贵州师范大学：《固体物理学》第三章 外场作用下晶体电子的运动（杨真）

第三章外场作用下晶体电子的运动 ●晶体中电子的速度 ●电子在外电场作用下的加速度, 有效质量,等能面 ●导体、绝缘体和半导体,布洛赫 振荡,空穴 金属的电导 霍尔效应

第三章外场作用下晶体电子的运动 l 晶体中电子的速度 l 电子在外电场作用下的加速度， 有效质量，等能面 l 导体、绝缘体和半导体，布洛赫 l 振荡，空穴 l 金属的电导 l 霍尔效应

晶体中电子的速度 、电子处于由波函数v(x)所描述状态时的平均速度 n一能带标号 iV一动量 九1d vk(x)=eu1(x)若:0 mi dx 1、求:U(k)=,v2m(x)0vmk(x)x YUk(x) 九Id 九1d euX nk mi dx k 方1 ikea nk(x te ikr d nk =cMn()+n() idx h ikx d e +k unk(x Lid

晶体中电子的速度 一、电子处于由波函数 所描述状态时的平均速度 -i∇—动量 dx d m i ˆ 1 =  若： n —能带标号 ( x )  nk ( x ) e u ( x ) k ikx  k =     L nk nk ( x )ˆ ( x )dx  ˆ nk ( x )  ψ (x) dx d i 1 m nk  e u x dx d m i nk  1 ikx              u x dx d ike u x e m i nk ikx nk  1 ikx 1、求：（n k）=                k u x idx d e m nk  ikx             u x idx d e ku x m nk nk  ikx

晶体中电子的速度 Dn( k)=vnk(x)oVnk(x)dx x eWnk (c)e ikr( LKY tku,x)dx i k xG+k)unkx)dx i dx

晶体中电子的速度       L nk nk ∴ （n k） ( x )ˆ ( x )dx ∫ - L nk * ikx nk ikx k u x dx dx d i e m e u （x） （ + ） （ ） 1 =     L nk * nk k u x dx dx d i u x ( m （ ） ） （ ）  1

晶体中电子的速度 d 2、若: +v(x)/ynk(x=e(k) 2m dx 2 RU: /"(+k)2+V(xu(x)=e,(k)un(x) 2 i dx 证明 方2d 九d 2m d 2m d nk 方d ike ikx ik L.,(x)+e 2m dx dx nk eu, (x)+ike ikr 2m d x nk(r)+ikeikr d d u.+e d x dx k

晶体中电子的速度 V( x )] ( x )  dx d m [ 2 nk 2 2 2 2 -  、若： E k u ( x )  （n ） nk k V( x )]u ( x ) dx d m i [   nk 2 2 1 2 则： （ ）    ( x )  dx d m 2 nk 2 2 2  证明： e u x dx d m nk ikx 2 2 2 2               u x dx d ike u x e dx d m nk ikx nk ikx 2 2                     u x dx d u x e dx d u x ike dx d k e u x ike m nk ikx nk ikx nk ikx nk ikx 2 2 2 2 2  E k ( x ) （n ）nk

晶体中电子的速度 22 k lu 2m e +k 2m lar 方21d 2m;.+k)2+v(x)/unk(x)=e,(k)u(x) 方21d 设:H k (+k)2+V(x) 2m i dx 则:Hun(x)=En(k)un(x) 表明第n支能带中波矢为k的电子的能量也为H的本征值

晶体中电子的速度 k V( x ) dx d m i H ˆ k     2 2 1 2 设： （ ）  表明第n支能带中波矢为 k的电子的能量也为 H ˆ ′ k的本征值。 E k u ( x )  k V( x )]u ( x )  （n ） nk dx d m i [ nk 2 2 1 2 ∴ （ ）  H u ( x ) E k u ( x ) ˆ 则： k nk  （n ） nk  k u x idx d e m nk ikx 2 2 2          k u x dx d ik dx d e m nk ikx           2 2 2 2 2 2 

晶体中电子的速度 3、设波矢k变化一小量&、将E(k)和H按 泰勒展开,略去二次及以上的高次项 E (+Sk)=E (k)+(n),Sk h-1 d H=(+k+8)2+(x) 2m i dx 方21 方21d +k)2+V(x)+ 2m i dx m冫+k) h21 k+sk H k +(+k) m i dx

晶体中电子的速度 k k dx d m i （ + ） 1 + 2  k k dx d m i Hk   （  ） 1 2  ˆ k dk dE k n +（ ） 3、设波矢 k变化一小量 k、将E（k）和H ˆ ′ k按 泰勒展开，略去二次及 以上的高次项 E（n k +k） = E（n k） k k V( x ) dx d m i H ˆ k k + + + 1 2 ′ = 2 2 + （  ）  k V( x ) dx d m i + + 1 2 = 2 2 （ ）  Hk  k  ˆ

晶体中电子的速度 根据一级微扰理论有: HUnk(x)=E, (k)uk(x) E (k +8k) 方2 E (k)+ung) +hug desk i dx =En(k)+加n(k)δk 而、En(k+8)=En(k)+(n)8k k

晶体中电子的速度 E k u ( x ) （n ） nk k dk dE k n （ ） 根据一级微扰理论有： E（n k  k）      L nk nk k u x dx k dx d i u x m （ ）（ ） （ ） 1 2  E k k k n n  （ ） （ ） Hu ( x )  ˆ  k nk 而 、E（n k  k） E（n k）  E（n k）

晶体中电子的速度 ±、电子处于由W(x)所描述状态时的平均速度特点 1、由于E(k)=E(-k)即能量是k的偶函数有: ∴D(k) i dE h dk U(k)=-U(-k)即U是k的奇函数 2、电子平均速度随k变化而变化, 即产生加速度。 3、图示 4、三维时有:(k)=vE(k b()1DE.分 x、y、z (k)=-D(-k) 九O/

晶体中电子的速度 二、电子处于由 所描述状态时的平均速度特点 1、 2、电子平均速度随 变化而变化， 即产生加速度。 3、图示 4、三维时有： ( x )  nk ∴ （k）= -（- k）即是k的奇函数 k （k） （ k）         （ ） E（k） 1 k k        （ ） （i x、y、z） k 1 E k i i        dk 1 dE k  （ ） 由于E（k）= E（- k）即能量是k的偶函数有：

电子在外电场作用下的加速度、 有效质量、等能面 一、经典理论、量子理论、准经典理论 经典理论量子理论 准经典理论 动量 ih k一准动量 九1d 1 dE 速度 v(k) mi dx 九k 动力学dE=Fuwt de de dk Fu dt dk dt 规律 F=h dt dt

电子在外电场作用下的加速度、 有效质量、等能面 一、经典理论、量子理论、准经典理论 经典理论 动量 速度 动力学 规律 -i∇ dx d m i ˆ 1 =   dk dE k  1 （ ）= k — 准动量 m dE = Fdt dt dk dk dE dt dE F = = dt dp dt dk F =  = 量子理论 准经典理论

电子在外电场作用下的加速度、 有效质量、等能面 注意: 1、动量为晶体准动量,不是电子的真实动量 2、k不是动量的本征值,yn(x)也不是动量算 符的本征函数

电子在外电场作用下的加速度、 有效质量、等能面 1、动量为晶体准动量，不是电子的真实动量 2、 不是动量的本征值， 也不是动量算 符的本征函数 k ( x )  nk 注意：