第一拿矢量分析 知识脉络： 场 标量场 矢量场 等值面 方向导数 矢量线 通量 环流 梯度 散度定理 散度 旋度 亥姆霍兹定理 斯托克斯定理
场 标量场 矢量场 等值面 方向导数 梯度 矢量线 通量 散度定理 散度 环流 旋度 亥姆霍兹定理 斯托克斯定理 第一章 矢量分析 知识脉络:
§1.1标量场与矢量场 标量：数学上：一实数域内任一代数量a(-o,十o) 物理上：代数量+物理意义；或者说一个只用大小 描述的物理量。如电压，电荷，质量，能量等 矢量：数学上：一般的三维空间中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意义；或者说一个既有大小又 有方向的物理量。常用黑斜体字母或带箭头的字母如A或 如速度、电磁场等
§1.1 标量场与矢量场 标量: 数学上：—实数域内任一代数量a(-,+) 物理上：代数量+物理意义；或者说一个只用大小 描述的物理量。如电压，电荷，质量，能量等 矢量: 数学上：一般的三维空间中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意义；或者说一个既有大小又 有方向的物理量。常用黑斜体字母或带箭头的字母如A或 A A 如速度、电磁场等
场：物理量在时空中的确定分布 标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标 量场，用标量函数表示为 u(x,y,z,t) 如物体的温度分布Tc)、电位分布pc,)等 矢量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢 量场，用矢量函数表示 F(x,y,2,) 既具有大小又具有方向的场。如电场E(r,）
场： 物理量在时空中的确定分布. 标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标 量场，用标量函数表示为 如物体的温度分布T(r,t)、电位分布(r,t)等 矢量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢 量场，用矢量函数表示 既具有大小又具有方向的场。如电场 u x y z t ( , , , ) E r t ( , ) F x y z t ( , , , )
静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场 称为静态场。 动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所 确定的场称为动态场。 1.1.1 矢量的表示形式：一个矢量可以用一条有方向的线 段来表示，线段的长度表示矢量的模，箭头指向表 示矢量的方向 A-A-e,=A-e, P 矢量的模：表示矢量的大小A A矢量的方向；e,=利A
静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场 称为静态场。 动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所 确定的场称为动态场。 1.1.1 矢量的表示形式:一个矢量可以用一条有方向的线 段来表示,线段的长度表示矢量的模,箭头指向表 示矢量的方向. A P A A A A A e e = • = • 矢量的模：表示矢量的大小 A A矢量的方向； A A A e =
1.1.2矢量的运算（加法/减法） 矢量加/减法遵循平行四边形法则，其运算满足： 4+B=B+A (交换律) (4+B)+C=4+(B+C) (结合律 A-B=4+(-B) 1,1,3矢量的运算（点积、叉积 )》 ①标量与矢量乘积kA kA-kex 模k ②矢量与矢量乘积 点积（标积）· 叉积（矢积）×
1.1.2矢量的运算（加法/减法） 矢量加/减法遵循平行四边形法则,其运算满足: A B B A + = + (交换律) ( A B C A B C + + = + + ) ( ) (结合律) A B A B − = + −( ) 1.1.3矢量的运算（点积、叉积） ①标量与矢量乘积 kA A k A k A e = 模 kA ②矢量与矢量乘积 点积（标积） 叉积（矢积） •
点积： A.B=ABcos 9 (0≤0≤π) (标量) -(品古 (矢量)右手法则 矢量点积服从： A-B=B-A (交换律) A-(B+C)=A-B+A.C (分配律) 矢量叉积服从： AxB=-BxA (不服从交换律) A×(B+C)=A×B+A×C (分配律) 标量三重积 A(BxC)=B(C×A)=C(A×B) 矢量三重积 Ax(B×C)=B(AC)-C(AB)
点积： A B A B = cos (0 ) （标量） 叉积： A B sin ﹛ 大小 方向：垂直与包含 A 和 B 的面 （矢量） 右手法则 矢量点积服从： A B B A = （交换律） A B C A B A C ( ) + = + （分配律） 矢量叉积服从： A B B A = − A B C A B A C + = + ( ) 标量三重积 A B C B C A C A B ( ) ( ) ( ) = = 矢量三重积 A B C B A C C A B = − ( ) ( ) ( ) （不服从交换律） （分配律） A B =
1.2三种常用的正交坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 1.2 三种常用的正交坐标系 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为 坐标变量
■1、直角坐标系 二（平面 exxey=e: 坐标变量 x,y,2 eyxe:=ex 坐标单位矢量ex,e,e 点P(x6,Z0) e:xex=ev 位置矢量 r=e,x+e,y+e.z y=%(平面) x=x(平面) 线元矢量 直角坐标系 dl=e,dk+e,dy+e.d正 dS.=e.dxdy d dS,=e,dxd= 面元矢量 ds,=e,dl,dl.=e,dydz ds,=e,dl,dl.=e,drd正 dy ds,=e,dvd ds.=e.dldl,=e.dxdy 体积元 d dxdydz 直角坐标系的长度元、面积元、体积元
◼ 1、直角坐标系 x y z 位置矢量 r e x e y e z = + + 面元矢量 线元矢量 d d d d x y z l e x e y e z = + + d d d d d x x y z x S e l l e y z = = d d d d d z z x y z S e l l e x y = = 体积元 d d d d V x y z = d d d d d y y x z y S e l l e x z = = 坐标变量 x y z , , 坐标单位矢量 , , x y z e e e 点P(x0 ,y0 ,z0 ) 0 y = y （平面） o x y z 0 x = x （平面） 0 z = z （平面） P 直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx S e y z d x x d d = S e x y d z z d d = S e x z d y y d d = x y z y z x z x y e e e e e e e e e = = =
位置矢量 F=ex+e,y+e.z 矢量用坐标分量表示 A-Ae,+A,e,A.e. A=Acosa A=AcosB A.Acosy 4=A(e,cosa+e,cosB+e.cosy) e=e,cosa+e,cos B+e.cosy
x x y y z z A A e A e A e = + + A A A A A A x y z = = = cos cos cos ( cos cos cos ) x y z A A e e e = + + cos cos cos A x y z e e e e = + + 矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y x y z 位置矢量 r e x e y e z = + +
直角坐标系中 A矢量： A=e,4 +e,4,+eA B矢量： B=e,B,+e,By +e.B A+B=e(A+B)+e,(A,+B,)+e.(A+B) A-B=AB,+AB+AB. e, e, z AxB=e,(A,B.-A.B,)+e,(A.B,-A,B.)+e.(A,B,-A,B,)=A 4 B.B, B
直角坐标系中 A矢量： A e A e A e A = + + x x y y z z B矢量： B e B e B e B = + + x x y y z z ( ) ( ) ( ) A B e A B e A B e A B + = + + + + + x x x y y y z z z A B A B A B A B = + + x x y y z z ( ) ( ) ( ) x y y x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z e e e A B e A B A B e A B A B e A B A B A A A B B B = − + − + − = z