(高等数学)数案 习避课定积分 利添五戴 习题课定积分 例1」 品=-冲r可-2a 例2∫(1+m)(e2-e" 解x(e-e)为奇函数，所以 原式=2x(e-e")=2xd(e+e") -2-Ix-(e'+ee'te)dr cos x 例4设f)为偶函数，证明：feos0d=2feos0达。 解∫后f(cosx)ds=匠f(cosx0d+∫三/(cos x)ydr ge之-gcm1-ea-f月@mh 所以6 f(cos.x)dx=2 f(cos)d 知：eost-2cos-23.3 4228 ∫os't=0 例5设f()为连续函数，且f)=inx+f(田血求f() 解设∫后fk=A,则f)=sinx+A 两边积分 后f)=后(x+)在 A--cosxli +Arli=2+Ar A=2 f=sinx+ 2 1-厅 1-x 习题课定积分一1
《高等数学》教案 习题课 定积分 同济五版 习题课 定积分 - 1 习题课 定积分 例 1 ) ln2 1 2ln(1 )2 1 1 1 ( 1 1 1 0 2 1 1 2 2 1 1 2 = − + + = − + + − + = + − ∫− ∫− dx x x x x x dx x x 例 2 x x e e dx x x 1( () ) 2004 1 1 − − ⋅ + − ∫ 解 ( ) 2004 x x x e e − − 为奇函数,所以 原式= ⋅ ⋅ − = − ∫ x e e dx x x 2 ( ) 1 0 2 ( ) 1 0 x x x d e e − ⋅ ⋅ + ∫ e x e e e e dx x x x x 4 2 [ ( |) ] ( ) 1 0 1 = ⋅ ⋅ + 0 − + = ∫ − − 例 3 ∫ ∫ − − + = + 2 π 2 π 2 2 π 2 π 2 2 1 sin cos cos 2sin cos dx x x dx x x x 2 π sin 2arctansin 1 sin 1 2 2 π 0 2 π 0 2 = = + = ∫ d x x x 例 4 设 f (x) 为偶函数，证明：∫ ∫ = 2 0 0 (cos ) 2 (cos ) π π f x dx f x dx 。 解 ∫ ∫ ∫ = + π π π π 2 2 0 0 f (cos x)dx f (cos x)dx f (cos x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ − − = = = − 2 0 2 0 0 2 2 (cos ) ( cos ) (cos ) (cos ) π π π π π π f t td f t td f x dx x t f x dx 所以 ∫ ∫ = 2 0 0 (cos ) 2 (cos ) π π f x dx f x dx 如： 8 3 2 2 1 4 3 cos 2 cos 2 2 0 4 0 4 π π π π = = ⋅ ⋅ ⋅ = ∫ ∫ xdx xdx ， cos 0 0 5 = ∫ π xdx 例 5 设 f (x) 为连续函数，且 f (x) sin x f (x) dx ∫0 = + π 求 f (x) 。 解 设f x dx = A ∫ ( ) 0 π ，则 f (x) = sin x + A 两边积分 = ∫ f (x) dx 0 π (sin x A) dx 0 + ∫ π π π π A = −cos x | 0 +Ax | 0 = 2 + A −π = 1 2 A ∴ −π = + 1 2 f (x) sin x
《高等数学》教案 习题课定积分 同济五银 例6设国=血>0，求：+f a-听品j》 o+c 令x=1,得C=0(:f0)=0) .o+ 例7设fx)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x)s0, F国=a0.证男在ab创内，有Fs0 证F'(x)= (x-a)f(x)-f()dr (x-a)f()-(x-a)f() asssxsb (x-a)月 (r-a) .-f⑤ (x-a) 因为f()≤0f(x)在(，b)单调减，5sx 六f(x)-f(5)s0 六F(x)s0 例8f)、g)在0,2]连续，且fx=32+g)k, 8)=r+xf)血，求f国、g国)的表达式 解fxdi=3x在+i后gxd=8+2igxd边 gd-后r+ix心sdld=4+2isd 故∫gm=4.J后f=8+2g(=0,所以f)=3x2-4,8国=x2 例9设团在(+上连铁.证明：[f恤恤-f仙x-咖 证左边=可：-=后达=可e-心咖 习避理定积分一2
《高等数学》教案 习题课 定积分 同济五版 习题课 定积分 - 2 例 6 设 ∫ > + = x dt x t t f x 1 ( )0 1 ln ( ) ，求： ) 1 ( ) ( x f x + f 。 解 + ]) ′ = 1 [ ( ) ( x f x f ′ + + + ∫ ∫ dt t t dt t t x x 1 ln 1 ln 1 1 1 ⋅ − + + + = 2 1 1 1 1 ln 1 ln x x x x x x ln x = dx x C x x x f x + f = = + ∫ 2 ln 2 ln 1 ) 1 ( ) ( 令 x =1，得 C = 0 (∵ f )1( = 0 ) ∴ x x f x f 2 ln 2 1 ) 1 ( ) + ( = 例 7 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f ′(x) ≤ 0， ∫ ⋅ − = x a f t dt x a F x ( ) 1 ( ) 。 证明在(a,b)内，有 F′(x) ≤ 0。 证 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a f x f t dt F x x a − − − ′ = ∫ a x b x a x a f x x a f ≤ ≤ ≤ − − − − = ξ ξ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a f x f − − = ξ 因为 f ′(x) ≤ 0 ∴ f (x)在(a,b)单调减，ξ ≤ x ∴ f (x) − f (ξ ) ≤ 0 ∴ F′(x) ≤ 0 例 8 f (x) 、 g(x) 在 ]2,0[ 连续，且 f (x) 3 x g(x) dx 2 0 2 ∫ = + ， g(x) x x f (x) dx 2 0 3 ∫ = + ⋅ ，求 f (x) 、 g(x) 的表达式。 解 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + = + 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 f (x)dx 3x dx [ g(x)dx]dx 8 2 g(x)dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + ⋅ = + 2 0 2 0 2 0 2 0 3 2 0 g(x)dx x dx (x [ g(x)dx])dx 4 2 g(x)dx 故 ( ) 4 2 0 = − ∫ g x dx ， ( ) 8 2 ( ) 0 2 0 2 0 = + = ∫ ∫ f x dx g x dx ，所以 ( ) 3 4 2 f x = x − ， 3 g(x) = x 例 9 设 f (x) 在(−∞, + ∞) 上连续，证明：∫ ∫ ∫ = − x u x f x dx du f u x u du 0 0 0 ( ) ( )( ) 证 左边 ∫ ∫ ∫ = − = x u x u u f x dx ud f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ∫ ∫ = − x x x f x dx uf u du 0 0 ( ) ( )
《高等数学)教案 习题课定积分 问珠五饭 =f。fu-j。fod=xfw恤 例10设asl,a-lx-aek,求r@ 解la)=ja-xe+∫iae de-∫iw+∫w-a可.e (a)-'dr+ae"-ae-ae-f.e'ds+ae -fic'u-f:ca-eL-el-2-e-1 例1设连续，-可7md,且四四=A求p,并讨论p国 在x■0处的连续性。 解因为1im =A÷f@)=im)=0,得p0=0 0 I x0时.令1=，则p)后f咖 0 x=0 孕(x)-p0) (0)=lim r=imf4 limf (uydu x-0 2x2 xf(-f(udu p)= x*0 x=0 inp)=i nxf-f)d恤 =p0 2 .p(x)在x=0连续，且(x)在(-，+∞)连续。 习题课定积分一3
《高等数学》教案 习题课 定积分 同济五版 习题课 定积分 - 3 ∫ ∫ ∫ = − = x x x x f u du uf u du x-u f u du 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 例 10 设 a ≤ 1, ∫ − = − 1 1 I(a) x a e dx x ，求 I′(a) 。 解 ∫ ∫ = + − 1 1 ( ) ( ) ( ) a x a x I a a-x e dx x-a e dx ∫ ∫ ∫ ∫ = − + − − 1 1 1 1 a x a x a - x a x a e dx xe dx xe dx a e dx a a a a a x a x I′ a = e dx + ae − ae − ae − e dx + ae ∫ − ∫ 1 1 ( ) e e dx e dx e e e e a a x a x a x a x 1 2 1 1 1 1 = − = − = − − ∫ − ∫ − 例 11 设 f (x) 连续， ∫ = 1 0 ϕ(x) f (xt)d t，且 A x f x x = → ( ) lim 0 。 求ϕ′(x)，并讨论ϕ′(x) 在 x = 0处的连续性。 解 因为 A x f x = → ( ) lim x 0 )0( lim ( ) 0 0 ∴ = = → f f x x ，得 ϕ )0( = 0 x ≠ 0 时，令 xt = u ，则 ∫ = x f u du x x 0 ( ) 1 ϕ ( ) = ≠ ∴ = ∫ 0 0 ( ) 0 1 ( ) 0 x f u d u x x x x ϕ 0 ( ) )0( )0( lim 0 − − ′ = → x x x ϕ ϕ ϕ 2 2 ( ) lim ( ) lim 0 2 0 0 A x f x x f u du x x x = = = → → ∫ ∴ = ≠ − ′ = ∫ 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 0 x A x x x f x f u du x x ϕ 2 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim x x f x f u du x x x x ∫ − ′ = → → ϕ )0( 2 2 ) ( ) ( ) lim( 2 0 0 = − = − = = ϕ′ ∫ → A A A x f u du x f x x x ∴ ϕ′(x) 在 x = 0 连续，且ϕ′(x) 在(−∞, + ∞) 连续
《高等数学》教密 习题课定积分 同济五版 例12试证方程层m山+=0在（后司内有且仅有一实根。 证 设F四-山-，则F四在后受连统，且 -0=值>0 由介值定理： 3e(品，使F9=0,即F=0有根。 又因为F气=nx+>0,所以F)单增，所以根唯一 例13设f团在0川可导，f@=2fx,试证：在0，D内至少存在 一点5，使f(=f(). 证设F国=e”f国，则F在0可导，则存在一点ce分.使得 F)=f=ef(e)=F(e) 所以，F(x)在0，川上满足罗尔定理条件，则至少存在一点5e0),使F()=0 即：-ef(+e‘f(③=0，亦即（⑤）=f(⑤. 例14设-了e山+y+4=0确定了函数y=),求y. 解3x2-2yey+3y=0 y'= 3x2 2ve-3y 例15设闭=可0，求金 解fo-后foar-=x-f后-后r-利d =-6-= sinxdr=2 一 注因为四=做=是山不是反常积分 习题误定积分一4
《高等数学》教案 习题课 定积分 同济五版 习题课 定积分 - 4 例 12 试证方程 0 sin 1 sin 2 2 10 2 + = ∫ ∫ x π x π dt t tdt 在 ) 10 2 ( π , π 内有且仅有一实根。 证 设 ∫ ∫ = − x π x π dt t F x tdt 2 2 10 2 sin 1 ( ) sin ，则 F(x)在 ] 10 2 [ π , π 连续，且 ∫ = − 2 10 2 ) sin 0 2 ( π π dtt π F 由介值定理： ) 10 2 ( π , π ∃ξ ∈ ，使 F(ξ ) = 0，即 F(x) = 0有根。 又因为 0 sin 1 ( ) sin 2 2 ′ = + > x F x x ，所以 F(x)单增，所以根唯一。 例 13 设 f (x) 在 ]1,0[ 可导， ∫ − = 1 2 f )0( 2 1 e f (x)dx x 。试证：在 )1,0( 内至少存在 一点ξ ，使 f ′(ξ) = f (ξ)。 证 设 F(x) e f (x) −x = ，则 F(x)在 ]1,0[ 可导，则存在一点 )1, 2 1 c ∈ ( ，使得 = = = ∫ 1 2 1 F )0( f )0( 2 e f (x)dx -x e f (c) F(c) c = − 所以， F(x)在 ]1,0[ 上满足罗尔定理条件，则至少存在一点ξ ∈ )1,0( ，使 F′(ξ ) = 0 即：− ( ) + ( ) = 0 − e f ξ e f ξ ζ -ζ ，亦即 f ′(ξ ) = f (ξ ) 。 例 14 设 4 0 2 2 0 3 3 − + + = ∫ − y t x e dt y 确定了函数 y = y(x) ，求 y′ 。 解 3 2 3 0 4 2 − ′ + ′ = − x yy e yy y 2 2 2 3 3 4 ye y x y y − ′ = − 例 15 设 ∫ − = x dt t t f x 0 sin ( ) π ，求 f (x) dx ∫0 π 。 解 ( ) ( ) ( ) 0 0 π π π = − ∫ ∫ f x dx f x d x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x π f x x π df x π π = − − − ∫ sin 2 sin ( ) 0 0 = = − = − − ⋅ ∫ ∫ dx x dx x x x π π π π 注：因为 1 sin lim = → − t t t π π ，故 ∫ − = π π π 0 sin ( ) dt t t f 不是反常积分