第四篇振动与波动 第13章振动 本章共3讲
? 本章共3讲 第四篇 振动与波动 第13章 振动
§13.1简谐振动(续) 简谐振动运动方程(以平衡位置为坐标原点) 二特征量 旋转矢量法 四孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗摩擦阻尼 °水平放置的弹簧振子 以平衡位置为坐标原点 10k x=Acos(at+oo) v=-A@sin(at+Po
§13.1 简谐振动（续） 二.特征量 三.旋转矢量法 一.简谐振动运动方程（以平衡位置为坐标原点） 四.孤立谐振动系统的能量 不计振动传播带来的能量损失——辐射阻尼 不计摩擦产生的热损耗——摩擦阻尼 sin( ) cos( ) 0 0 = − + = + v A t x A t 以平衡位置为坐标原点 •水平放置的弹簧振子 k o x
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点 E mx kA coS(at+Po mAsin(at+o)=kAsin(@t+o) k E=E+Ek=k42=恒量 2 孤立谐振动系统机械能守恒
= + = 2 = 恒量 2 1 E Ep Ek kA 孤立谐振动系统机械能守恒 E mv mA ( t ) kA ( t ) 0 2 2 0 2 2 2 2 k sin 2 1 sin 2 1 2 1 = = + = + = k m 2 以弹簧振子所在水平面为重力势能零点 k o x cos ( ) 2 1 2 1 0 2 2 2 p = + = kA t E kx
°E-(曲线 E-x曲线 EAP 0 4 Eat E,E变化频率为x的2倍 T 2T E,E彼此变化步调相反 x=A cos(at+oo) kA'coS(Ot+o) k= kAsin(ot+o)
E- t曲线 E- x 曲线 E k , E p变化频率为x 的 2 倍 E k , E p彼此变化步调相反 Ep Ek EA A x E kA ( t ) 0 2 2 k sin 21 = + x tt T T/2 E E E p E k T 2 T E kA ( t ) x A ( t ) 0 2 2 p 0 cos 21 cos = + = +
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 En=k(x+xo)"-mg(x+xo) k Ep=O k(x+x0)2-kx0(x+x0) mg-=K l'--la 2 2 E=E+E=(kx2+my2)-0kx2=k42-kx2=恒量
•竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 ( ) ( ) 2 1 0 2 0 E = k x + x − mg x + x p ( ) ( ) 2 1 0 0 2 0 = k x + x − kx x + x 2 0 2 2 1 2 1 = kx − kx 2 0 2 2 2 1 ) 2 1 2 1 E = E + E = ( kx + mv − kx P K = 2 − 0 2 = 恒量 2 1 2 1 kA kx k m O x k x0 EP=0 mg=kx0 x k
恰当选择零势点,可去掉第二项。 如何选?以平衡位置为坐标原点和势能零点 要哭樱要En=7k(x+x)2-mgx-,k k(x+x0)2-k mg-=Kc t 2 E=E,+E.=m2+-k2=k42 2 2
恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点 2 0 2 p 0 2 1 ( ) 2 1 E = k x + x − mgx − kx 2 0 0 2 0 2 1 ( ) 2 1 = k x + x − kx x − kx 2 2 1 = kx 2 2 2 k p 2 1 2 1 2 1 E = E + E = mv + kx = kA k m O x k x0 EP=0 mg=kx0 x k
比较水平放置的弹簧振子竖直悬挂的弹簧振子 回复力弹簧的弹力 准弹性力:弹力与重力的合力 F==la 弹簧的长 离系统平衡位置的位移 势能kx2/2弹性势能 kx2/2准弹性势能, 重力势能和弹性势能的总和 总能 my2+=kx2==kA 2 2 2 统一描述:只要以平衡位置为坐标原点和零势点 准弹性势能: 振动系统 2(包括重力势能弹性势能) E=-k4 2 总能量
弹簧的弹力 F = −kx 弹簧的伸长 准弹性力：弹力与重力的合力 F = −kx 离系统平衡位置的位移 2 2 kx 弹性势能 2 2 kx 重力势能和弹性势能的总和 准弹性势能， 比较 水平放置的弹簧振子 竖直悬挂的弹簧振子 回复力 势能 总能 2 2 2 2 1 2 1 2 1 mv + kx = kA 统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点 2 2 1 E kx p = 准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 2 2 1 E = kA 振动系统 总能量
°能量法求谐振动的振幅 机械能守恒 my2+k2=kA2 2 2 2 自学教材P381[例6] 能量法求谐振动的周期 机械能守恒: my+=kx 2 两边对时间求导: d 02x→→>T=2/o dt 教材P381[例7]
• 能量法求谐振动的振幅 机械能守恒： 自学 教材 P381 [例6] 2 2 2 2 1 2 1 2 1 mv + kx = kA • 能量法求谐振动的周期 机械能守恒： 教材 P381 [例7] 2 2 2 2 1 2 1 2 1 mv + kx = kA 两边对时间求导： 2 d d 2 2 2 = = − x → → T = t x a
例:能量法求谐振动的周期(教材P381[例7]) 已知:k,R,J,m 求:T mmra 解:以平衡位置为坐标原点 和零势点,向下为正,任意 时刻t系统的机械能为: E=m2+J00=m2+ 2(R 2 kx2+上p滑轮2 k+c
例：能量法求谐振动的周期（教材P381 [例7]） m x 已知： 求： T k ,R,J ,m 解：以平衡位置为坐标原点 和零势点，向下为正，任意 时刻 t 系统的机械能为： 2 2 2 2 k 2 1 2 1 2 1 2 1 = + = + R v E mv J mv J E = kx + E = kx + c 2 p 2 p 2 1 2 1 滑轮
振动系统机械能守恒: 2 E=E+E -+ 2 )+kx2+c=恒量 两边对时间求导: val +kx=0 R dr m+J/R 得 k T m+J/R e2r,/m+J/R k
+ + = 恒 量 = + = + kx c R v E E E mv J 2 2 2 k p 2 1 2 1 2 1 振动系统机械能守恒： 两边对时间求导： 0 + 2 + kxv = R Jva mva x m J R kx t x a 2 2 2 2 d d = − + = = − k m J R T m J R k 2 2 2 2 ; + = = + = 得：