第二章晶体中的电子和声子 概述 布洛赫定理 布里渊区 克龙尼克潘尼问题 许可带与禁带 ●一维布拉菲格子的晶格振动 ●一维复式格子的晶格振动 声子 习题
第二章 晶体中的电子和声子 ⚫ 概述 ⚫ 布洛赫定理 ⚫ 布里渊区 ⚫ 克龙尼克—潘尼问题 ⚫ 许可带与禁带 ⚫ 一维布拉菲格子的晶格振动 ⚫ 一维复式格子的晶格振动 ⚫ 声子 ⚫ 习题
概述 晶体中的价电子 晶体 原子实(晶格) 二、晶体中的晶格运动 格子本身固定不动,而格子中的原子实 则在格点附近往复振动,通常用“声子”来 表 示晶格振动的能量量子
概 述 一、 二、晶体中的晶格运动 格子本身固定不动，而格子中的原子实 则在格点附近往复振动，通常用“声子”来 表 示晶格振动的能量量子。 晶体中的价电子 原子实（晶格） 晶体
概述 三、晶体中的电子运动 1、自由电子理论(关于金属的最早的晶体电子理论) (1)经典理论 本世纪初,由特鲁德一洛沦兹提出的能很好解释金属的 导电、导热等现象的关于金属电子运动的微观理论。其假设 金属中的自由电子服从玻尔兹曼统计,能均分定理。 局限性:根据能均分定理,N个价电子组成的电子气,有3N个 自由度,它们对热容量的贡献应是3Nk,但实验表明却只有理 论值的百分之一,这似乎电子没有热运动。即经典理论不能解 释为什么电子对金属的热容量没有贡献
概 述 三、晶体中的电子运动 1、自由电子理论（关于金属的最早的晶体电子理论） （1）经典理论 本世纪初，由特鲁德—洛沦兹提出的能很好解释金属的 导电、导热等现象的关于金属电子运动的微观理论。其假设 金属中的自由电子服从玻尔兹曼统计，能均分定理。 根据能均分定理，N个价电子组成的电子气，有3N个 自由度，它们对热容量的贡献应是3N ，但实验表明却只有理 论值的百分之一，这似乎电子没有热运动。即经典理论不能解 释为什么电子对金属的热容量没有贡献。kB 局限性：
概述 2)现代金属电子理论 量子力学建立以后,人们认识到电子的运动不服 从经典统计,而是服从量子统计的费米—狄喇克统计 分布。索末非计算了量子的电子气体的热容量,解决 了经典理论的困难。 (3)自由电子理论的局限性 自由电子理论很好地解决了金属的导电、导热及 热容量等问题。但对晶体为什么有结合力,晶体从导 电性看为什么可以分为导体、半导体、绝缘体却不能 解释
概 述 （2）现代金属电子理论 量子力学建立以后，人们认识到电子的运动不服 从经典统计，而是服从量子统计的费米—狄喇克统计 分布。索末非计算了量子的电子气体的热容量，解决 了经典理论的困难。 （3）自由电子理论的局限性： 自由电子理论很好地解决了金属的导电、导热及 热容量等问题。但对晶体为什么有结合力，晶体从导 电性看为什么可以分为导体、半导体、绝缘体却不能 解释
概述 2、能带理论 布洛赫和布里渊等人研究了在周期性势场中电子的运动特 征,把晶体中的价电子看作在由其它所有的晶格和电子产生的 周期性势场中运动,为能带理论确立了基础。能带理论是晶体 中电子能量状态的近似理论,建立在绝热、周期场和单电子近 似这三个近似处理上其具体假设如下: (1)因为电子与原子核质量相差很大,电子的运动速度远 远大于原子核的运动速度,可以把电子的运动与原子核的运动 分解开来处理;讨论电子的运动时,可以认为原子核始终不 动,电子处于固定的核势场中,这就是绝热近似
概 述 2、能带理论 布洛赫和布里渊等人研究了在周期性势场中电子的运动特 征，把晶体中的价电子看作在由其它所有的晶格和电子产生的 周期性势场中运动，为能带理论确立了基础。能带理论是晶体 中电子能量状态的近似理论，建立在绝热、周期场和单电子近 似这三个近似处理上. （1）因为电子与原子核质量相差很大，电子的运动速度远 远大于原子核的运动速度，可以把电子的运动与原子核的运动 分解开来处理；讨论电子的运动时，可以认为原子核始终不 动，电子处于固定的核势场中，这就是绝热近似。 其具体假设如下：
概述 (2)在一般的温度下,晶格振动的幅度不大,对晶格周期性 势场的偏离很小;可以近似地认为所有的原子核都处于平衡位 置,这就是周期场近似。 (3)晶体中的电子很多,对于这样一个多体系统,直接求解 显然是不可能的;但是,每一个电子都是处于相同的其它电子 的平均场中,利用该平均场,多电子问题就化为单电子问题, 这就是单电子近似,又称为哈特里一福克自洽场近似。 晶体的能带理论得出,晶体中的电子许可能级,既 不是象孤立原子中分立的电子能级,也不是象无限空间中自由 电子具有的连续能级,而是由一定能量范围准连续分布的能 带。利用能带特征,威耳逊提出了金属和绝缘体的区别,并预 言了半导体的存在
概 述 （2）在一般的温度下，晶格振动的幅度不大，对晶格周期性 势场的偏离很小；可以近似地认为所有的原子核都处于平衡位 置，这就是周期场近似。 （3）晶体中的电子很多，对于这样一个多体系统，直接求解 显然是不可能的；但是，每一个电子都是处于相同的其它电子 的平均场中，利用该平均场，多电子问题就化为单电子问题， 这就是单电子近似，又称为哈特里－福克自洽场近似。 晶体中的电子许可能级，既 不是象孤立原子中分立的电子能级，也不是象无限空间中自由 电子具有的连续能级，而是由一定能量范围准连续分布的能 带。利用能带特征，威耳逊提出了金属和绝缘体的区别，并预 言了半导体的存在。 晶体的能带理论得出
概述 四、晶体宏观特性分析 如前述,晶体的许多宏观特性都与价电子和 声子的运动状态及它们之间的相互作用有关,通 常分析价电子的状态时,认为原子实处在格点位 置或平衡位置,而将晶格振动对价电子状态的影 响归结为电子一声子间的相互作用。以下首先通 过在绝热、周期场和单电子近似解薛定谔方程得 到晶体中电子运动波函数满足的规律和能带理 论;然后只考虑最近邻原子间相互作用得到晶体 晶格振动的规律及提出声子概念
概 述 四、晶体宏观特性分析 如前述，晶体的许多宏观特性都与价电子和 声子的运动状态及它们之间的相互作用有关，通 常分析价电子的状态时，认为原子实处在格点位 置或平衡位置，而将晶格振动对价电子状态的影 响归结为电子—声子间的相互作用。以下首先通 过在绝热、周期场和单电子近似解薛定谔方程得 到晶体中电子运动波函数满足的规律和能带理 论；然后只考虑最近邻原子间相互作用得到晶体 晶格振动的规律及提出声子概念
布洛赫定理 一、晶体中电子运动的定态薛定谔方程 2+(r)y(r)=ey(r) 2m -nV一动量 口一动能 2m =+V(r)哈密顿算符 V()一周期性势场,v(r)=V(+ a++2拉普拉斯算符V=i 子子 a 一维情况下:Hy(x)=Ey(x) .h'd 2 2mde? +(x) +
布洛赫定理 一、晶体中电子运动的定态薛定谔方程 一维情况下： (r ) -i∇—动量 2 —动能 2 2m - ∇ 2 —拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 = + + x y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ V(r )—哈密顿算符 2m H ˆ 2 2 = - ∇ + V（r）—周期性势场，V（r） V（r Rn） = + H ( x ) E ( x ) ˆ = z k ˆ y j ˆ x i ˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇= + + V(r )] 2m [ 2 2 - ∇ + = E(r ) V( x )、 dx d 2m H ˆ 2 2 2 = + - V（x + a）=V（x）
布洛赫定理 二、哈密顿算符H与平移算符T 1、平移算符Tnf(x)=f(x+na) 2、哈密顿算符与平移算符个对易(则具有共 同的本征函数)=的T 证明:(x)=h2d 2m de? +(x) [h' d 2md(x+na) d(x+na) +(+)(x+) h'd2 2m dx2 +V(x) f(x) =f(
布洛赫定理 二、哈密顿算符 与平移算符 1、平移算符 2、哈密顿算符 与平移算符 对易（则具有共 同的本征函数） 证明： H ˆ Tn ˆ Tn ˆ n Tn T ˆ H ˆ = H ˆ ˆ H ˆ Tn ˆ ( ) − +V( x ) f x dx d 2m Tˆ 2 2 2 n f（x）= f（x + na） T ˆ n H ˆ f (x) = ( ) ( ) V( x na ) f (x na) d x na d d x na d 2m 2 + + + + + = − T f (x) ˆ V( x ) dx d 2m 2 n 2 2 = − + T f (x) H ˆ ˆ = n
布洛赫定理 、哈密顿算符与平移算符 3、平移算符Tn的本征值λn 设y(x)为哈密顿算符与平移算符的共同本征函数。 显然: im=nm= Tmy(x)=my(x) ()= Any(x) Tmy() Amy() 故:Tmy(x)=anmy(x)即本征值只能有这 样的形式n+m=n2m n λ in、n=ana、a为比例常数 n =eon
布洛赫定理 二、哈密顿算符 与平移算符 3、平移算符 的本征值 设 为哈密顿算符与平移算符的共同本征函数。 显然： 故： 即本征值 只能有这 样的形式： H ˆ Tn ˆ Tn ˆ n n = e i n 、 ( x ) T ˆ n T ˆ m = T ( x ) ( x ) ˆ n = n T ( x ) ( x ) ˆ m = m T ( x ) ( x ) T ˆ ˆ n m = n m ( x ) n+m n+m = n m n Tn m ˆ + m Tn = T ˆ ˆ T ˆ + ( x ) = n m n = na、为比例常数