领域,采用日数据或周数据的应用更是如此)。这里的问题在于, 我们必须估计很多参数,而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意 识到方程(3)不过是o2的分布滞后模型,我们就能够用一个或两个σ2的 滞后值代替许多l2的滞后值,这就是广义自回归条件异方差模型 ( generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model,简记为 GARCH模型)。在广义的ARCH模型中,要考虑两个不同的设定:一个是 条件均值,另一个是条件方差 在标准化的 GARCH(1,1)模型中 V=rtu, (18.1) =O+,1+ (182) (181)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于a2是以 前面信息为基础的一期向前预测方差,所以它被叫做条件方差
6 一、GARCH(1, 1)模型 我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是 在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于， 我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意 识到方程(3)不过是t 2 的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t 2的 滞 后值代替 许多 ut 2的 滞后值， 这就是广 义自回归 条件异方 差模 型 （generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为 GARCH模型）。在广义的ARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是 条件均值，另一个是条件方差。 在标准化的GARCH(1,1)模型中： (18.1) (18.2) (18.1)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于 是以 前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被叫做条件方差。 2 1 2 1 2 t = +ut− + t− 2 t t t ut y = x +
(18.2)中给出的条件方差方程是下面三项的函数 均值:O 用方程(18.1)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信 息:u2,ARCH项) 3.上一期的预测方差:c2,( GARCH项) GARCH(1,1)中的(1,1)是指阶数为1的 GARCH项(括号中的第一项) 和阶数为1的ARCH项(括号中的第二项)。一个普通的ARCH模型是 GARCH模型的一个特例,即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说 明
7 (18.2)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．均值： 2．用方程(18.1)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信 息： （ARCH项）。 3．上一期的预测方差： （GARCH项）。 GARCH (1, 1) 中的(1, 1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项） 和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是 GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说 明。 2 t−1 u 2 t−1
在 EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下,通过极 大似然函数方法估计的。例如,对于 GARCH(1,1,t时期的对数似然 函数为 1=--lg(2丌)-=log (18.3) 其中 2=0+a(y1-x1y)2+/Bo2=0+an21+a21(184) 这个说明通常可以在金融领域得到解释,因为代理商或贸易商可以 通过建立长期均值的加权平均(常数),上期的预期方差( GArCH项) 和在以前各期中观测到的关于变动性的信息(ARCH项)来预测本期的 方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大,那么贸易商将会增加 对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到 的变动组,在这些数据中,收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大 变化
8 在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极 大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH (1, 1)， t 时期的对数似然 函数为： (18.3) 其中 (18.4) 这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以 通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项） 和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的 方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加 对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到 的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大 变化。 2 2 2 ( ) / 2 1 log 2 1 log( 2 ) 2 1 t t t t t l = − − − y − x 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) − − + − = + − + − = + − t t t t ut t y x
有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型: 1.如果我们用滞后方差递归地替代(18.2)式的右端,就可以将条 件方差表示为滞后残差平方的加权平均: B)a2Bi-t (18.5) 我们看到 GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似,但是,它向更远的 滞后加权了平方误差
9 有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型： 1．如果我们用滞后方差递归地替代（18.2）式的右端，就可以将条 件方差表示为滞后残差平方的加权平均： （18.5） 我们看到GARCH(1, 1)方差说明与样本方差类似，但是，它向更远的 滞后加权了平方误差。 ( ) . 1 2 1 2 1 t j j j t u − = − + − =
2.收益平方中的误差通过U=12-2给出。用其替代方差方程 182)中的方差并整理,得到关于误差的模型 l2=0+(a+/B 18.6) 因此,平方误差服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久 性的自回归的根是a加B的和。在很多情况下,这个根非常接近1,所以 冲击会逐渐减弱
10 2．收益平方中的误差通过 给出。用其替代方差方程 （18.2）中的方差并整理，得到关于误差的模型： （18.6） 因此，平方误差服从一个异方差ARMA（1, 1）过程。决定波动冲击持久 性的自回归的根是 加 的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以 冲击会逐渐减弱。 2 2 t = ut − t ( ) 1. 2 1 2 ut = + + ut− +t − t−